变更主元(乾坤挪移)
一．知识点金：多元并行，谁主沉浮
主元法就是当一个式子中出现变量比较多的时候，可以先将其看作关于其中一个变量的函数，其他的变量暂时视为常量再进行处理。当处理完一个变量后，再用同样的方法处理其它变量，进而得出结果。常见的类型：①关于主元的选择；②选择主元配方；③更换主元。
二．例题讲解
1.对任意的]1,1[-∈a ，函数0)2(2)(2≥+-+=a ax x x f 的解集是φ，则实数x 的取值范围是_____________.
2.若不等式342
-+>+m x mx x 对于满足41≤≤m 的所有实数m 恒成立，则实数x 的取值范围是__________
3.对满足2|log |2
++312都成立的x 的取值范围 .
4.已知关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实根，则实数a 的取值范围是 .
5.已知[1,1]a ∈-时，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围是
______________.
6.对任意的实数1a ≤-，恒有230b
a b a ?--≥成立，则实数b 的取值范围是____________.
7.已知函数()221mx f x x mx n x
+=++
+()m,n R ∈有零点，则22m n +的取值范围是 .
8.若[]11x ,∈-，关于x 的不等式32212x ax ax a -≤+-恒成立，则实数a 的取值范围是 .
9.若方程22234939260x p x p x p x x --+++=有且只有一个实数解，则实数p 的取值
是 .
10.设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432
3()1262
x mx x f x =--. （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
三．课后巩固
1.若存在正实数b ，使得()ab a b b a +=-，则实数a 的最大值 .
2.设1a ,d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是 .
3.已知二次方程223210x y xy y +-++=在实数范围内有解，则y 的取值范围是 .
4.已知实数x ，y 满足223210x y xy y +-++=，则x 的取值范围是 .
5.若223343z x xy y y =++++，则z 的最小值为 .
6.若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为 .
7.若2
4x y ≥，则22x y xy x y +---的最小值为 .
8.已知正数a ,b ,c 满足：2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值为 .
10.已知函数.
⑴若，求的单调区间；
⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b 的取值范围。
2()()x f x x a e =-3a =()f x 12,x x ()f x 1212||||x x x x +≥323
3()32f a a a a b <+-+
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
浅谈用换元法证明不等式 刘景 （茂名学院高州师范分院数学与计算机系 307数学1班） [摘要]换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中。 [关键词]换元；不等式；化繁为简 不等式的概念：作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。要处理好不等式的证明，必须注意： 1、熟练地掌握不等式的基本性质、重要不等式。 2、扎实的掌握不等式证明的常规方法。 3、注意和其他知识联系和综合运用。 4、不断地总结证明不等式的规律和技巧，不断地从正反两方面汲取解题经验。 我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法（比较法、综合法、分析法、辨别式法、构造函数法、反证法、放缩法等等）,其中有换元法。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 不等式的证明有三难：证明入口难，条件使用难，变形方向难．如果用换元法，引进恰当的新元素，可将题目中分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来，或变形为熟悉的问题．因此，换元法常常可以攻破三道难关。 下面我们探索怎样用换元法证明不等式的几种方法。 一、几何换元法 例1、在△ABC 中，b CA a BC c AB ===,,,内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，如图1，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,,其中0,0,0>>>z y x 。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。 设c b a ,,为三角形三边，求证：3≥-++-++-+c b a c b c a b a c b a 图1 证明：设,,,x z c z y b y x a +=+=+=，其中0,,>z y x 则c b a c b c a b a c b a -++-++-+=y x z x z y z y x 222+++++ =?????????? ??++???? ??++??? ??+y x x y y z x y x z z x 21322221=??? ? ???+?+?≥y x x y y z z y x z z x 原不等式得证。
2 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放 缩） n a =n ，求证：k=1 例3、已知 a k n 证明：苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二［+￡莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二 学习必备 欢迎下载 用放缩法”证明不等式的基本方法 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高， ,对它的运用往往能体现出创造性。 放缩法”它可以和很 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例 2、函数 f (x )= 一，求证：f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ）.求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明：，— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明：由 需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
第八章 虚拟现实与流媒体技术 1、虚拟现实是989年由美国的J. Lanier 提出的，是一种新的人机界面形式，它为用户提供一种沉浸和多感觉通道的体验。 2、虚拟现实的关键词：计算机技术生成、逼真的、三维视觉、听觉、触觉、嗅觉、感官世界、用户从自己的视点、利用自然技能、对虚拟世界进行浏览、交互和考察。 3、虚拟现实的应用：①训练 ②辅助设计 ③医学 ④科学研究和计算机的可视化 ⑤教育、游戏与其他 4、虚拟现实系统的组成 5、虚拟现实系统的特点： 沉浸感、交互性、多感知性 6、虚拟全景图的制作，需要将景物进行360度的拍摄，最后把拍摄的图片利用软件拼接起来而成。我们可以使用的软件有Cool 360。 7、流媒体实现的关键技术就是流式传输。采用流式传输技术，用户不必等到整个文件全部下载完毕，而是只需经过几秒或十数秒的启动延时即可进行部分内容的观看。 8、所谓流媒体指的是在Internet/Intranet 中使用流式传输技术的连续时基媒体，即音频、视频或其他多媒体文件。 9、流媒体播放软件：Real Player ，Windows Media Player ，Quick Time ；流媒体下载软件Streambox Vcr 10、流媒体的技术应用： 实时广播服务、电子商务、远程医疗 练习题 1、（ ）技术大大地促进了多媒体技术在网络上的应用，解决了传统多媒体手段由于数据传输量大而与现实网络传输环境发生的矛盾。 C A.人工智能 B.虚拟现实 C.流媒体 D.计算机动画 2、所谓流媒体指的是在Internet/Intranet 中使用 流媒体 的连续时基媒体，即音频、视频或者其他多媒体文件。 3、虚拟现实系统的特点主要有： 沉浸感 、交互性和 多感知性 。 VR 发动机 输入输出工具 软件工程 数据库 用户 （1）硬件平台 （2）软件系统 （3）输入/输出工具和演示设备 ①头盔式显示器和跟踪器 ②数据传感手套 ③大屏幕立体显示系统 ④三维虚拟立体声音生成装置
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
流媒体练习题 一、选择题 1.不属于流媒体特点的是：（ D） A 启动延时大幅度缩短 B 对系统缓存容量的需求大大降低 C 流式传输的实现有特定的实时传输协议 D 一种新的媒体 2.流媒体的核心技术是： B A 流媒体的网络传输 B 数据压缩/解压缩技术 C 媒体文件在流式传输中的版权保护问题 D 视音频技术 3.不属于流媒体传输的网络协议的是： B A RTP B HTTP C RTSP D RTCP 4.下列描述中正确的是： A A 视频数据由RTP传输，视频质量由RTCP控制，视频控制由RTSP提供。 B 视频数据由RTCP传输，视频质量由RTP控制，视频控制由RTSP提供。 C 视频数据由RTP传输，视频质量由RTSP控制，视频控制由RTCP提供。 D 视频数据由RTSP传输，视频质量由RTCP控制，视频控制由RTP提供。 5.不属于数字音频格式的是： D A MIDI格式 B CD格式 C WAVE格式 D AVI格式 6.不属于流式传输方式与传统下载方式相比的优点的是： A A 成本低廉 B 启动延时短 C 对系统缓存容量的需求大大降低 D 流式传输的实现有特定的实时传输协议 7.下面四个选项中哪一个不是常见的流媒体应用：（ D ） A电视上网 B在线电台 (C）视频会议 D文件传输 8.流媒体的特点不包括：（ B） A 缩短启动延时 B只需占用很小带宽 C 对系统缓存要求低 D流式传输有特定的实时传输协议 9.windows media的组件不包括以下四个中的哪一个:（ C ） A windows media 工具 B windows media服务器 C windows media编码器 D windows media播放器 10.IPTV关键技术不包括（D ）
流媒体技术的原理、应用及发展 一．流媒体 流媒体又叫流式媒体，它是指商家用一个视频传送服务器把节目当成数据包发出，传 送到网络上。用户通过解压设备对这些数据进行解压后，节目就会像发送前那样显示出来。这个过程的一系列相关的包称为“流”。流媒体实际指的是一种新的媒体传送方式，而非一种新的媒体。所谓流媒体是指采用流式传输的方式在Internet播放的媒体格式。流式传 输方式则是将整个A/V及3D等多媒体文件经过特殊的压缩方式分成一个个压缩包，由视 频服务器向用户计算机连续、实时传送。在采用流式传输方式的系统中，用户不必等到整个文件全部下载完毕，而是只需经过几秒或几十秒的启动延时即可在用户的计算机上利用解压设备(硬件或软件)对压缩的A/V、3D等多媒体文件解压后进行播放和观看。此时多媒 体文件的剩余部分将在后台的服务器内继续下载。 与单纯的下载方式相比，这种对多媒体文件边下载边播放的流式传输方式不仅使启动 延时大幅度地缩短，而且对系统缓存容量的需求也大大降低。在网络上传输音／视频等多媒体信息目前主要有下载和流式传输两种方案。实现流式传输有两种方法： ?实时流式传输（Real-time streaming transport） ?顺序流式传输（progressive streaming transport）。 一般来说，如为实时广播，或使用流式传输媒体服务器，或应用实时流协议（RTSP）等，即为实时流式传输。如使用超文本传输协议（HTTP）服务器，文件即通过顺序流发送。采用哪种传输方法可以根据需要进行选择。当然，流式文件也支持在播放前完全下载到硬盘。 （1）实时流式传输 实时流式传输总是实时传送，特别适合现场广播，也支持随机访问，用户可快进或后退以观看后面或前面的内容。但实时流式传输必须保证媒体信号带宽与网络连接匹配，以便传输的内容可被实时观看。实时流式传输需要专用的流媒体服务器与传输协议。 （2）顺序流式传输 顺序流式传输是顺序下载，在下载文件的同时用户可观看在线内容，在给定时刻，用户只能观看已下载的部分，而不能跳到还未下载的部分。由于标准的HTTP服务器可发送 顺序流式传输的文件，也不需要其他特殊协议，所以顺序流式传输经常被称作HTTP流式 传输。 顺序流式传输比较适合高质量的短片段，如片头、片尾和广告，由于这种传输方式观看的部分是无损下载的，所以能够保证播放的最终质量。但这也意味着用户在观看前必须经历时延。顺序流式传输不适合长片段和有随机访问要求的情况，如讲座、演说与演示；也不支持现场广播，严格说来，它是一种点播技术。 二、流媒体技术原理 流式传输的实现需要合适的传输协议。由于TCP需要较多的开销，故不太适合传输实时数据。在流式传输的实现方案中，一般采用HTTP／TCP来传输控制信息，而用实时传 输协议／用户数据报协议（RTP／UDP）来传输实时数据。 流式传输的实现需要缓存。因为一个实时音视频源或存储的音视频文件在传输中被分解为许多数据包，而网络又是动态变化的，各个包选择的路由可能不相同，故到达客户端的时延也就不同，甚至先发的数据包有可能后到。为此，需要使用缓存系统来消除时延和抖动的影响，以保证数据包顺序正确，从而使媒体数据能够连续输出。
不等式的证明方法及其推广 摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧。我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些着名不等式的推广及应用的介绍。 关键词：不等式；证明方法 1引言 1．1研究的背景 首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600 多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展。它在自然科学、 工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、 文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。它为我们提供了理解信 息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。而不 等式在数学中又处于独特的地位。美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版 写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。”这说明不等式仍 然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。 再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题。但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现。常常与函数、 数列、三角等综合，考查逻辑推理能力。是高考考查的一项重要内容。而要解决这一点的 关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式。 因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注 重对一些着名不等式的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。 1．2文献综述 数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述。的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽。当
.. .. . . . . 用换元法解不等式 【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的 结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。 【关键词】 换元法 三角换元 代数换元 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进 新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。 一、增量换元 若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。 例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 3 4 1≤ ++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则
第一章流媒体技术的现状与发展 流媒体的发展过程 1.1.1 现有视频格式概述 影像格式(Video) 日常生活中接触较多的VCD、多媒体CD这些都是影像文件。 大量图像信息，同时还容纳大量音频信息。所以，影像文件的容量往往是非常大的。 1.1.2 VOD视频点播技术 视频点播技术的出现，是视频信息技术领域的一场革命，其巨大的潜在市场，使世界主要发达国家都投入了大量的资金，加速开发和完善这一系统。 1.1.3流媒体技术的出现 流媒体技术的出现，正好弥补了VOD技术的不足之处。 1.2流式传输的格式及特点 1.2.1流媒体能为我们做什么 流媒体的定义很广泛， 后放上网站服务器，让用户一边下载一边观看、收听，而不需要等整个压缩文件下载到自己机器就可以观看的视频/ 持的某种特定文件格式：压缩流式文件，它通过网络传输，并通过个人电脑软件进行解码。 1.2.2 流媒体技术、格式纵览 流媒体给网民们带来了巨大的影响，曾几何时，如果需要下载一部VCD格式的影片，大小约为650M，宽带的今天也需要下载3个多小时。如果影片采用流媒体技术来进行压缩，只需要100M，并且用户可以边看边下载，整个下载的过程都在后台运行。最大的优点，就是不会占用本地的硬盘空间。其实流媒体采用的是有损压缩，就好比我们常说的MP3，因此在音影品质上有所差异。
1.2.3流式视频格式 前边提到过视频格式，现在再来说一下流式视频格式。 目前，很多视频数据要求通过Internet来进行实时传输，前面我们曾提及到，视频文件的体积往往比较大，而现有的网络带宽却往往比较“狭窄”。客观因素限制了视频数据的实时传输和实时播放，于是一种新型的流式视频(Streaming Video)格式应运而生了。这种流式视频采用一种“边传边播”的方法，即先从服务器上下载一部分视频文件，形成视频流缓冲区后实时播放，同时继续下载，为接下来的播放做好准备。这种“边传边播”的方法避免了用户必须等待整个文件从Internet上全部下载完毕才能观看的缺点。到目前为止，Internet上使用较多的流式视频格式主要是以下三种： 1.2.4流式传输的特点 流媒体是一种可以使音频、视频和其它多媒体能在Internet及Intranet上以实时的、无需下载等待的方式进行播放的技术。流媒体文件格式是支持采用流式传输及播放的媒体格式。流式传输方式是将动画、视音频等多媒体文件经过特殊的压缩方式分成一个个压缩包，由视频服务器向用户计算机连续、实时传送。在采用流式传输方式的系统中，用户不必像非流式播放那样等到整个文件全部下载完毕后才能看到当中的内容，而是只需经过几秒或几十秒的启动延时即可在用户的计算机上利用相应的播放器或其它的硬件、软件对压缩的动画、视音频等流式多媒体文件解压后进行播放和观看，多媒体文件的剩余部分将在后台的服务器内继续下载。 1.3 流媒体系统的组成 流媒体系统包括以下5个方面的内容： 1. 编码工具：用于创建、捕捉和编辑多媒体数据，形成流媒体格式 2. 流媒体数据 3. 服务器：存放和控制流媒体的数据 4. 网络：适合多媒体传输协议甚至是实时传输协议的网络 5. 播放器：供客户端浏览流媒体文件 这5个部分有些是网站需要的，有些是客户端需要的，而且不同的流媒体标准和不同公司的解决方案会在某些方面有所不同。
自招竞赛秋季数学讲义 调整法证明不等式 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 量的项放在不等号的左侧，常数项放在右侧，通过严格求出左侧的最值来证明不等号的成立性。一般可以通俗地分为两种类型：往中间调整和往两侧调整。本章将深入介绍两种调整办法的适用场合和使用方法以及其他的调整法。 知识梳理与例题精讲 一、 对于 ()i f x ∑类的不等式的调整 如果()f x 在区间D 中二阶可导，12,,,n x x x D ∈，则我们有如下的方法求 ()i f x ∑的最大值、最小值： （1）()0f D ''≥，则有 121 ()( )n n i i x x x f x nf n =++ +≥∑ （琴生不等式） 设1122x x x x x x D -?≤≤≤+? ∈，0x ?≥，有 1212()()()()f x f x f x x f x x +≤-?++? （2）()0f D ''≤，则有 121 ()( )n n i i x x x f x nf n =++ +≤∑ （琴生不等式） 设1122x x x x x x D -?≤≤≤+? ∈，0x ?≥，有 1212()()()()f x f x f x x f x x +≥-?++? 通俗地讲，就是下凸函数往中间调函数值变小，往两侧调函数值变大；上凸函数往中间调函数值变大，往两侧调函数值变小。 对于往中间调的函数值变化由琴生不等式保证，而往两侧调的函数值变化我们以（1）为例给出证明：
证明：1 111()()()x x x f x f x x f x dx -?'--?= ? 21 2 12212()()()()x x x x x x f x x f x f x dx f x x x x dx +?-?''+?-= =-++?? ? 因为()0f D ''≥，所以12()()f x f x x x x ''≤-++?， 故 1 1 1112()()x x x x x x f x dx f x x x x dx -?-?''≤-++?? ? ， 故1212()()()()f x f x f x x f x x +≤-?++?，得证。 事实上，在处理实际问题中，不一定能找到这样一个区间D 有这样的性质且包含所有的i x ，那就需要我们灵活运用其他如分类讨论等方法辅助处理。有时D 在不具有二阶导数恒不变号的性质，但仍然有上述调整法成立，所以我们在实际做题的过程中往往可以直接用具体的()f x 来证明这样调整的合理性而不依赖于其凹凸性。 在不等式中没有具体的()f x 存在但每个变量地位对称的时候，这种考虑往中间调整、往两侧调整的方法也是极为重要的，这就需要直接拿两项来看，究竟是往中间调整总体变大呢，还是往两侧调整总体变大呢，然后给出严格的证明，接着就能用两项的调整法逐步将n 项向两侧或中间调整，求得最值。 【例1】 【题目来源】 【题目】设,,a b c R + ∈，3a b c ++=9≤ 【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【例2】 【题目来源】 【题目】设,,0a b c ≥，3a b c ++=7≥ 【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
用换元法解不等式 【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的 结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。 【关键词】 换元法 三角换元 代数换元 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进 新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。 一、增量换元 若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。 例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 3 4 1≤ ++≤zx yz xy .
分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则 1321=++a a a . ()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a 又 ()1332213-1a a a a a a ++()()1332212 3213a a a a a a a a a ++-++= =1332212 32221a a a a a a a a a ---++ ()()()[] 02 1 213223221≥++++-= a a a a a a ， 3 1 133221≤++∴a a a a a a . 1332211a a a a a a zx yx xy +++=++Θ， 34 3111=+≤++<∴zx yz xy . 例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m . 则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+. 注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。 二、三角换元 在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。 例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p .
M J 46H=EF ;T% !#$’()*+,34b "-.#$%%%&’ 23(L i n 45WF n 9q 8rs )t !RSC +A c "p Y u )/>[v ?v L RS7[M 45*A 6A =lm a L i n 7->45_4:A J w E x 45+(<=79nw _[M C X ?L i n 7<=[v VW "DEa [I t !f y HI7J z "P E a -HL i n 45"VL i n E x U +|Z U ?v L U ]F 7qr t !f y HI7(kV G *456(L i n ,J w E x ,()[M ,-./01.0/,789:(234 $456%&’((#%%$7%87$8* 9;< 34F /Q \RSTUV "BC }$A C T :Q \;EW Ew [R B%T4U *kl f H f R A C 01B T )F "o Q \2T4U 87a O ED +l =f MN T w Q Es "V O Q T +o T +LM T *G "Z s #1+u RS b #T +#o 8Z +Q \TU "q Nh D V i *3k R A Cz "&784U "h A Es T g !P *O(Q \E i T V N "t *3k R A C 4U c^L-e q N L C A *C K ;-)Es bc TA ^"Z /uTRSo PV 2"3l O :#A C RS ;* #A C $;-./01.0/)-./1<.0/ 5o %#%-)R S T ,x A ’A C "s Q T +o T Q R A C E s =$>* #%A C ;Z 7a s 8t *qr Es "a j C 5R -T g A q TA ";Z 7C 5A T Z k vw "0x LM #3A -e 3A Z 7*s ~LM #(l2,q ]xkT ‘"Z 7O ,x T *#%-)=>&%,:_=Q qr Es )R I -./01.0/ 2t *o w u f T :X "o s Es U &%?1O &@"%,(a c ;u f Es a =2U _e $9* A M J 46H G p R A C L M :_m Q =n E o w y G #%-)"3O ^C‘a TQ \E i _R A C !PT LM #a \6vv8x *=n E 8^z{#r W f (B ;,-ZJ X aT a@t "|;Pa_X a 12Y C T4U ,C $%[m + ‘d T I /1/*#%-)T@F c^.A *^C -./01.0/ _z -)C’D m Q ;x T 83-)"Z r @A Q )o T z Q A (T Q )o T Es ";-)5^I -|C T R z "O(Q \O(H ")T "v r z st T !O9w 8J >h "h +B :,6TA ^vw Z l 8="q N [UT LM z0+*C ?"o %.A bc \W P vw f *(T 12"s ,-LM z T x b3V "IV o L M w ,x ))"V8=^C Q \GA 9w o Z 7)F 4X *3*‘l .A bc g as 8P "^C ‘l .A o %\c ^-)T @A L M I D 54U 5l n )\,i 0:,B 2T J0K <=.%(F 0L M 015b "o %F 22E I J0K h ?.l n >w (L _F 0L M 015b ,5)*3k (L9w z{‘o 4U +LM T r 7|+QM 4U l n >w T h ?.j ,* F 0L M 01 5b &Q )o T h ?.PQ @A #^y !G 2N E ’"_WX Q )o T -)bc TMN4U *M D I Z 7BQ O D G b@A T A w >1"G 2N E @A &G Y Z 7+k m +k O +G 4&o N =%i TW /*Q )o T h ?.o %G 2E )H I E ^y j LM -)W :,5b !Z W 9$C :,5b =h (F 0L M 015b ’"Z 9Q )o T LM T B :,6":,5b$9Z 7))* c^6k TO ";#%-)5"o %G 2E )H I E f G 2N E )2D E 3#/8h T34^yM Q )o T h ?.x j [b "O C&wx \h ?.T ))‘JX +Z r8h (PQ F 0L M 01 5b b ;:,B T ‘T 6 P }#Q ’}#R S #%%$($#)#Q *
向量法证明不等式 向量法证明不等式 第一篇： 向量法证明不等式 向量法证明不等式 高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n= 2，3时的情况. 设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。 因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。 二利用a?b?ab证明不等式 2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b （a?b），求mx?n得最大值 ?解析： 构造向量a?0，求证： 4a0矛盾， 故a=0时，4a0， ∴存在m，当-1 第五篇： 不等式的证明．
3．在横线上填写恰当的符号 2x 2若x∈r，且x≠ 1，那么，1?x． 若0＜a＜ 1，那么－a)． 1413 若a＞0，a≠ 1，那么loga_____loga． 当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋ 1． 4．设p＝a2b2＋ 5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________． 5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题 1．设0＜a＜ 2，下列不等式成立的是 1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a ．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a 2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是 11?a．ab 11?b．a?ba ．｜a｜＞｜b｜ d．a2＞b2
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++
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