§9.6 抛物线
1． 抛物线的概念
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a
4，0)，准线
方程是x ＝－a
4
.
( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．
( × )
(4)AB 为抛物线y 2
＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4，
y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .
( √ )
2． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线
l 的斜率的取值范围是 ( )
A.????－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]
D ．[－4,4]
答案 C
解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，
由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.
3． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若
点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于 ( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．2 5
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p
2＝3，
∴p ＝2，∴y 2＝4x .
∴y 2
0＝4×2＝8，
∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.
4． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y 2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .
5． 若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
答案 4
解析 因为椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝
4.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |
的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．
思维启迪 由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为求|P A |＋d 的问题．
解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.
∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1
2
的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |
＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为7
2，此时P 点
纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．
思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到
该抛物线准线的距离之和的最小值为
( )
A.
17
2
B ．3
C. 5
D.92
答案 A
解析 抛物线y 2＝2x 的焦点为F (1
2，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距
离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 (12)2＋(－2)2＝172
，选A. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质
例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，
求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.
∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52
，
故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－5
2
y .
抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为????0，58，准线方程为y ＝－5
8. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为????0，－58，准线方程为y ＝58
. 思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(1)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .
若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为
( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
(2)(2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于
( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
答案 (1)B (2)C
解析 (1)直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a
2，
故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 2
16，
∴a ＝±8， ∴y 2＝±8x .
(2)由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 题型三 抛物线焦点弦的性质
例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在
抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .
思维启迪 证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC ＝k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决． 证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p
2，代入y 2＝2px ，
得y 2－2pmy －p 2＝0.
由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2
，即y B ＝－p 2
y A
.
∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p
2上，
∴C (－p
2
，y B )．
则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y A
x A ＝k OA .
∴直线AC 经过原点O .
方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为 D .
则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则
|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF |
|AB |
， |NF ||BC |＝|AF |
|AB |
. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|EN |＝
|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC |
|AB |
＝|NF |， 即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .
思维升华 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A y B ＝－p 2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．
已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与
抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
(2)1|AF |＋1|BF |
为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p
2，0)．
由题意可设直线方程为x ＝my ＋p
2，代入y 2＝2px ，
得y 2＝2p (my ＋p
2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)
则y 1、y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.
因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2
x 1x 2，
所以x 1x 2＝y 21y 22
4p 2＝p 44p 2＝p 24
.
(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋
p
2 ＝
x 1＋x 2＋p
x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋
p 2
4
.
因为x 1x 2＝p 2
4，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，
得
1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24
＝2p
(定值)．
(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为C 、 D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝1
2(|AC |＋|BD |)
＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2
|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 题型四 直线与抛物线的位置关系
例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，
P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．
(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离． 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．
(2)∵|RF |＝y R ＋
14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14
. (3)存在，联立方程?
????
y ＝mx 2
，
2x －y ＋2＝0，
消去y 得mx 2－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0?m >－1
2
.
设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 2
2)，
则???
x 1＋x 2＝2m
，
x 1
·x 2
＝－2
m
， (*)
∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 2
2
2
)，
即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1
m
)．
得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 2
2－1m )， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB →＝0，
即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22
－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6
m
＋4＝0，
即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－1
2，
而2∈(－12，＋∞)，－12?(－1
2
，＋∞)．
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距
离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →
＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．
(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由?
????
x ＝ty ＋m ，
y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，
Δ＝16(t 2＋m )＞0，
于是?
????
y 1＋y 2＝4t ，
y 1y 2＝－4m .
①
又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →
＝(x 2－1，y 2)， F A →·FB →＜0?
(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0. ②
又x ＝y 2
4
，于是不等式②等价于
y 214·y 2
24
＋y 1y 2－????y 214＋y 224＋1＜0
?(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[](y 1＋y 2)2－2y 1y 2＋1＜0.
③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.
④
对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．
直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例：(12分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛
物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面 积为2(O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 思维启迪 (1)求MN 的长，由面积得p 的值；
(2)问题的几何条件是：线段MN 的中垂线与y 轴的交点和M ，N 构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y 轴交点，利用直角边垂直关系列式求解． 规范解答
解 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，
∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 2
2＝2，即p ＝2.
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .
[4分]
(2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P . 故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，
联立?
????
y ＝k (x －1)，
y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
则????? x 1＋x 2＝2k 2
＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k
)，?????
y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，
则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2
k 2)，
故P (0，3k ＋2
k
3)．
[8分]
又PM →·PN →＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0.
1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0，
由y 0＝3k ＋2
k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.
解得k ＝± 443.∴存在直线l ：y ＝± 44
3(x －1)．
[12分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)
第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2的关系 式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．
温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考
查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零．
方法与技巧
1． 认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．
2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ
； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p
. 失误与防范
1． 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方
程，以及是哪一种标准方程． 2． 注意应用抛物线的定义解决问题．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1． 抛物线y ＝－1
2
x 2的焦点坐标是
( )
A ．(0，1
8)
B ．(－1
8，0)
C ．(0，－1
2)
D ．(－1
2
，0)
答案 C
解析 把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2， ∴p 2＝12，即焦点坐标为(0，－1
2
)，故选C. 2． (2013·四川)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是
( )
A.12
B.
3
2
C ．1 D. 3
答案 B
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，
双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，
∴所求距离为
|3±0|
(3)2＋(±1)
2＝32.选B. 3． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段
AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
答案 B
解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p
2，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p
2，
即x ＝y ＋p
2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，
即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 2
2
＝p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.
4． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于 ( )
A ．－4
B ．4
C ．p 2
D ．－p 2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 2
4；
②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB ：y ＝k (x －p
2
)，
联立y 2
＝2px 得k 2x 2
－(k 2
p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 2
4
.
即x 1x 2＝p 24，则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2
x 1x 2
＝－4.
5． 如图，抛物线C 1：y 2
＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 2
4
，其中p >0，直线
l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →
的值 为
( )
A ．p 2
B.p 2
4
C.p 2
2
D.p 23
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p
2＝x 1，
同理|CD |＝x 2.
又AB →·CD →
＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24.
二、填空题
6． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________．
答案 x 2＝12y
解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 7． 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.
答案 2
解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.
8． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，
与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →
，则p ＝________. 答案 2
解析 如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝M B →
， ∴M 为AB 的中点．
过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝1
2
||AB ＝||BM .
∴M 为焦点，即p
2＝1，∴p ＝2.
三、解答题
9． 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点
在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程． 解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1k
x ，
由?????
y ＝kx ，y 2＝2px ，
得x ＝0或x ＝2p k 2.
∴A 点坐标为????2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2
，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得?????
4p 2k 2
＋1k 4＝1， ①
4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ② ②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝4
5.
又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝45
5
x .
10．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点
为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与 准线l 交于不同的两点M ，N . (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2. (2)设C (y 20
4
，y 0)，则圆C 的方程为
(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4
016
＋y 20，
即x 2
－y 20
2
x ＋y 2－2y 0y ＝0.
由x ＝－1，得y 2
－2y 0y ＋1＋y 20
2
＝0，
设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则
???
Δ＝4y 20－4(1＋y 202
)＝2y 2
0－4>0，
y 1y 2
＝y
20
2＋1.
由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 20
2＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.
所以圆心C 的坐标为(32，6)或(3
2，－6)，
从而|CO |2＝
334，|CO |＝332，即圆C 的半径为33
2
. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →
|
＋|FB →|＋|FC →
|等于
( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
答案 B
解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →
＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，
|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|＝x 1＋x 2＋x 3＋32
p ＝6.
2． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂
足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为
( )
A ．(2,22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22) 答案 D
解析 如图所示，由题意， 可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，
∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴
S △AMF
S △AOF ＝1
2
×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 1
2
×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ???
?y 2
4，y 0， ∴y 2
4
＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 20
4
＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 3． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若
|AF |＝3，则△AOB 的面积为
( )
A.2
2
B. 2
C.322
D ．2 2
答案 C
解析 如图所示，
由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，
由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8， 由图知点A 的纵坐标y ＝22，
∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．
联立直线与抛物线的方程???
y ＝22(x －1)，
y 2＝4x ，
解之得?????
x ＝12，y ＝－2
或???
x ＝2，y ＝2 2.由图知B ????1
2，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝1
2×1×|22＋2|
＝
3
2
2.故选C. 4． 已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和
直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 3
解析 因为x ＝－1
恰为抛物线
y 2＝4x 的准线， 所以可画图观察．如图，连接PF
d 2＝PF ，∴d 1＋d 2＝d 1＋PF ≥FQ ＝
|4×1－3×0＋11|42＋(－3)2
＝15
5＝3.
5． 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，
交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________． 答案 y 2＝3x
解析 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1， 由抛物线的定义知AF ＝AA 1，BF ＝BB 1， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.
则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ， 则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝3
2，
∴抛物线方程为y 2＝3x .
6． 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．
(1)若AF →＝2FB →
，求直线AB 的斜率；
(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. ① 因为AF →＝2FB →
，所以y 1＝－2y 2.
②
联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±2
4.
所以直线AB 的斜率是±2 2.
(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积 等于2S △AOB .
因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|
＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，
所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.