四点共圆的判定与性质
一、四点共圆的判定
（一）判定方法
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理）。
已知四边形ABCD，若AB×CD+BD×AC=AD×BC，则A、B、C、D四点共圆。
（三）例题
1
2
3
二、四点共圆的性质
1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。
2、圆内接四边形的对角互补。
3、圆内接四边形的外角等于内对角。
四点共圆(圆内接四边形)的性质： 1.圆幂定理； 2.图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理 ∠A=∠C，所以所以有：即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以
，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、 ∠PCB都为弦切角。弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的 圆周角度数。 三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。三角形的外角平分线也有类似性质。设AD、AE 是∠A 及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。 斯特沃特定理(Stewart)： 海伦公式。 梅涅劳斯定理 塞瓦定理 托勒密定理(Ptolemy) 西姆松定理(Simson) 欧拉定理 ( Euler ) 费马点(Fermat ) 三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1 。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 6 三角形垂心的性质：设△ ABC 的三条高为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 为垂足，垂心为 H； 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三
角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 3、垂心 H 关于三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上。 4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这 7 个点可以得到 6 组四点共圆，有三组 ( 每组四个 ) 相似的直角三角形，且 AH · HD=BH · HE=CH · HF。 5、 H、 A、 B 、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为一个垂心组 ) 。 6、△ ABC ，△ ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、 AC 所在直线分别于 P 、 Q，则AB/AP · tanB+ AC/AQ · tanC=tanA+tanB+tanC 。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍。9、设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC ，∠ ABH= ∠ OBC ，∠ BCO= ∠ HCA 。 10 、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍。11 、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 ( 顶点在原三角形的边上 ) 中，以垂足三角形的周长最短。 12 、西姆松定理（Simson 西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件是：PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 三角形内心的性质：设 I 为△ ABC 的内心，连 AI 交△ ABC 外接圆于点 K，则 1 ①∠BIC=90°+2∠A；S=pr，abcr=p· AI· BI· CI 8 ②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等(即K 是△ BIC 的外心)。反之，I 在 AK 上且 KI=KB，则 I 为△ ABC 的内心。 1 ③P 为△ ABC 的内切圆与边 AB 的切点，则 AP=p-a=2(b+c-a)。 三角形外心的性质： abc ①设 O 为△ ABC 的外心，则∠BOC=2∠A 或 360° -2∠A； R=4S 。△②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。③设H 为△ABC 的垂心，则 OH ? OA ? OB ? OC 。 面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的
四点共圆的判定和性质 四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”. 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆． 方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点. 方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆． 上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明． 判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180° ∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等） ∠CBE=∠D（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP×CP=BP×DP（相交弦定理） AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理） 托勒密定理及证明： 如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD 证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E ∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD ∴△ABE∽△ACD ∴AB：AC=BE：CD ∴AB×CD=AC×BE ∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE ∴△ABC∽△AED ∴BC：DE=AC：AD ∴BC×AD=AC×DE ∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD
四点共圆的判定与性质 一、四点共圆的判定 （一）判定方法 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。 6、若AB、CD 两线段相交于P 点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（相交弦定理的逆定理）。 7、若AB、CD 两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（割线定理）。 8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。 （二）证明 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D 四点在以O 为圆心OA 为半径的圆上。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 若∠A+∠C=180 °或∠B+∠D=180 °，则点A、B、C、D 四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 若∠B=∠CDE，则A、B、C、D 四点共圆证法同上。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这 两个点和这条线的两个端点共圆。 若∠A=∠D 或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D 四点共圆。 6、若AB、CD 两线段相交于P 点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（相交弦定理的逆定理）。
证明四点共圆的基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆． 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明． 例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H 四点共圆． 证明菱形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH． ∵AC和BD 互相垂直， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、 Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、 BC、CD、DA的中点，
即E、F、G、H四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆． 例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC． 求证：B、E、F、C四点共圆． 证明∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＋∠AFD=180°， 即A、E、D、F四点共圆， ∠AEF=∠ADF． 又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°， 即B、E、F、C四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆． 【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 解∵四边形ABCD内接于圆，
四点共圆 一、知识点梳理 1、四点共圆的概念 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 性质：①圆内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、初中阶段四点共圆的常见判定方法 （1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。 （2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆。 （4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ， PD BP PC AP ?=??四点共圆。 （5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ， PD PC PB PA ?=??四点共圆。 A B C D P A C D P
3、四点共圆的妙用 巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。 二、例题精练 1、四点共圆的性质 a.例题讲解 1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3 2．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（） A．100°B．112.5°C．120°D．135° 3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．
4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长 8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD． （1）求证：DG⊥AB； （2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径． D C B A
四点共圆的性质、判定及应用 一、四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 1、四点共圆的性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、四点共圆的判定方法： 判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆(或其一个外角等于其邻补角的内对角?四点共圆)． 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD ?BP =PC ?AP ?四点共圆． 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD ?PC =PB ?PA ?四点共圆． 判定定理6：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上?四点共圆． 判定定理7：四点到某一定点的距离都相等?四点共圆． 二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四 边形ABCD 内接于圆，则有BD ?AC=BC ?AD+CD ?AB ． 托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ． 求证：B 、E 、F 、C 四点共圆． 2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是AC 、AB 边上的高，∠A ＝60°. 求证：BC ED 2 1= 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线 于E ． 求证：AD · BE ＝BC · DC ． 4．已知：如图所示，P 为等边三角形ABC 的外接圆的 上任意一点． 求证：P A ＝PB + PC ．
四点共圆两个判定定理的证明 1，当∠A=∠C=90·时，可以在答题中仅增加两行说明A、B、C、D四点共圆 连BD，设BD的中点为O′ ∵∠A = ∠C =90· ∴AO′ = BO′ = DO′ = CO′ ∴A、B、C、D在以O′为圆心，B O′为半径的圆上。 2，当那两个角不是直角时 一、附：已知∠A + ∠C = 180·，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＞ 180·与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＜ 180·与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上
上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ≠ 180·与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上∴A、B、C、D四点共圆 二、附：已知∠A = ∠C ，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＜∠C 与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＞∠C 与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上 上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ≠∠C 与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上 ∴A、B、C、D四点共圆
四点共圆 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆） 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆． 方法6 同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径
判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD 交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理 四点共圆的判定定理：用反证法证明 现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后） 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆） 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内， 若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
四点共圆判定 证明四点共圆的基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理） 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆． 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明． 判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 弦切角定理 编辑本段 编辑本段 定理 判定定理 方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆． （可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一 个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯 定这四点共圆． （可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么
四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的外角等于内对角。 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。 定理 1 判定定理 方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。 （可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。 （可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆） 托勒密定理 若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB DC+BCAD=AC BD。
例题：证明对于任意正整数n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数。 解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数，且这n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说 边长为3，4，5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n 大于等于 3 成立，我们来证明n+1。假设直径为r （整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a 例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆． 证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH． ∵AC和BD 互相垂直， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA的中点， 即E、F、G、H四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆． 例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC． 求证：B、E、F、C四点共圆． 证明∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＋∠AFD=180°， 即A、E、D、F四点共圆， ∠AEF=∠ADF． 又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°， 即B、E、F、C四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆． 证明在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且E、D在BC的同侧， ∴E、B、C、D四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB． 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了． 【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 解∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠A-∠C=12°， ∴∠A=96°，∠C=84°． ∵∠A∶∠B=2∶3， ∠D=180°-144°=36°． 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题． 【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．求证：AD·BE=BC·DC． 证明：连结AC． ∵CE∥BD， 第二十四讲 四点共圆（一） 【知识要点】 四点共圆的判定方法： 1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。 【典例精讲】 例2、如图，、 、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。 （1）证明：AB CD //； （2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆. A B 例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ?=?． 例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（ ） A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =，AD ，AB 为方程0142 =+-mn x x 的两根. （1）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； （2）若?=∠90A ，4=m ，6=n ，求C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径． A B E D 例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：2 2 AB BM BF AC =?+． A B 例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； （2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． D 四点共圆的性质、判定及应用（一） 柳州市龙城中学 谭兵 一、四点共圆的概念： 二、四点共圆的性质： （1（2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 三、四点共圆的判定方法： 判定方法1：四点到某一定点的距离都相等 四点共圆． 判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上 四点共圆． 判定方法3：若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆 判定方法4 ：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 判定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径 判定方法 6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆． 判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于P ， 若PD ?BP =PC ?AP 四个顶点共圆． 判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于PD ?PC =PB ?PA 四个顶点共圆 若四边形ABCD 内接于圆 BD ?AC = BC ?AD + CD ?AB ． 此四边形必内接于圆。 若BD ?AC = BC ?AD + CD ?AB 四边形ABCD 内接于圆． ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ． 求证：AD · BE ＝BC · DC ． D E D C A D C A 6．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠B ，△ABD 的外接圆和BC 交于E ．求证：AD ＝EC ． 性质 1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ． 求证：B 、E 、F 、C 四点共圆． 判定 *5．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm 2．P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝5∶14．求PB 判定 ． 7．已知：梯形 ABCD 中，AD ＝BC ，AB ∥CD ．求证：BD 2＝BC 2＋AB · CD 托勒密定理 四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简 称为"四点共圆"。 四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补； (3)圆内接四边形的外角等于内对角。 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。 判定定理折叠 方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆) (2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2 2 12y x +=在y 轴正半轴上的 焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足 0OA OB OP ++=u u r u u u r u u u r r . (I)证明：点P 在C 上； (II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关 系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。 解(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2 2 12y x +=并化简得2410x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则1244 x x == 121212121,)2124 x x x x y y x x +==-+=++= 由题意得312312()()12x x x y y y =-+=- =-+=-，所以点P 的坐标为(1)2--. 经验证点P 的坐标(1)-满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分 巧用四点共圆 在直角三角形的图形变换中时常可以看到，当我们证明了四点共圆时，很多知识在后面的证明中会简化很多，而我们利用圆中90°的圆周角对的弦是直径及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个定理就很容易证明四点共圆。所以我们有很多题目的证明都可以走这样一条路。 在这些年来不断进行的教改中，人教版的数学教材也有了不少变化，特别是圆中的大量定理被删除，降低了初中阶段数学学习的难度，而保留的一些题目都是可以用三角形的相关知识解决的。然而，很多时候，我们可以发现 我们仍然可以借用圆的相关知识使证明简化。 下面我们看这样一个模板： 如图： RT△ABC和RT△DBC中，∠BAC=90°，∠BCD=90°。 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：取BC中点O，连接AO、DO ∵∠BAC=90°，∠BCD=90° ∴AO=BO=CO=DO ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，以OB为半径的圆上。 有了这个结论，有很多的结论可以直接引申得到，我们看下面的一些习题变式：一．由直角三角形到等腰三角形的转化 如图：RT△ABC和RT△DBC中，∠BAC=90°，∠BCD=90°。点O、M分别为BC、AD 的中点。 求证：OM⊥AD 证明①由上面的AO=OD ∵点M为AD的中点 ∴OM⊥AD 证明②由上面的四点共圆 ∴OM⊥AD 那么这里的一种方法是用等腰三角形的三线合一定理，另一个是运用了圆中的垂径定理，写法过程是一样多的步骤。但在圆中来解决问题就很好地将直角三角形与等腰三角形结合起来，体现了几何图形变换中的一种基本的转换思想，当图形发生变化 时这样的结论也会很快得出，不需要重新去构造定理成立的条件。 变式图形如左边的图，条件不变，结论也不变，只是图形发生了变化，原本用哪一种方法都是可以的。但如果在圆中有这样的定理，通过证明四点共圆后这种图形模式就可以直接用圆的相关知识，那么我们就只需要一个步骤就能得到正确结论了，这也反映了数学知识的螺旋上升原理，圆的知识比三角形的知识包含的内容更多，运用范畴也就更广。 二．圆与相似的比较 我们知道相似三角形的性质中有对应角相等一条，这个性质可以用来进行相关的角的计算和证明。而在圆中则有同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半这样的性质，这个性质中同弧所对的圆周角有无数个，也就是说我们在圆中找相应的角的关系能够有很多可以用。 例：如图，一幅三角板ACD 、BCE 中，△ACD 是等腰直角 三角形，∠CAD=∠CBE=90°，直线a ∥CD ．试判断ＢＣ与ＢＰ 的数量关系并证明． 判断：ＢＣ＝ＢＰ 证明：连接ＣＰ 方法①设ＢＰ与ＡＣ交于点０ ∵∠CAD=∠CBE=90°，∠C ＯＢ=∠ＡＯＰ ∴△ＢＯＣ∽△ＡＯＰ ∴AO BO ＝PO CO ∵∠COP=∠BOA ∴△AOB ∽△POC ∴∠CPB=∠CAB ∵a ∥CD ∴∠CAB=∠ACD=45° ∴∠CPB=∠CAB=45° ∵∠CBE=90° ∴∠BCP=45°=∠BPC ∴ＢＣ＝ＢＰ 圆内接四边形判定方法 1、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆; 2、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆; 3、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆; 4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆; 圆内接四边形性质： 以右图所示圆内接四边形ABCD 为例，圆心为O ，连接 OA 、OB ，延长AB 至E ，AC 、BD 交于P ，则: 1、圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC 3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两 倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB 4、同弧所对的圆周角相等:∠ABD=∠ACD 示例图 5、圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等) 引例1、（2014年福州中考）如图1，点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60?，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒. （1）当t = 12 秒时，则OP = ，S △ABP = ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值； （3）如图2，当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3. 例2．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ， 有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆 ∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB . 例3、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA ．求证：∠PAB=∠PCB ． 例4、如图，O 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，CH ⊥AB 于H ，延长CH 至D ，使得CH=DH ，F 为CO 上任意一点，过B 作BE ⊥AF 于E ，连接DE 交BC 于G ．求证：∠CAF=∠CDE ． A B C D K M · ·(完整版)四点共圆例题及答案
四点共圆(一)复习课程
四点共圆的性质与判定
四点共圆
巧用四点共圆
四点共圆的运用
相关主题
文本预览