坐标系与参数方程-知识点总结
坐标系与参数方程
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y
λλ?μμ'=>??
'=>?的
作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念
(1)极坐标系 如图所示,
在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;
再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;
(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.
特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:
极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ
ρθ=??=?
直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ:
222
tan (0)
x y y
x x
ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r 的圆
(02)r ρθπ=≤<
圆心为(,0)r ,半径为r 的圆
2cos ()2
2
r π
π
ρθθ=-
≤<
圆心为(,)2r π
,半
径为r 的圆
=2sin (0)r ρθθπ≤<
圆心为(),r π,半径为r 的圆
32cos ()2
2
r ππ
ρθθ=-≤<
圆心为(,)2r π
-,
半径为r 的圆
=2sin (2)r ρθπθπ-≤<
过极点,倾斜角为α的直线
(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
过点(,0)a ,与极轴垂直的直线
cos ()2
2
a π
π
ρθθ=-
<<
过点(,)2a π
,与极
轴平行的直线
sin (0)a ρθθπ=<<
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐
标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44
M ππ
可以表
示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐
标满足方程ρθ=.
5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化
（1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ
=??=?
（2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→??→??
→+??
?→??
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数
t 的函数()
()x f t y g t =??=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)
M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通
方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()x f t y g t =??=?就是曲线的参数方程,
在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程
设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀
速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ=??=?为参数。这就是圆心在原点O ，半径
为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数
方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+??=+?
为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),
x y a b a b
+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ?
??
=??=?为参数,其中参数?称为离心角；
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b
+=>>其参数方程为
cos (),sin x b y a ?
??
=??
=?为参数其中参数?仍为离心角, 通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
πα≤≤
时，相应地也有02
π
?≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为
22221(0,0),x y a b a b -=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ???=??=?
为参数，其中3[0,2),.2
2
π
π
?π??∈≠
≠
且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?=?∈≠?
=?
为参数，其中且 以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为
2
2().2x pt t y pt
?=?
=?为参数
7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线l 的普通方程是
00tan (),y y x x α-=-
过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+??=+?()t 为参数。
注：1.直线参数方程中参数t 的几何意义：
过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M u u u u u u r
的数量，
当点M 在0M 上方时，t ＞0； 当点M 在0M 下方时，t ＜0； 当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
2.直线上两点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则A 、B 两点之间的距离为
|AB|=| t 1-t 2|