第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起]
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、四种命题及其关系
1．四种命题
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、充分条件与必要条件
1．如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为()
A．若1
x
＝
1
y
，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则x＝y D．若x 解析：选A 由1x ＝1 y 得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误． 2．(2012·湖南高考)命题“若α＝π 4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π 4tan α≠1 B ．若α＝π 4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π 4 ”． 3．(2012·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ?B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 由A ?B ，得A ∩B ＝A ；反过来，由A ∩B ＝A ，且(A ∩B )?B ，得A ?B .因此，A ?B 是A ∩B ＝A 成立的充要条件． 4．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”． 答案：“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角” 5．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 解析：①由2>－3?/ 22>(－3)2知，该命题为假；②由a 2>b 2?|a |2>|b |2?|a |>|b |知，该命题为真；③a >b ?a ＋c >b ＋c ，又a ＋c >b ＋c ?a >b ，∴“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件为真命题． 答案：②③ 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ?q ”?“q ?p ”； (2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的 不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”． 2．从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”． 典题导入 [例1]下列命题中正确的是() ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题； ④“若x－31 2 是有理数，则x是无理数”的逆否命题． A．①②③④B．①③④ C．②③④D．①④ [自主解答]①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确． [答案] B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 以题试法 1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价． 解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函 数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b ∈M，则a?M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④ 典题导入 [例2](1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 (2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [自主解答](1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0 (2)当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件． [答案](1)B(2)B 由题悟法 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分． 以题试法 2．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B； (2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0. 解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p?q. 又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b. 故A＝B，即q?p. 所以p是q的充要条件． (2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ， ∵A B ， ∴p 是q 的充分不必要条件． 典题导入 [例3] 已知p ：－4 [自主解答] 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 由于q 是p 的充分而不必要条件，则有A B ， 即????? a －4≤2，a ＋4>3或????? a －4<2，a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤6. [答案] [－1,6] 由题悟法 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是： (1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ?q 且q ?/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ?/ q ，且q ?p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ?q . 以题试法 3．(2013·兰州调研)“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B.???? －∞，－12∪[)3，＋∞ C.??? ?－∞，－12 D.??－∞，－12∪()3，＋∞ 解析：选D 由2x 2－5x －3≥0得x ≤－1 2 或x ≥3. ∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3， ∴a ≤－1 2 或a >3. 1．(2012·福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－1 2 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0 解析：选D a ⊥b ?2(x －1)＋2＝0，得x ＝0. 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：选B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 3．(2013·武汉适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a >0，b >0”是“a ＋b 2>ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选D 由a >0，b >0不能得知a ＋b 2>ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b 2＝ab ；由a ＋b 2>ab 不能得知a >0，b >0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b 2 >ab ，但b ＝0.综上所述，“a >0，b >0”是“ a ＋b 2 >ab ”的既不充分也不必要条件． 4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有 |a |2 ＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件． 5．(2012·广州模拟)命题：“若x 2<1，则－1 ≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1 解析：选D x 2 <1的否定为：x 2 ≥1；－1 6．(2011·天津高考)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 解析：选C A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}， ∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件． 7．下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 解析：选A对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析：选B若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， ∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|， ∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数． 9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”) 解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题． 答案：假 10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x 解析：A＝{x|x<4}，由题意得A B结合数轴易得a>4. 答案：(4，＋∞) 11．(2013·绍兴模拟)“－3 x2 a＋3 ＋ y2 1－a ＝1表示椭圆”的____________ 条件． 解析：方程表示椭圆时，应有???? ? a ＋3>0，1－a >0， a ＋3≠1－a 解得－3 故“－3 12．若“x 2 >1”是“x