证明题 经典题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．
求证：△PBC 是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G
C E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
经典题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB
及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN
于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
3、设P 是正方形ABCD 一边
求证：PA ＝PF ．
（初二）
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF
B 、D ．求证：AB ＝D
C ，BC ＝A
D ．（初三）
E
经典题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，
求：∠APB 的度数．（初二）
2
、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝
AC ·BD ．（初三）
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
D
经典难题（五）
1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
经典题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得EO
GF
=
GO
GH
=
CO
CD
,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC
1和AB
1
分别找其中点F,E.连接C
2
F与A
2
E并延长相交于Q点，
连接EB
2并延长交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
由A
2E=1
2
A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
，EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于22AD AC CD FD FD
AB AE BE BG BG
====， 由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=
2
EG FH
+。 由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。 从而可得PQ=
2
AI BI +=2AB
，从而得证。
经典题（三）
1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=X
Y
=
Z
Y X Z
-+
，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，
得到PA＝PF ，得证。
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BE BC =
AD
AC
，即AD?BC=BE?AC，①
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
AB AC =
DE
DC
，即AB?CD=DE?AC，②
由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S =
2
ABCD
S =DFC S ，可得： 2AE PQ =2
AE PQ
，由AE=FC 。 可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典题（五）
1.（1）顺时针旋转△BPC 600，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。 由于∠APD>∠A TP=∠ADP ，
推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC >PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L ＜2。
2.顺时针旋转△BPC 600，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得= =
= = 1)
2
= 。
3.顺时针旋转△ABP 900，可得如下图：
既得正方形边长L = a= a。
4.在AB 上找一点F ，使∠BCF=600，
连接EF ，DG ，既得△BGC 为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出：△FGE 为等边三角形，可得∠AFE=800， 既得：∠DFG=400①
又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400② 推得：DF=DG ,得到：△DFE ≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300。
21.（本题7分）如图，ABC △中(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，． （1） 将ABC △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；
则A 1的坐标为__________
（2） 将ABC △绕原点O 旋转180
，画出旋转后的
222A B C △；
则B 2 的坐标为__________
(3) 直接写出△A 1B 1B 2的面积为___________
22.(8分)如图，Rt △ABE 中，AB ⊥AE 以AB 为直径作⊙O ，交BE 于C ，弦CD ⊥AB,F 为AE 上一点，连FC ，则FC = FE (1) 求证CF 是⊙O 的切线;（4分） （2）已知点P 为⊙O 上一点，
且tan ∠APD = 1
2 , 连CP ，
求sin ∠CPD 的值.（4分）
23.(10分)江汉路一服装店销售一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定售价为60～150元，当定价为60元/件时，平均每星期可卖出70件，每涨价10元，一星期少买5件。 (1)若销售单价为x 元/件（规定x 是10的正整数倍），每周销售量为y 件，写出y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围？（2分） (2)当每件衬衣定价为多少元时，服装店每星期的利润最大，最大利润为多少元？（3分） （3）请分析销售价在哪个范围内每星期的销售利润不低于2700元？（5分）
24.如图在△ABC 中，∠ACB=90 o ,BC=k AC ，CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC,
PF ⊥BC,垂足分别为E 、F ，
(1)若k=2时，则CE/BF = _________ （2分） (2)若k=3时，连EF 、DF, 求EF/DF 的值（5分） （3）当k=__________时，EF/DF = 2 3 /3.(直接写结果，不需证明) （3分）
A
D
P
B
F
C E
25．（本题12分）如图1，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；（4分）
（2）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；（4分）
（3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2(A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应)使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标．（4分）
初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
第25 题 专题复习训练 ( 含答案） 1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ADE=90°，点 F 为 BE的中点，连接 DF、CF。（1）如图 1，当点 D 在 AB上，点 E 在 AC中点，DE 2 ,求CF； （2）如图 2，在（ 1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时，线段 DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （3）如图 3，在（1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论； 2. 如图所示，△ ABC ，△ ADE 为等腰直角三角形，∠ ACB= ∠AED=90°．F 为线段 BD 的中点．（ 1） 如图 1，点 E 在 AB 上，点 D 与 C 重合， EF=2，求 AB 的长 . （ 2）如图 2，当 D、 A 、 C 在一条直线上时．线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （ 3）如图③，连接EF、 FC，线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图 1，△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED= ∠ ACB=90 °，点 D 在 AB 上，连 CE，M 、N 分别为 BD 、 CE 的中点． （1）求证： MN ⊥CE； （2）如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°， CE 与 MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论． 4. 已知，如图1，等腰直角△ ABC 中， E 为斜边 AB 上一点，过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F，连接 AF， G为 AF 的中点，连接EG， CG。 （1）如果 BE=2，∠ BAF=30°，求 EG， CG的长； （2）将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°，得如图 2 所示，取 AF 的中点 G，连接 EG，CG。延长 CG 至 M ，使GM=GC ，连接 EM=EC ，求证：△ EMC 是等腰直角三角形； （3）将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度，得如图 3 所示，取 AF 的中点 G，再连接 EG， CG，问线段 EG 和 GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。 M A A A G F G G E E F E B F C B C B C 图 1图 2图 3
几何图形综合题 1.已知：在等边△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD ＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H . (1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ； (2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系； (3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长． 第1题图 (1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中， ???? ?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC ∠ABE ＝∠BCD ， ∴△ABE ≌△BCD (ASA )； (2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中， ???? ?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC ∠ABE ＝∠BCD ，
∴△ABE ≌△BCD (ASA )， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ， ∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ； (3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ， 第1题解图 ∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2, 与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8， ∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°， ∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2 ＝BS 2 ＋SD 2 ＝72 ＋(3)2 ， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ， ∴ CB CE ＝CD CK ＝BD EK ， ∴CK ＝ CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝813 3 . ∵HM ∥AC ，
中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是 BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）． 则 BF 的长为2．
中考物理专题复习一一推理题证明题训练 ② 由欧姆定律和串联电路的特点导出：串联的两个导体的总电阻等于各导体的电 阻之和。并请你设计一个实验方案进行验证。 一具形状不规则的木棒水平放置于地面上，采用如下方法测定其重量：在木棒 左端以F i 的竖直向上的力刚好能提起木棒，在木棒右端以 F 2的数值向上的力也能刚 好提起木棒。证明木棒的重量 G=F+F 2。 ③ 由欧姆定律和并联电路的特点导出：并联的两个导体的总电阻的倒数等于各导 体的电阻倒数之和。并请你设计一个实验方案进行验证。 ④ 请证明在有两个电阻 R 和R 的串并联电路中都有 P=R+F 2 某汽车质量为 M 当其在水平路面行驶时，发动机输出功率恒为 P i ,此时汽车 以v i 的最大速度匀速行驶。当汽车行驶入长度为 L 高为h 的斜坡上，发动机输出功 率为P ，已知在斜坡上汽车受到的总阻力为水平路面上的 k 倍。证明在斜坡行驶时 汽车的最大速度V 2 PV1L — Mghv i RkL ⑨ 对于密度比液体大的实心物体用弹簧秤悬挂并完全浸没在液体中时总满足: 物 G 液 G T 示数 用n 股绳子组成的滑轮组，提起重力为 G 的物体。若动滑轮的重力为 GQ 忽略轴 间的摩擦和绳重，求证：当该滑轮组不省力时，机械效率nW 1/n 。 一架不准确的天平，主要是由于它横梁左右两臂不等长。为了减少实验误差， 在实验室中常用“交换法”来测定物体的质量。即先将被测物体放在左盘，当天平 平衡时，右盘中砝码的总质量为 m ；再把被测物体放在右盘，当天平平衡时，左盘 中砝码的总质量为 m 。试证明被测物体的质量 m 7m 1 m 2 ⑤ 请证明：在远距离传输电能过程中若发电机输出功率和传输导线电阻一定的情 况下，输电导线上因发热而损失的功率与传输电压的平方成反比。 ⑥ 使用滑轮组提升物体在不计摩擦和绳重的情况下其机械效率与动滑轮上绳子的 股数和物体被提升的高度无关。 天津在支援四川德阳地区抗震救灾活动中，一辆满载物资的总重为 G 牛顿的运 输车，将物资沿ABCD 路线运至D 处，AB 段海拔高度为h i 米，CD 段海拔高度为h 2米, 如图14甲所示。在整个运输过程中，汽车以恒定速度 v 米/秒运动，汽车t =0时经 过A 处，和时经过B 处，t 2时经过C 处，在此过程中汽车牵引力功率 P 随时间，变 化的图象可简化为图14乙所示 （P i 、F 2、t i 和t 2也为已知量）。 ⑦ 请证明对于同种材料制成的均匀实心的不同种柱体在高度相等时对水平面的压 强相等。 BC 段运动时所受总阻力 请利用已知量证明汽车沿斜坡 ⑧ 对于能够漂浮在液体上的物体总有: P 2(t 2 tj G(h 2 A) V (t 2 t i ) ? 如图所示，由斜面与滑轮组组合成的机械，若斜面的机械效率为 效率 为n 。求证：组合机械的机械效率 n =nn 。 63002.09^8 n,滑轮的机械
2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE (1)求证:BＥ=CＥ； （2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD. 2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点． （1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ； （２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．
3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ. (1)当CE=1时,求△ＢCE的面积; （２）求证：BD＝EF+CE． 4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF． （1)求证：OＦ∥BC； (２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．
5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6． (1）求线段CＤ的长； （2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC. 6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°． (１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积; (2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．
专题四 第14题几何图形综合题 (2016～2019.14) 1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，P 为矩形ABCD 内一动点，且满足S △P AB ＝13 S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为________． 第1题图 2. 如图，边长为23的菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，且点E 是BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，点M 是AD 上的一个动点，连接MF 、MC ，则MF ＋MC 的最小值为________． 第2题图 3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点M 是AB 的中点，CN ＝14 CD ，P 是直线AC 上的一点，则|PM －P N |的最大值为________． 第3题图 4.如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD ＝60°，点E 、F 在对角线AC 上(点E 在点F 的左侧)，且EF ＝1，则DE ＋BF 的最小值为________． 第4题图 5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE 、CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、P E ，则PD ＋PE 的最小值为________．
第5题图 6. 如图，已知四边形ABCD ，连接AC 、B D.若AB ＝AD ＝BD ，AC ＝27，∠BCD ＝30°，则BC 2＋CD 2＝________． 第6题图 7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个 动点，则PD －12 PC 的最大值为________． 第7题图 8. 如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝10 cm 2，S △BQC ＝20 cm 2，则阴影部分的面积为________cm 2. 第8题图 8. 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，点F 是CD 上一动点，且AE ＋CF ＝4，则△DEF 面积的最大值为________． 第9题图 10. 如图，O 为矩形ABCD 的对称中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N .若AB ＝6，AD ＝4，则四边形OMCN 面积的最大值为________．
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 几何证明练习题及答案 【知识要点】 1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用； 2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证； 3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。 【概念回顾】 1.全等三角形的性质：对应边（ ），对应角（ ）对应高线（ ），对应中线（ ），对应角的角平分线（ ）。 2.在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则BC ：AC ：AB=（ ）。 【例题解析】 【题1】已知在ΔABC 中，，AB ＝AC ，BD 平分．求证：BC ＝AB ＋CD ． 【题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ. 【题3】如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC. 【题4】已知：如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，证明AB=DE ，AC=DF. 【题5】已知：如图，△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数． 【题6】如图：△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，线，过C 作CF ⊥AE ，垂足是F ，过B 作BD ⊥BC 交108A ∠=ABC ∠
2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. （1） 求证：AE=CD; （2） 若AC=12㎝，求BD 的长. 【题7】等边三角形CEF 于菱形ABCD 边长相等. 求证：（1）∠AEF=∠AFE (2)角B 的度数 【题8】如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线， ∠1=∠B ，求证：AB=AC+CD. 【题9】如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F. 求证：AF=2 1FC 【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点C 旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE 的长. 【题11】AD,BE 分别是等边△ABC 中BC,AC 上的高。M,N 分别在AD,BE 的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN. 【题12】已知：如图，AD 、BC 相交于点O ，OA =OD ，OB =OC ，点E 、F 在AD 上，且AE =DF ，∠ABE ＝∠DCF . 求证：BE‖CF . 【巩固练习】 【练1】 如图，已知BE 垂直于AD ，CF 垂 直于AD ，且BE=CF. （1）请你判断AD 是三角形ABC 的中线还是角
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
初一几何证明题 1.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。 2. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。 3.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。 4、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB ∥CD 。 5、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。 6、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。 B D E /F C A 2G 3B D /P C O 2A B C D F E 2 1A B C D 34E B C D O A B C D F E A G H
G F E D A C 7、已知，如图，B 、E 、C 在同一直线上，∠A=∠DEC ，∠D=∠BEA ， ∠A+∠D=900，求证：AE ⊥DE ，AB ∥CD 。 8、如图，已知，BE 平分∠ABC ，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，，求 证：BC ∥AE 。 9、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF ⊥CD ，求证：∠3=∠B 。 10、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠B=∠3，AC ∥DE ，求证：AD ∥BC 。 11.∠ECF ＝900,线段AB 的端点分别在CE 和CF 上，BD 平分∠CBA ， 并与∠CBA 的外角平分线AG 所在的直线交于一点D ， （1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系（直接写出关系及大小） （2）点A 在射线CE 上运动，（不与点C 重合）时，其它条 件不变，（1）中结论还成立吗说说你的理由。 B C D E A B C D E A 21B C D F 3E A 2 1B C D 3E A
初中几何证明题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 求证：AP ＝AQ ．（初二） A P C D B A F G C E B O D N
F 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） 2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 求证：AE ＝AF ．（初二） 3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 求证：PA ＝PF ．（初二） 4、如图，PC 切圆O 于 C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、 D ．求证：AB ＝ DC ，BC ＝AD ．（初三） 经典题（四） 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二） 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二） 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） D
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
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【题4】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB ∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF. 【题5】已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数． 【题6】如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中
线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。 （1）求证：AE=CD; （2）若AC=12㎝，求BD的长. 【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等. 求证：（1）∠AEF=∠AFE (2)角B的度数 【题8】如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B，求证：AB=AC+CD.
【题9】如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F. 求证：AF=2 1FC 【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点C 旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE 的长.
【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE 的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN. 【题12】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF. 求证：BE‖CF. 【巩固练习】 【练1】如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF. （1）请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论。 （2）链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件？
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
几何图形综合题 1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE ⊥BE 于E ，CD ⊥BE 于D .若CD ＝8，DE ＝5，则AE 的长为________． 第1题图 3 【解析】∵∠ABC ＝90°，AE ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠E ＝∠CDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBD ＝90°，∠ CBD ＋∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠ABE ，在△CDB 和△BEA 中，?????∠CDB ＝∠E ∠BCD ＝∠ABE CB ＝BA ，∴△CDB ≌△BEA (AAS)，∴BE ＝CD ＝8，AE ＝BD ，∵DE ＝5，∴AE ＝BD ＝BE －DE ＝8－5＝3. 2. 如图，在?ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ＝8，点M 、N 分别在BC 、CD 上，且∠MAN ＝60°，则四边形AMCN 的面积是__________． 第2题图 16 3 【解析】如解图，连接AC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB ·sin60°＝43，∵∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC 平分∠BAD ，∴∠B ＝∠ACN ＝60°，∴△ABM ≌△ACN (ASA)，∴S 四边形AMCN ＝S △ABC ＝12 ×43×8＝16 3. 第2题解图 3. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M 、N 分别为BC 、CD 上一点，连接AM 、AN 、MN ，则△AMN 周长的最小值为________． 第3题图
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②