【高中数学】《推理与证明》知识点
一、选择题
1.观察下列各式:2749=,37343=,472401=,…,则10097的末两位数字为( ) A .49 B .43
C .07
D .01
【答案】C 【解析】 【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点,寻找规律,结合周期性进行判断即可. 【详解】
观察2749=,37343=,472401=,572401716807=?=,
67168077117649=?=,…,可知末两位每4个式子一个循环,2749=到10097一共有
1008个式子,且10084252÷=,则10097的末两位数字与57的末两位数字相同,为07. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用,根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
2.观察下列等式:332123+=,33321236++=,33332123410+++=,记
()3333123f n n =+++???+.根据上述规律,若()225f n =,则正整数n 的值为( )
A .8
B .7
C .6
D .5
【答案】D 【解析】 【分析】
由规律得()()()2
22
11234
n n f n n +=+++???+=
再解方程即可 【详解】
由已知等式的规律可知()()()2
22
11234
n n f n n +=+++???+=
,当()225f n =时,可得5n =. 故选:D 【点睛】
本题考查归纳推理,熟记等差数列求和公式是关键,考查观察转化能力,是基础题
3.观察下列各式:a+b=1.a 2+b 2=3,a 3+b 3=4 ,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( ) A .28 B .76
C .123
D .199
【答案】C 【解析】 【分析】
由题观察可发现,
347,4711,71118+=+=+=, 111829,182947+=+=,
294776,4776123+=+=,
即1010123a b +=, 故选C.
考点:观察和归纳推理能力.
4.已知函数()f x 的导函数为()f x ',记()()1f x f x '=,()()21f x f x '=,…,
()()1n n f x f x +'=(n ∈N *
). 若()sin f x x x =,则()()20192021f x f x += ( )
A .2cos x -
B .2sin x -
C .2cos x
D .2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ,可得
()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---,最后计算可得结果.
【详解】
由题可知:()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+???
所以猜想可知:()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---
()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=?-=?- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选:D
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,选择题、填空题可以使用取特殊值,归纳猜想等方法的使用,属中档题.
5.甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )
A .甲是工人,乙是知识分子,丙是农民
B .甲是知识分子,乙是农民,丙是工人
C .甲是知识分子,乙是工人,丙是农民
D .甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 【答案】C 【解析】
“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民,所以丙的年龄比乙小;再由“丙的年龄比知识分子大”,可知甲是知识分子,故乙是工人,故选C.
6.给出下面类比推理:
①“若2a<2b ,则a
a b a b
c c c
+=+ (c≠0)”; ③“a ,b ∈R ,若a -b =0,则a =b”类比推出“a ,b ∈C ,若a -b =0,则a =b”; ④“a ,b ∈R ,若a -b>0,则a>b ”类比推出“a ,b ∈C ,若a -b>0,则a>b(C 为复数集)”. 其中结论正确的个数为( ) A .1 B .2
C .3
D .4
【答案】B 【解析】 【分析】
在数集的扩展过程中,有些性质是可以传递的,但有些性质不能传递,因此,要判断类比的结果是否正确,关键是要在新的数集里进行论证,当然要想证明一个结论是错误的,也可以直接举一个反例,要想得到本题的正确答案,可对四个结论逐一进行分析,不难解答. 【详解】
①若“22a b <,则a b <”类比推出“若22a b <,则a b <”,不正确,比如1,2a b ==-; ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“
(0)a b a b
c c c c
+=+≠”,正确; ③在复数集C 中,若两个复数满足0a b -=,则它们的实部和虚部均相等,则,a b 相等,故正确;
④若,a b C ∈,当1,a i b i =+=时,10a b -=>,但,a b 是两个虚数,不能比较大小,故错误;
所以只有②③正确,即正确命题的个数是2个,
【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题,涉及到的知识点有式子的运算法则,数相等的条件,复数不能比较大小等结论,属于简单题目.
7.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()
A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了
【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.
【详解】
解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,
若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,
若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,
综上可得甲被录用了,
故选:C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力,属基础题.
8.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个,类似的,在立体几何中,与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有()
A.1个B.5个C.7个D.9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面图形的结论,通过想象类比得出立体图形对应的结论.
【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个,
由此类比到四面体中,
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,
还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,
因此这样的点有且只有5个.
故选:B
【点睛】
本题考查的是类比推理,找出切入点是解题的关键.
9.平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )
A.20B.21C.22D.23
【答案】C
【解析】
【分析】
一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.
【详解】
f n个部分,
设画n条直线,最多可将面分成()
Q;
==+=
n f
1,(1)112
==+=;
2,(2)(1)24
n f f
==+=;,
3,(3)(2)37
n f f
n f f
==+=; ,
4,(4)(3)411
==+=;
n f f
5,(5)(4)516
n f f
==+=.
6,(6)(5)622
故选:C.
【点睛】
本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
10.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 ( )
A.各月的平均最低气温都在0℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C .三月和十一月的平均最高气温基本相同
D .平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析:由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上,A 正确;由图可知在七月的平均温差大于7.5C ?,而一月的平均温差小于7.5C ?,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ?,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,所以不正确.故选D . 【考点】 统计图 【易错警示】
解答本题时易错可能有两种:(1)对图形中的线条认识不明确,不知所措,只觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法;(2)估计平均温差时易出现错误,错选B .
11.用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632
n n
+,n ∈N*”,则当n=k+1时,应当在n=k 时对应
的等式左边加上( ) A .k 3+1 B .(k 3+1)+(k 3+2)+…+(k+1)3
C .(k+1)3
D .63
(1)(1)2
k k +++
【答案】B 【解析】
分析:当项数从n k =到1n k =+时,等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。 详解:当n k = 时,等式左边3123....k =+++
当1n k =+时,等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3
3
3
3
(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛:本题考查了数学归纳法的应用,当项数变化时分析出增加的项,属于简单题。
12.已知2a b c ++=,则ab bc ca ++的值( ) A .大于2 B .小于2
C .不小于2
D .不大于2
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知变形得到a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式
代入a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,则可判断2()ab bc ac ++的符号,从而得到
ab bc ac ++的值的符号. 【详解】
解:2a b c ++=Q ,
2a b c ∴+=-,2a c b +=-,2b c a +=-.
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++
ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+- ()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++,
2a b c ++=Q ,()2220a b c ∴++>,
即()222
0a b c -++<,
2()4ab bc ac ++ 即ab bc ac ++的值小于2. 故选:B . 【点睛】 本题考查不等式的应用,考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力. 13.已知()sin cos f x x x =-,定义1()()f x f x '=, []'21()()f x f x =,…[]1()()n n f x f x ' +=,(*n N ∈),经计算,1()cos sin f x x x =+,2()sin cos f x x x =-+,3()cos sin f x x x =--,…,照此规律,2019()f x =( ) A .cos sin x x -- B .cos sin x x - C .sin cos x x + D .cos sin x x -+ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据归纳推理进行求解即可. 【详解】 解:由题意知:()sin cos f x x x =-, 1()()cos sin f x f x x x '==+, []1' 2()()sin cos f x f x x x ==-+, []' 23()()cos sin f x f x x x ==--, []' 34()()sin cos f x f x x x ==-, L 照此规律,可知: []' 201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=, 故选:A. 【点睛】 本题考查函数值的计算,利用归纳推理是解决本题的关键. 14.设x ,y ,z >0,则三个数,,y y z z x x x z x y z y +++ ( ) A .都大于2 B .至少有一个大于2 C .至少有一个不小于2 D .至少有一个不大于2 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又 y x +y z +z x +z y +x z +x y =(y x +x y )+ ( y z +z y )+(z x +x z )≥2+2+2=6,当且仅当x =y =z 时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2. 15.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召,积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外,还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后,本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断:甲说:小刚选的不是书法,选的是篮球;乙说:小刚选的不是篮球,选的是排球;丙说:小刚选的不是篮球,选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对,有一人说对了一半,另一个人说的全不对,由此推断小刚的选择的( ) A .可能是国画 B .可能是书法 C .可能是排球 D .一定是篮球 【答案】B 【解析】 【分析】 依次假定小刚的选择,逐一验证得到答案. 【详解】 若小刚选择的是国画,则甲对一半,乙对一半,丙对一半,不满足,排除; 若小刚选择的是书法,则甲全不对,乙对一半,丙全对,满足; 若小刚选择的是排球,则甲对一半,乙全对,丙全对,不满足,排除; 若小刚选择的是篮球,则甲全对,乙全不对,丙对一半,满足; 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选:B . 【点睛】 本题考查了推理分析,意在考查学生的逻辑推理能力. 16.下面几种推理中是演绎推理的为( ) A .高二年级有12个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人 B .猜想数列 111 ,,122334 ?????的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π= D .由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【答案】C 【解析】 【分析】 根据归纳推理,类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】 对于A ,高二年级有12个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人,是归纳推理; 对于B ,归纳出{}n a 的通项公式,是归纳推理; 对于C ,半径为r 的圆的面积2πS r =,则单位圆的面积πS =,演绎推理; 对于D ,由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,为类比推理.故选C . 【点睛】 该题考查的是有关演绎推理的判断,涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理,关键是要明确合情推理和演绎推理的定义,属于简单题目. 17.用数学归纳法证明“ 1112n n ++++ (111) ()24 n N n n +≥∈+”时,由n k =到1n k =+时,不等试左边应添加的项是( ) A .12(1) k + B . 11 2122 k k +++ C . 11121221k k k +-+++ D .1111 212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】 分别代入,1n k n k ==+,两式作差可得左边应添加项。 【详解】 由n=k时,左边为 111 12 k k k k ++ +++ L, 当n=k+1时,左边为 11111 231(1)(1) k k k k k k k k +++++ ++++++++ L 所以增加项为两式作差得: 111 21221 k k k +- +++ ,选C. 【点睛】 运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立,第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立,两步缺一不可. 18.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,回答如下:甲说:丙没有考满分;乙说:是我考的;丙说:甲说的是真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是() A.甲 B.乙 C.丙 D.甲或乙 【答案】A 【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A. 19.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有() A.8种B.10种C.12种D.14种 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可. 【详解】 张毅同学不同的选课方法如下: ()1物理A层1班,生物B层3班,政治3班; ()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班; ()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班; ()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班; ()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班; ()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班; ()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班; ()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班; ()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班; ()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班; 共10种. 故选:B 【点睛】 本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题. 20.某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a,b,c,d,当游泳池内装满水时,同时打开其中两个出水口,放完水所需时间如下表: 则a,b,c,d四个出水口放水速度最快的是() A.d B.b C.c D.a 【答案】A 【解析】 【分析】 利用所给数据,计算出每个出水口分别的放水时间,比较大小即可. 【详解】 由题易解得a,b,c,d放水时间分别为70,100,90,50,所以d出水速度最快. 故选:A. 【点睛】 本题考查了方程的思想,属于基础题. 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性; 理科数学解析 一、选择题: 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为,所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用 哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为,所以.. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点,综合考查了充要条件,复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. (验证法)对于B项,令,显然,但不互为共轭复数,故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念,理解全称命题,存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断,逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,…, 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右[数学]数学高考压轴题大全
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