2.5 等比数列的前n 项和
2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.
等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1
223211..., 再由分式性质，得
q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q q a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.
教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导;
2.等比数列前n 项和公式的应用.
教学难点 等比数列前n 项和公式的推导.
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师 假定千粒麦子的质量为40 g ，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？
生 各持己见.动笔，列式，计算.
生 能列出式子：麦粒的总数为
1+2+22+…+263=?
师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：
1+2+22+…+2 63=?
师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：
记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中
间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：
S=1+2+22+23+…+2 63,①
2S=2+22+23+…+263+264,②
②-①得
2S-S=2 64-1.
264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g ，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.
推进新课
［合作探究］
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？
生 q+q 2+…+q n +q n +1.
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？
师 生共同探索：
如果记S n =1+q+q 2+…+q n ,
那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1.
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n .
师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.
生 如果q≠1，则有q
q S n
--=11. 师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果.
生 如果q ＝1，那么S n =n .
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：
a 1+a 2+a 3+…+a n =？
［教师精讲］
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.
如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,
那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.
师 再次提醒学生注意q 的取值.
如果q≠1，则有q
q a a S n n --=11. 师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1,
那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n .
如果q≠1，则有q
q a S n n --=1)1(1. 师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流.
生 如果q ＝1，S n =na 1.
师 完全正确.
如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？
生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］ 思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1
342312..., 再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1
321432......, 即q a S a S n
n n =--1, 从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.
(以下从略)
思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得
S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ),
从而得(1-q)S n =a 1-a n q.
(以下从略)
师 探究中我们们应该发现，S n -S n -1 =a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？
生 n ＞1.
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞1.
师 综合上面的探究过程，我们得出：
?????≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠??
???--=q q q a a q na n
［例题剖析］
【例题1】 求下列等比数列的前8项的和： (1)
21,41,8
1,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0. ［合作探究］
师生共同分析：
由(1)所给条件，可得211=
a ，2
1=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而 a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=
19a a =27
2431?，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.
生 写出解答： (1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，2562552
11)21(1[218
8=--=S . (2)由a 1=27,24319=a ，可得27
2431198?==a a q ， 又由q ＜0，可得3
1
-=q ,
于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--?-=S . 【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000. 于是得到300001
.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n =1.6,
两边取对数，得n lg1.1=lg1.6, 用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041
.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.
练习：
教材第66页，练习第1、2、3题.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.
2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5 A 组第1、2、3题.
板书设计 等比数列前n 项和公式的推导与应用
等比数列的前n 项和公式
情境问题的推导 一般情形的推导 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)