高考数学试卷(及答案)
一、选择题
1．已知2a i
b i i
+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1
C ．2
D ．3
2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
（ ）
A ．①③④
B ．②④
C ．②③④
D ．①②③ 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
4．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．
23
B ．43
C ．
32
D ．3
5．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝
AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )
A ．60?
B ．30
C ．45?
D ．15?
6．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0 7．已知π
,4
αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．4
8．2n n + (2)假设当n=k(k∈N * )时,不等式成立,即2k k + 时,()() ()2 22 2(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++= ++< ++++=+=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 9．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 11．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．函数232x x --的定义域是 . 15．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥?? +≤??≤? ，则32z x y =-的最小值是__________． 16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 18．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分 条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________. 20．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则 b a 的取值范围是__________． 三、解答题 21．已知曲线C ： （t 为参数）， C ： （为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为 ，Q 为C 上的动点，求 中点到直线 （t 为参数）距离的最小值． 22．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0 2000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以 下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000 8000的人数； （Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽 取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 21x tcos y tsin α α=+?? =+? (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每 12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列. （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2 ）记,n C n *= ∈N 证明：12+.n C C C n *++<∈N 25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =?. （1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】 因为2 2 222a i ai i ai b i i i +--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以22 11b b a a ==?????-==-??，则+1a b =，故选B. 【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．A 解析：A 【解析】 【分析】 分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】 由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】 本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题. 3．D 解析：D 【解析】 【详解】 试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知 ()()()· 0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算 4．C 解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω?? =+ + ?? ?的图象向右平移43 π 个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π πππ????? ? =- ++=+-+ ? ??????? ?? 所以有4333 20132 22 w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴= ≥ 故选C 5．C 解析：C 【解析】 由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ． 点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面. 6．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D. 7．C 解析：C 【解析】 【分析】 由4 π αβ+= ，得到1tan αβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4 π αβ+= ，得到1tan αβ+=（）， 所以11tan tan tan tan tan αβ αβαβ ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-， 则 1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】 本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题. 8．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项 (1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误． (3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式. 9．A 解析：A 【解析】 余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-= 解得1AC =或4AC =-(舍去)选A. 解析：A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】 设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又 ||PQ OF c ==，||,2 c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2 c OA =． ,22c c P ?? ∴ ??? ，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即2222 2,22c c a e a =∴==． 2e ∴=，故选A ． 【点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 11．A 解析：A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 ,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得 4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成 立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】 易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 12．A 解析：A 【解析】 试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数． 解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为 所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A 点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是 ． 二、填空题 13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题 解析：22y x =± 【解析】 【分析】 由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1 223 a c =?，再据222c a b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】 ∵双曲线22 221x y a b -= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距， ∴1 223 a c = ?，3c a =，又222c a b =+，∴22b a = ∴渐近线方程是22b y x x a =±=±，故答案为22y x =±． 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质即双曲线22 221x y a b -= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±属于基础题． 14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域 解析：[]3,1- 【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[] 3,1- 考点：函数定义域 15．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线 解析：6 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322 z y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322 z y x =-． 平移直线322z y x = -，结合图形可得，当直线322 z y x =-经过可行域内的点A 时，直线 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)， ∴min 326z =?=， 即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】 求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式： a z y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当 0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；②当 0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值． 16．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】 解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z |== ． 【点睛】 对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复 数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为 a bi -． 17．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4 【解析】 【分析】 利用通项公式即可得出． 【详解】 解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r n x r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223 n =54，可得 2n =6，∴ ()12 n n -=6，n ∈N *． 解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令 解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】 由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为 24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径 =22 (2)10x y -+=. 【点睛】 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画 解析：画画 【解析】 以上命题都是真命题， ∴对应的情况是： 则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球， ∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画 20．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以 解析：2,3) 【解析】 【分析】 【详解】 因为ABC ?为锐角三角形，所以022 02B A A B πππ? <= 3A A πππ?< ??， 所以( ,)64A ππ ∈，所以sin 2cos sin b B A a A ==，所以(2,3)b a ∈. 三、解答题 21．（Ⅰ） 为圆心是（ ，半径是1的圆. 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长 半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ） 【解析】 【分析】 【详解】 （1） 为圆心是 ，半径是1的圆， 为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8， 短半轴长是3的椭圆. （2）当 时， ，故 的普通方程为，到 的距离 所以当 时，取得最小值 . 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程. 22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35 ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】 （Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为 26 40026040 ? =人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3?=，所以男生的人数为为200.36?=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友 中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2 615n C ==种， 至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性， ∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263 15 C P C =-=． 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 23．（1）()2 239x y -+=（2 ） 【解析】 分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出 PA PB +． 详解： （1）由2 6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2 2 6x y x +=， 即()2 239x y -+= （2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2 2cos sin 70t t αα+--= 因为0>，可设12,t t 是上述方程的两根，() 12122cos sin 7t t t t αα?+=--? ?=-? 所以 又因为（2，1）为直线所过定点， 1212 PA PB t t t t ∴+=+=-= =≥= 所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式； (2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】 (1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=? ? ??+=+?? ，解得：102a d =?? =?， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212 n n n S n n +-?= =-. 则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即： ()()()()2 1112n n n n n b n n b n n b ++=-+?+++????????????， 据此有： ()()()()()()()()2 222 121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()() ()22112121(1)(1)(1)(2) n n n n n n b n n n n n n n n n +--++= =++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得： 2n C = =<=<=， 则( )( ) ( ) 122 102 212 12n C C C n n n +++<-+-+ +--= 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．(1) T π= ；26k x ππ = +（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36 ππ-和2[,]3 π π 【解析】 【分析】 （1）化简得()1sin 262f x x π? ?=++ ?? ?，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数 在R 上的增区间为[,3 6 k k π π ππ-+ ] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解. 【详解】 解：（1）()2 3sin cos cos f x a b x x x =?=+ 111sin2cos2sin 222262x x x π? ?= ++=++ ?? ? 所以()f x 的周期22 T π π==, 令26 2 x k π π π+ =+ （k Z ∈），即26 k x ππ = +（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26 k x ππ =+（k Z ∈）. （2）令2222 6 2 k x k π π π ππ-≤+ ≤+ （k Z ∈） 解得36 k x k π π ππ- ≤≤+ （k Z ∈），由于(] ,x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ??-- ?? ?，,36ππ??-????和2,3ππ?? ???? . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
相关主题
文本预览