2.1.2 指数函数及其性质

2．1.2 指数函数及其性质(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．

1．下列一定是指数函数的是( )

A ．y ＝－3x

B ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)

C ．y ＝(a －2)x (a >3)

D ．y ＝(1－2)x

2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )

A ．a <0，b <0

B ．a <0，b >0

C ．01

D ．0

3．函数y ＝πx 的值域是( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．R

D ．(－∞，0)

4．若(12)2a ＋1<(12

)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12

，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12

) 5．设13<(13)b <(13

)a <1，则( ) A ．a a

C ．a b

D ．a b

6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )

A ．a <2

B ．a >2

C ．－1

D ．0

一、选择题

1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )

A ．Q P

B ．Q P

C ．P ∩Q ＝{2,4}

D ．P ∩Q ＝{(2,4)}

2．函数y ＝16－4x 的值域是( )

A ．[0，＋∞)

B ．[0,4]

C ．[0,4)

D ．(0,4)

3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )

A ．6

B ．1

C ．3 D.32

4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－

x 的定义域均为R ，则( )

A ．f (x )与g (x )均为偶函数

B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数

C ．f (x )与g (x )均为奇函数

D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数

5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )

A ．f (x )＝－e x －2

B ．f (x )＝－e －x ＋2

C ．f (x )＝－e －x －2

D ．f (x )＝e －x ＋2 6．已知a ＝1335-?? ???，b ＝1235-?? ???，c ＝12

43-?? ???，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A ．c

C ．a

二、填空题

7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12

的解集是________________．

9．函数y ＝2212x x -+?? ???的单调递增区间是________．

三、解答题

10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；

(2)求函数y ＝2212

x x --的单调区间．

11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12

]． (1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；

(2)求函数f (x )的值域．

能力提升

12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )

13．已知函数f (x )＝2x

－1

2x ＋1.

(1)求f [f (0)＋4]的值；

(2)求证：f (x )在R 上是增函数；

(3)解不等式：0

1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：

(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．

(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m c 且c >b n ，则a m >b n .

2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．

2．1.2 指数函数及其性质(二)

知识梳理

1．C 2.C 3.A

4．B [∵函数y ＝(12

)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12

.] 5．C [由已知条件得0

∴a b

6．C

作业设计

1．B [因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .]

2．C [∵4x >0，∴0≤16－4x <16，

∴16－4x ∈[0,4)．]

3．C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]

4．B [∵f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，

g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]

5．C [∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，

∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]

6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12

，

∴b >a >1.又0

7．19

解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．

8．(－∞，－1)

解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，

∴f (0)＝0.

当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.

当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32

，得x ∈?； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12

不成立； 当x <0时，由2x －1<－12

，2x <2－1，得x <－1. 综上可知x ∈(－∞，－1)．

9．[1，＋∞)

解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．

令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12

)u 在u ∈R 上为减函数， 问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．

10．解 (1)设x 1

又由y ＝2u 的增减性得

，即f (x 1)

所以f (x )为R 上的增函数．

(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，

则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．

根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数．

同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．

即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．

11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12

]上单调递增， ∴t ∈[22

，2]． (2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，

g (t )在[

22

，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (22)

f (x )max ＝

g (2)＝5－2 2.

∴函数的值域为[2,5－22]．

12．A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞，

所以排除C 、D.

当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.]

13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1

＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517

. (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1

则22x >12x >0,22x －12x

>0，

即f (x 1)

(3)解 由0

得f (0)

即2