第讲三角函数的图像与性质
时间：年月日刘老师学生签名：
一、兴趣导入
二、学前测试
1．已知角α的终边上一点的坐标为
22
(sin,cos)
33
ππ
，则角α的最小正角是（）
A、
5
6
π
B、
2
3
π
C、
5
3
π
D、
11
6
π
解析．D ［角α在第四象限且
2
cos3
3
tan
23
sin
3
π
α
π
==-］
2．若α是第二象限的角，且|cos|cos
22
αα
=-，则
2
α
是（）
A、第一象限角
B、第二象限角
C、第三象限角
D、第四象限角
解析C 22,(),,(),
2422
k k k Z k k k Z
ππαπ
παππππ
+<<+∈+<<+∈
当2,()
k n n Z
=∈时，
2
α
在第一象限；当21,()
k n n Z
=+∈时，
2
α
在第三象限；
而cos cos cos0
222
ααα
=-?≤，
2
α
∴在第三象限；
3已知角α的终边与函数)0
(,0
12
5≤
=
+x
y
x决定的函数图象重合，求
α
α
α
sin
1
tan
1
cos-
+=
解析:在角α的终边上取点1255(12,5),13,cos ,tan ,sin 131213
P r ααα-==-=-= 故αααsin 1tan 1cos -
+
=77
13
- 4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知3
5
cos θ=
，且角θ在第一象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：B 32225242cos k k ππθπθπ=
<∴+<<+，4242
k k ππθππ∴+<<+故2θ在第二象限. 三、方法培养
1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0) ? ????π2，1 (π，0)
? ??
??32π，－1 (2π，0)
(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ????3π2，0，(2π，1)
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
y ＝sin x
y ＝cos x y ＝tan x
定义域
R
R
{x |x ≠k π＋
π
2
，k ∈Z }
图象
值域
[－1,1]
[－1,1] R
对称性
对称轴：__ x ＝k π＋
π
2
(k ∈Z )__ _； 对称中心：
_ (k π，0)(k ∈Z )__ _
对称轴：
x ＝k π(k ∈Z )___；
对称中心： _(k π＋
π
2
，0) (k ∈Z )__ 对称中心：_?
??
?
?k π2，0
(k ∈Z ) __
3.f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.
函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为
2π
|ω|
，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
.
4.求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝A sin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角
函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ?
????2x －π4；(2)y ＝sin ? ??
??π4－2x .
☆专题1：三角函数的单调性与周期性
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|
，
y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
. 例1
变式练习1
(2011·南平月考)(1)求函数y ＝sin ? ????π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y ＝3tan ? ??
??π6－x 4的周期及单调区间．
解 (1)由y ＝sin ? ??
??π3－2x ，
得y ＝－sin ?
????2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，
得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z ，
又x ∈[－π，π]，
∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，11
12
π≤x ≤π.
∴函数y ＝sin ? ????π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为??????－π，－712π，??????－π12，512π，????
??1112π，π.
(2)函数y ＝3tan ? ??
??π6－x 4的周期
T ＝
π
????
??－14＝4π. 由y ＝3tan ?
??
??π6－x 4
得y ＝－3tan ? ??
??x 4－π6， 由－π2＋k π 2＋k π得 －43π＋4k π 3π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ? ????π6－x 4的单调递减区间为? ?? ??－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． ☆专题2：与三角函数有关的函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x . 解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0 ∴其定义域为 {x |－π2＋2k π 2＋2k π，k ∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为???? ??x |π4＋2k π≤x ≤5π 4＋2k π，k ∈Z . 变式训练2 (1)求函数y 12 2log tan x x = ++的定义域. 要使函数有意义 则????? 2＋ log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 利用数轴可得图② 图② ∴函数的定义域是{x |0 2 或π≤x ≤4}. ☆专题3：三角函数的图像及变换 例3 已知函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ? ????2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象； (2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ ω? ?? ??x ＋φω来确定平移单位． 解 (1)y ＝2sin ? ????2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ? ????2x ＋π3＝2sin X . 列表： X － π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ? ?? ?? 2x ＋π3 2 －2 (3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象； 再将y ＝sin 2x 的图象向左平移 π6个单位，得到y ＝sin 2? ????x ＋π6＝sin ? ????2x ＋π3的图象；再将y ＝ sin ? ????2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ? ????2x ＋π3的图象． 变式练习3 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32 sin 2 x (x ∈R )． (1)画出f (x )在???? ??－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间； (3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＋32·1－cos 2x 2 ＝1＋ 32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ? ????2x －π6. (1)(五点法)设X ＝2x －π 6 ， 则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π 2，2π， 于是五点分别为? ????π12，1，? ????π3，2，? ????7π12，1，? ????5π6，0，? ?? ? ?13π12，1，描点连线即可得图象，如下图． (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π 2＋2k π，k ∈Z ， 得单调增区间为??????－π 6＋k π，k π＋π3，k ∈Z . 由 π2＋2k π≤2x －π6≤3π 2 ＋2k π，k ∈Z ， 得单调减区间为?? ????π3 ＋k π，k π＋5π6，k ∈Z . (3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)；最后把所得 图象向上平移1个单位即得y ＝sin ? ????2x －π6＋1的图象． 四、强化练习 一、 选择题 1．(2010·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．函数y ＝sin ? ????2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( ) A ．x ＝－π 6 B ．x ＝－π 12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12 3．(2010·湖北)函数f (x )＝3sin ? ?? ??x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( ) B ．π C ．2π D ．4π 4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2 ＋cos 2x 的最小正周期为 ( ) A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ? ?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) 1．C 五、训练辅导 ☆专题4：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π 2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求 函数f (x )的解析式． 解题导引 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤： (1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ M －m 2 ，b ＝ M ＋m 2 .(2)求ω.确定函数的周期T ，则 ω＝ 2π T .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 解 由图象可知A ＝2，T ＝8. ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4. 方法一 由图象过点(1,2)， 得2sin ? ?? ??π4×1＋φ＝2， ∴sin ? ?? ??π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ? ????π4 x ＋π4. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ∴ π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π 4 ， ∴f (x )＝2sin ? ????π4 x ＋π4. 变式练习4 (2011·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π 2)的图象与y 轴 的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)． (1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝1 3，求f (4θ)的值． 解 (1)由题意可得： A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12 ， f (x )＝2sin ? ?? ??12 x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6 )． f (x 0)＝2sin ? ?? ??1 2x 0＋π6＝2， 所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π 3 (k ∈Z )， 又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3 . (2)f (4θ)＝2sin ? ????2θ＋π6 ＝3sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈? ????0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223， ∴cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－79， sin 2θ＝2sin θcos θ＝ 42 9， ∴f (4θ)＝3×429－79＝46－7 9 . 六、家庭作业布置： 家长签字：_________________ （请您先检查确认孩子的作业完成后再签字） 附件：堂堂清落地训练 （坚持堂堂清，学习很爽心） 1. 1．函数y ＝ cos x －1 2 的定义域为( ) ，k ∈Z ，k ∈Z D ．R 2．已知函数f (x )＝sin ? ????x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间? ?????0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数 3．(2013·广州综合测试)如果函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π6(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 4．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ? ?? ??πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3 5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ? ?? ??π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) 6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间???? ??－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) C ．2 D ．3 7．函数y ＝cos ? ?? ??π4－2x 的单调减区间为________． 8．(2012·广州联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π， 且当x ∈??????0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ? ?? ??5π3的值为________． 9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ? ?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 10．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域； (2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 11．(2012·佛山期中)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间???? ??－π6，π2上的最大值和最小值． 12．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝?sin x －cos x ?sin 2x sin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π 3 ，k ∈Z . 2．选D ∵y ＝sin ? ????x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在? ?????0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶 函数． 3．选C 由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期T ＝2× π 12＝ π6，故T ＝2πω＝π 6，解得ω＝12. 4．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ? ????πx 6 －π3≤1，所以函数的最大值为2， 最小值为－3，其和为2－ 3. 5．选C 由f ? ????π8＝－2，得f ? ????π8＝－2sin ? ????2×π8＋φ＝－2sin ? ????π4＋φ＝－2，所以sin ? ?? ??π4＋φ＝ 1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π 8 ，k ∈Z . 6．选B ∵x ∈??????－π3，π4，则ωx ∈??????－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在??????－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为3 2 . 7．解析：由y ＝cos ? ?? ??π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π 8 (k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为??????k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：??????k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：f ? ????5π3＝f ? ????－π3＝f ? ?? ??π3＝sin π3＝32. 答案： 32 9．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为? ????k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )， 得φ＝k π－13π 6(k ∈Z )． ∴当k ＝2时，|φ|min ＝π 6. 答案：π6 10．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为x ??? 2k π＋56π≤x ≤2k π＋ 13π 6 ，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π 2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 11．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π 2 ， ∴－π3≤2x ≤π，则－3 2 ≤sin 2x ≤1. 所以f (x )在区间??????－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝?sin x －cos x ?sin 2x sin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ? ????2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝ 2π 2 ＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为??????2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π 2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π 8 ，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为??????k π－π8，k π和? ????k π，k π＋3π8 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 三角函数性质与图像 备注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．． . 函数sin()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,222 k k ππππ??-++?? ? ? ???→变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω π 2=T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2 π k ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1π2sin()2 3 y x =+的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是]65,3[π π 5．函数2 2cos()()363 y x x πππ=-≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)62sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象 上所有点向左平移3π 个单位，所得图象的解析式是y=sin(21x+6 π). 8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x + 32 5 （x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3 π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12ππ-,k π+125π], [k 125ππ+,k π+12 11π ]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,(0,6 2π π+k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()32 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ?????? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)23 y x π π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2π，2k π＋2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知?? ? ???∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域y=2sin （x+6π）?? ? ?? 2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π-x ) 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 1．函数 f (x )＝sin 2x ＋3?图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝ D ．x ＝ 2．函数 y ＝sin x ＋3?cos 6－x ?的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π B. ，π C ．1， D ．1,2π 3.函数 y ＝2sin x －4?cos 4－x ?是( C ) A ．[－1,1] B ．[－ ，－1] C ．[－ ，1] D ．[－1， ] A ．f(x)在( ， )上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 A ．k π (k ∈Z) B ．k π ＋π (k ∈Z)C ．k π ＋ (k ∈Z) D ．k π － (k ∈Z) [2k π + ,2k π + ](k ∈ z ) __________________. 高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质） ? π? ? ? 5π π π π 12 3 6 12 ? π? ?π ? ? ? ? ? 1 π 2 2 ? π? ?π ? ? ? ? ? A ．周期为 2π 的奇函数 B ．周期为 π 的奇函数 C ．周期为 π 的偶函数 D ．周期为 π 的非奇非偶函数 4．函数 y ＝sin2x ＋sinx －1 的值域为(C ) 5 5 5 4 4 4 5．对于函数 f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B ) π π 4 2 C ．f(x)的最小正周期为 2π D ．f(x)的最大值为 2 6．函数 f(x)＝ 3cos(3x －θ )－sin(3x －θ )是奇函数，则 θ 等于( D ) π π 6 3 3 7. 若 f (sin x )＝3－cos2x ，则 f (cos x )＝（ C ） A 、3－cos2x 8.函数 f ( x ) = x sin( x - 5 π 2 B 、3－sin2x C 、3＋cos2x D 、3＋sin2x ) 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 9. 在 (-π , π ) 内是增函数, 且是奇函数的是( A ) . x x x A. y = sin B. y = cos C. y = - sin D. y = sin 2 x 2 2 4 1 ． 函 数 y = 2s x i - 1 n 的 定 义 域 是 _______ π 5π 6 6 2.函数 y = a + b sin x (b > 0) 的最大值是 3 ，最小值是- 1 ，则a ＝_____ 1 ， 2 2 2 1 / 2 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图像和性质 1．函数） 6 2sin(21π += x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈?? ? ?? ?+ - 6,3 πππ π 2．函数y ＝cos 24x π? ? - ?? ? 的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ?? ???? - ＋，＋(k ∈Z) 3．函数3sin(2)3 y x π =+图象的对称中心是_______． 【答案】(,0)32 k π π - + 4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5 π ，则ω=_________。 【答案】10 5．函数)4 tan()(π +=x x f 单调增区间为（ ） A ．Z k k k ∈+ - ),2,2(π πππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ C ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππ D ．Z k k k ∈+-),4 3,4(π πππ 【答案】C 6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π -=x y B. )22cos(π -=x y C. )2 sin(π +=x y D. )2 cos(π + =x y 【答案】A 7．设函数()sin(2)3 f x x π =+ ，则下列结论正确的是 A ．()f x 的图像关于直线3 x π =对称 B ．()f x 的图像关于点( ,0)4 π 对称 C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在[0,]12 π 上为增函数 【答案】D 8．如果函数)4 cos(ax y +=π 的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( ) A ．41= a B ．21=a C ．4 3 =a D ．1=a 三角函数的图像和性质 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()32f x x ππ ??=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相?=__________． 2. 三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数 sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ω?+形式． 解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2 +-=+= )4 2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π ππ -+=-?+=x x x ． 列表，取点，描图： 6π {2,}3 x x k k Z π π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题三角函数的图像与性质
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