分式方程及其应用
知识总结归纳：
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
例1. 解方程：
分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以，得
例2.解方程
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
方程两边通分，得
经检验：原方程的根是
例3.解方程：
分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：
即
例4.解方程：
分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：
约分，得
方程两边都乘以
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
中考题解：
例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）
A. B.
C. D.
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。
例2. （2002·福州）甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？
解：方程两边都乘以，得
整理，得
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
练习：
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）
A. B.
C. D.
2. 如果关于x的方程
A. B. C. D. 3
3. 解方程：
4. 求x为何值时，代数式的值等于2？
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
试题答案
1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。
又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为
2. 把方程两边都乘以
若方程有增根，则
3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
解：原方程可变为
（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
因为其中的
经检验：是原方程的根。
4. 解：由已知得
的值等于2。
5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。由题意，得
经检验
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。
一、选择题 1． 函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．把分式22 10x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列分式是最简分式的是（ ） A ．22a a ab + B ．63xy a C ．211x x -+ D ．211 x x ++ 4．计算2 21 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 5．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 6．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．1 8 - D ． 18 7．如果 112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） A ． 1221t t t t +- B ． 21 21 t t t t -+ C ． 12 21 t t t t -+ D ． 12 12 t t t t +- 8．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 9．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．下列各式中的计算正确的是（ ） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ． a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 11．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ）
分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
分式方程专题一、分式通分六大技巧 例1、逐步通分 2411241111x x x x ----+++ 例2、整体通分)22 5(423---÷--a a a a 例3、分组通分：2m 11-m 21m 22-m 1+--++例4、分解简化通分：4x 2x 1x x 1x x x x 22223-+-+-+-- 例5、裂项相消 ()()()()()()10099132121111--+???+--+--+-a a a a a a a 变式训练：化简 341651231222++++++++x x x x x x 例6、活用乘法公式:)）（x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x (x 111111121616884422≠-+++++ 分式方程专题二、解分式方程 例1、去分母法解分式方程 ()()11 3116=---+x x x
变式训练：1、22416222-+=--+-x x x x x 2、2 2412212362x x x x x x x -+++=++--- 3、6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2、整体换元与倒数型换元： （1） 6151=+++x x x x （2）1 2221--=+--x x x x 变式训练：1、已知关于x 的方程3)1(2122-=+++ x x x x ，求11++x x 的值 2、22 2226124044444 x x x x x x x x +--+=++-+- 变式练习：（上海）用换元法解分式方程 13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C.2310y y -+= D ．2310y y --= （一）分式方程的特殊解法 例1、交叉相乘法： 231+=x x 例2、化归法：01 2112=---x x
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
1. 3. 5. 7. 9. .解答题（共30小题） 解方程 一 — 初二解分式方程专题练习 1_ (K +n (K -IT 3 解方程： x _ 1 （2011?台州）解方程： s _ 3 2x 解分式方程: 4： _ 1_ 3 s- 2 ~2-s 11 .解方程: 13.解方程: 圧匕. x+2 15.解方程: x+1 x+1 17. ①解分式方程 19. (1)计算:| — 2|+ ( . ：+1) 0-(二)-1 +ta n60° 20. 解方程: 22. 解方程: 口 +id 2-2 2- x 2 - x 1 7T 3+3- s = 1 24. 解方程: 26. 解方程: 2 ?解关于的方程：二 4 .解方程：一!— = +1 . x- 1 2s- 2 6 .解分式方程： 一— ---- s+1 i-l 8 .解方程：一一一- 10 .解方程：—」 12.解方程: 14.解方程: 16.解方程: 18.解方程: X - 3二 2x+2 _x+l （2）解分式方程: x+1 3i+3 +1. 21.解方程：------- + =1 3 _ 1 K 23.解分式方程：1 _ 1 ox _ 2 3 y — 3 25 .解方程：—— X *■ Z Z - K 27.解方程:
28 ?解方程：- 30?解分式方程：… 初三解分式方程专题练习答案与评分标准 .解答题(共30小题) 1.解方程： y-1 y 解答：解：方程两边都乘以 y (y - 1),得 2 2y +y (y - 1) = (y - 1) ( 3y — 1), 2 2 2 2y +y - y=3y - 4y+1 , 3y=1 , 解得y= ?, 3 检验：当 y= ?时，y (y - 1) =— x( — - 1)=-—旳, 3 3 3 9 ??? y= 一是原方程的解， 3 ?原方程的解为y=. 3 2. 解关于的方程：一‘ I ,. s+3 x _ 1 解答：解：方程的两边同乘(x+3) (x - 1),得 x (x - 1) = (x+3) (x - 1) +2 (x+3), 整理，得5x+3=0, ???原方程的解为：x=-仝 5 3. 解方程：訂 解答：解：两边同时乘以(x+1) (x - 2), 得 x ( x - 2)-( x+1) (x - 2) =3. (3 分) 解这个方程，得x= - 1 . (7分) 检验：x= - 1时(x+1) (x - 2) =0 , x= - 1不是原分式方程的解, ?原分式方程无解.(8分) 1 3 4. ----------------------- 解方程： = +1 . x - 1 2 解答：解：原方程两边同乘 2 (x - 1),得2=3+2 (x - 1), 解得x=, 2 检验：当x=时，2 (x - 1)旳, 2 ???原方程的解为：x=,. 解得x=-' 29.解方程: (x+3) (x - 1) 检验：把
初中数学分式随堂练习40 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若，，，则，，大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务．若设规定的时间为天，由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题（共4小题；共20分） 6. 要使有意义，则实数的取值范围是． 7. 一种病毒的直径为米，用科学记数法表示为米． 8. 如果，那么的结果是． 9. 年月，全球首个火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍．在峰值速率下传输千兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，依题意，可列方程为． 三、解答题（共4小题；共52分） 10. 阅读下列材料：
方程的解是；的解是；的解是； （即）的解是． 观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解，并利用“方程的解” 的概念进行验证． 11. 求下列各分式的值： （1），其中． （2），其中，． 12. 计算：． 13. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【解析】 由分母为，可设，则 对应任意，上述等式均成立， ，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）直接写出时，的最小值为．
1 分式化简、解分式方程与应用题三个重要问题 一、分式化简 1、 在分式的运算中,有整式时,可以把整式瞧做分母为1的式子,然后再计算。 2、 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3、 如果分式的分子分母就是多项式,可先分解因式,再运算。 4、 注意分式化简题不能去分母、 1、先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412 x x x x x x x -+÷--++-,其中x ＝2－2. 4、计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5、化简:35(2)482y y y y -÷+--- 6、化简,:2211()22x y x y x x y x +--++, 7、先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8、计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1
2 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程:2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程:22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程:x x x -=+--23123、 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--. 三.列分式方程——基本步骤: ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。 列方程解应用题 1、为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6
初中数学分式知识点总复习 一、选择题 1．0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】 本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝224x y - B ．13x -＝13x C ．236(2)6y y -=- D ．32()(1)m m m m x x x -÷=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的相关运算法则计算可得． 【详解】 A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝﹣（x+2y ）2＝﹣x 2﹣4xy ﹣4y 2，此选项计算错误； B ．3x ﹣1＝3x ，此选项计算错误； C ．（﹣2y 2）3＝﹣8y 6，此选项计算错误； D ．（﹣x ）3m ÷x m ＝（﹣1）m x 2m ，此选项计算正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则和负整数指数幂的规定． 3．若2310a a -+=，则12a a + -的值为（ ） A 1 B ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】 【分析】 先将2310a a -+=变形为130a a -+ =，即13a a +=，再代入求解即可. 【详解】 ∵2310a a -+=，∴130a a -+ =，即13a a +=， ∴12321a a +-=-=.故选B.
【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a +=. 4．若（x ﹣1）0＝1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＝﹣1 B ．x ＝1 C ．x≠0 D ．x≠1 【答案】D 【解析】 试题解析：由题意可知：x-1≠0， x≠1 故选D. 5．在等式[]209()a a a ?-?=中，“[]”内的代数式为（ ） A ．6a B ．()7a - C ．6a - D ．7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ?=， ∴[]927a a -==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键. 6．雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM 2.5，PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A ．2.5×106 B ．2.5×10﹣6 C ．0.25×10﹣6 D ．0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
分式方程应用题专题 1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州） 铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节 日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理 量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率 污水处理量 ）． 污水排放量 （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理 率不低于 ．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天 污水处理量的基础上至少 ．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？
4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独 工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区 安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用 的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =-
一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值为 A ． B ． C ．D．不存在 2．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a＞b＞0），则有（）甲乙 甲
（A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ） 121< 8．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 9．若分式2 1 1 x x -+的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 10．使代数式726 x x --有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≠3 B ．x ＜7且x≠3 C ．x≤7且x≠2 D ．x≤7且x≠3 11．分式 （a ，b 均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来倍 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大10倍 13．无论x 取何值，总是有意义的分式是（ ） A ． 21 x x + B ． 2 21 x x + C ． 3 31 x x + D ． 21x x + 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 16．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 18．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则 abc ab bc ca ++的值是（ ） A ． 121 B ．122 C ．123 D ．124 19．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 222222222 111 b c a c a b a b c ++ +-+-+-的值是（ ） 一、选择题 1．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用科学记数法表示为（ ） A ．2× 109米 B ．20×10-8米 C ．2×10-9米 D ．2×10-8米 2．下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠ 时，分式1 32 x x +-有意义 B ．当a b 时，分式 22 ab a b -有意义 C ．当1 2x =-时，分式214x x +值为0 D ．当x y ≠时，分式22 x y y x --有意义 3．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 4．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 5．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，2 5b 2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b c C ．22220a b c D ．22240a b c 6．分式： 22x 4- ，x 42x - 中，最简公分母是 A ．() ()2 x 4?42x -- B ．()()x 2x ?2+ C ．()()2 2x 2x 2-+- D ．()()2x 2?x 2+- 7．下列各式中，正确的是（ ）． A ． 1122 b a b a +=++ B ．221 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 8．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．18 - D ． 18 9．如果112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） 分式方程应用题专题 专题一、营销类应用性问题 1、 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？ 2、A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？ 3、某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？ 专题二、工程类应用性问题（难点） 1、甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？ 2、甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？ 11 2 3、 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 5、 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 6、 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个 所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？ 专题三、行程中的应用性问题（难点） 1、 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 1 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计 算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 2 6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3 3、解分式方程：313 1=---x x x 4、解方程：22 333x x x -+=-- 5、解方程22 1 11x x =--- 6、解方程：x x x -=+--23 123. 7、解分式方程：6 122x x x +=-+ 人教版初中数学分式知识点总复习 一、选择题 1．计算-1 2的结果为（） A．2B．1 2 C．-2D． 1 - 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂次方计算公式即可解答.【详解】 解：原式=1 2 . 答案选B. 【点睛】 本题考查幂次方计算，较为简单. 2．下列各式从左到右变形正确的是（） A． 1 3(1)2 23 x y x y + +=++B． 0.20.0323 0.40.0545 a b a d c d c d -- = ++ C．a b b a b c c b -- = -- D． 22 a b a b c d c d -- = ++ 【答案】C 【解析】 【分析】 依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】 A、该式子不是方程，不能去分母，故A错误； B、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故B错误； C、a-b b-a = d-c c-d 故C正确； D、分式中的分子、分母的各项没有同时除以2，故D错误．故选C． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用性质. 3．0000036=3.6×10-6； 故选：A． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．下列运算正确的是( ) A ．325x x x += B ．2224(3)6xy x y = C ．2(2)(2)4x x x +-=- D ．1122x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，平方差公式，可得答案． 【详解】 解：A 、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A 不符合题意； B 、2224(3)9xy x y =，故B 不符合题意； C 、2(2)(2)4x x x +-=-，故C 符合题意； D 、122x x -=，故D 不符合题意； 故选：C ． 【点睛】 此题考查同底数幂的乘除法，平方差公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 5．12×10?3＝0.00612， 故选：C ． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．把实数36.1210-?用小数表示为（） A ．0.0612 B ．6120 C ．0.00612 D ．612000 【答案】C 【解析】 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 7． x 的取值范围是（ ） 化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak === 一、选择题 1．函数2 1 x y x +=-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，2 5b 2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b c C ．22220a b c D ．22240a b c 3．计算： ()3 3 2xy ?-一 的结果是 A ．398x y -- B ．398x y --- C ．39 1x y 2 --- D ．361x y 2 --- 4．如果分式24 2 x x --的值等于0，那么（ ） A ．2x =± B ．2x = C ．2x =- D ．2x ≠ 5．分式a x ，22x y x y +-，2 121 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知a ＜b ，化简22 2a a ab b a b a -+-的结果是( ) A ．a B ．a - C ．a -- D ．a - 7．下列分式中，最简分式是（ ） A ．x y y x -- B ．211 x x +- C ．2211x x -+ D ．2424 x x -+ 8．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ） A ．a 1- B ．1a - C ． () 2 1a - D ． 11a - 9．若 a =20170，b =2015×2017﹣20162，c =（﹣23）2016×（3 2 ）2017，则下列 a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a 10．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是 （ ） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 11．如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小2倍 D ．扩大4倍 12．下列各式中，正确的是（ ） 初中数学分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 分式方程应用题专题解析 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 分式方程应用题专题复习 一.行程问题 （1）一般行程问题 １、从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600Kｍ的普通公路,另一条是全长４80Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快4５Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的1.５倍,才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。 3.甲、乙两地相距８２8ｋm，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.５倍．直达快车比普通快车晚出发２h，比普通快车早4h到达乙地,求两车的平均速度． （2)水航问题 ３、轮船顺水航行８０千米所需要的时间和逆水航行６０千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米／时,求轮船在静水中的速度。 二.工程问题 １、一台甲型拖拉机４天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机，两台合耕，１天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天? ２、某市为治理污水，需要铺设一段全长3０0０米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加２5%,结果提前3０天完成了任务，实际每天铺设多长管道? 例２某工程由甲、乙两队合做６天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合做１0天完成,厂家需付乙、丙两队共９5０0元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的3 2 ,厂家需付甲、丙两队共5500元. ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 三．利润（成本、产量、价格、合格）问题 １、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤3３０00吨煤所需的时间和原计划采２3100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。 2、某商品的标价比成本高ｐ%,当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过ｄ%,请用p表示d。 3、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上,（不包括３0０枝）,可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝)只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买１枝,那么只能按零售价付款,需用120元，如果购买60枝,那么可以按批发价付款，同样需要120元, (1)这个八年级的学生总数在什么范围内？新最新初中数学—分式的知识点(1)
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