§3.1.1空间向量及其运算
［学习目标］
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
☆预习案☆（约分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.
2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝.
(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［我的疑惑］
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1
'2
AB AD CC ++⑶
1
(')2AB AD AA ++⑷．
例2 化简下列各式：
⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.
2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简''''
'AA AB AD
++= 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. 00a b =
B. 00a b =或00a b =-
C. 01a =
D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
［能力训练］---挑战高手，我能行！
1. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）
A. 1122a b c -++
B. 11
22a b c ++
B. C. 1122a b c -+ D. 11
22
a b c --+
［错题整改区］
1）错题号及分析：
2）正确解法：
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
［学习目标］
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
☆预习案☆（约分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
3. 对空间任意两个向量,a b（0
a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得
b≠），//
4. 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是Array
5. 已知5,28,
AB a b BC a b
=+=-+()
=-，求证: A,B,C三点共线.
3
CD a b
［我的疑惑］
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若1
2
OP OA tOB =+，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1
()3AB AD AA ++= AO
5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）
A. 1122a b c -++；
B. 11
22a b c ++；
C. 1122a b c -+；
D. 11
22
a b c --+.
6. 已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若1
2
OP OA tOB =+，那么t ＝
［错题整改区］
1）错题号及分析：
2）正确解法：
§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
［学习目标］
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
☆预习案☆（约分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.
2. 空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴存在，使
⑵对空间任意一点O，有
3. 若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式
111
236
OP OA OB OC
=++,则点P与
A,B,C共面吗？
4.若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式
O P x O A y O B z O
=++,且点P与A,B,C共面，则x y z
++=.
［我的疑惑］
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
［质疑探究］
［自主总结］
1、 ；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）
①;OM OA OB OC =-- ②111
;532
OM OA OB OC =++
③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2 已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11
AC 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量. 2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1
()3
AB AD AA ++= AO .
5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.
A ．0 B.1 C. 2 D. 3
［能力训练］---挑战高手，我能行！
A B C D F E G H
若α为第三象限角，试判断3
,2,
2α
αα所在的位置。
［错题整改区］
§3.1.3．空间向量的数量积（1）
［学习目标］
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
☆预习案☆（约 分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b ??=0时,a b 与 ;,a b ??=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？
⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2 1). 已知向量
,a b 满足1a
=，2b =，3a b +=，则a b -=____.
2). 2
22,,22
a b a b ==
?=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____. ［我的疑惑］
☆探究案☆（约 分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］ ［自主总结］
1、 ；
2、 ；
1）错题号及分析：
2）正确解法：
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
3、 。
［典型例题］
例1 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，
30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值
例2 如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）
A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
☆训练案☆（约
分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 下列命题中：
①若0a b ?=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c ?=?，则b c =
③()()a b c a b c ??=?? ④2
2
(32)(32)94a b a b a b +?-=- 正确有个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3
π
，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）
A. 12e e +
B. 12e e -
C. 1e
D. 2e
3.已知ABC ?中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=?,则BC CA ?=
4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .
5. 已知向量
,a b 满足4a
=，2b =，3a b -=，则a b +=____
［能力训练］---挑战高手，我能行！
如
图
，
在
平
行
四
边
形
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
4,A B A D ==,'5AA =,90BAD ∠=?,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.
［错题整改区］
D
A B
C
1）错题号及分析：
2）正确解法：
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
［学习目标］
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
☆预习案☆（约分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 设23
=-+，则向量a 的坐标为.
a i j k
2. 若A(1,0,2)，B(3,1,1)
-，则AB＝.
3. 已知a＝(2,3,5)
--，求a＋b，a－b，8a，a·b
-，b＝(3,1,4)
［我的疑惑］
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、；
2、；
3、 。
［典型例题］
例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量
,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G 是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，
',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量:
⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 若{}
a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A.,,a a b a b +- B. ,,b a b a b +- C. ,,c a b a b +- D. 2,,a b a b a b ++-
2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是
3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ?的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝
4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .
5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a t b =+，且
()()1,1,3,1,0,2
a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.
［能力训练］---挑战高手，我能行！
1. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.
［错题整改区］
1）错题号及分析：
2）正确解法：
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
［学习目标］
1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题.
☆预习案☆（约分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 设在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(1,2)
-，则线段︱AB︱＝.
2. 已知()()
=-=-，求：
3,2,5,1,5,1
a b
⑴a＋B. ⑵3a－b；⑶6A. ；⑷a·b.
3. ①当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是；
②当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是；
③当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是，即a与b的位置关系是，
用符号表示为.
［我的疑惑］
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、 ；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．
例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
3
12123
a a a
b b b ==是//a b 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件 2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则x ＝ .
3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A. 66±
B. 66
C. 66
- D. 6± 4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）
A. 4x <-
B. 40x -<<
C. 04x <<
D. 4x > 5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，则（ ）
A. 1,13x y ==
B. 1,42x y ==-
C. 1
2,4
x y ==- D. 1,1x y ==-
［能力训练］
---
挑战高手，我能行！
1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.
2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.
［错题整改区］
§3.2立体几何中的向量方法（1）
［学习目标］
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
☆预习案☆（约 分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .
2. 向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 .
3. 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝
4. 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-； ⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.
我的疑惑］
1）错题号及分析：
2）正确解法：
请你将预习
中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
☆探究案☆（约 分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、 ；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB 与坐标平面YOZ 的交点.
例2 在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .
2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .
3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ） A. 若a α?，则n a ⊥ B.若//a α，则n a ⊥ C.若,m α⊥，则//n m D.若,m α⊥，则n m =
4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α
5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（ ） A. ()1,2,1 B.11,,13??
???
C.()1,0,0
D. ()2,1,3
［能力训练］---挑战高手，我能行！
1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB 是平面1ACD 的一个法向量.
2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.
［错题整改区］
§3.2立体几何中的向量方法（2）
［学习目标］
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
☆预习案☆（约 分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 已知1a b ?=，1,2a b ==，且2m a b =+，求m .
2. 在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.
1）错题号及分析：
2）正确解法：
［我的疑惑］
☆探究案☆（约分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、；
2、；
3、。［典型例题］
例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
例2如图，60?的二面角的棱上有,A B两点，直线,
AC BD分别在这个二面
角的两个半平面内，且都垂直于,
AB已知4,6,8
AB AC BD
===,求CD的长.
☆训练案☆（约分钟）
［基础训练］---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 已知()()
1,02,1,1,3
A B-，则AB=.
2. 已知
1
cos,
2
a b=-，则,a b的夹角为.
3. 若M、N分别是棱长为1的正方体''''
ABCD A B C D
-的棱''
',
A B BB的中点,那么直线
,
AM CN所成的角的余弦为（）
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
A.
32 B.10
10
C.35
D.25
4. 将锐角为60?边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60?的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）
A.32a
B.32a
C.34a
D.34
a 5.正方体''''ABCD A B C D -中棱长为a ，'1
3
AM AC =,N 是'BB 的中点，则MN 为（ ）
A.216a
B.66a
C.156a
D.153a
［能力训练］---挑战高手，我能行！
1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1， ,M N 分别是''',BB B C 的中点，求： ⑴ ',MN CD 所成角的大小； ⑵ ,MN AD 所成角的大小； ⑶ AN 的长度.
［错题整改区］
§3.2立体几何中的向量方法（3）
［学习目标］
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
☆预习案☆（约 分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1. 已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.
2. 如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不
1）错题号及分析：
2）正确解法：
共线,能否用AP 与n 表示d ?
分析:过P 作PO ⊥α于O ,
连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ?∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴
cos
∠APO=|cos ,PA n ??|
∴D. =|PA ||cos ,PA n ??|=|||||cos ,|||
PA n PA n n ????=||||
PA n n ?
3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.
［我的疑惑］
☆探究案☆（约 分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。 ［质疑探究］
［自主总结］
1、 ；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.
例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.
α
n
A ?
O
?P
?请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n
?=
求解.
☆训练案☆（约 分钟）
［基础训练］ ---把最简单的题做好就叫不简单！
1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .
［能力训练］---挑战高手，我能行！
1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：
OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.
2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .
⑴ 计算
DE 的长；
⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.
§第三章 空间向量（复习）
［学习目标］
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
☆预习案☆（约 分钟）
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
［预习自测］
1：如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且OM=2MA , N 为BC 中点，则MN =
2：平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB a =,',AD b AA c ==，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底{}
,,a b c 表示
下列向量：
⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .
［我的疑惑］
☆探究案☆（约 分钟）
［学始于疑］将预习课中生成的问题，归类整理。
［质疑探究］
［自主总结］
1、 ；
2、 ；
3、 。
［典型例题］
例1 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=?===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.
请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。