微积分经典题型
有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
有理化分子分母
X趋向正无穷与x趋向负无穷的区别
微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ;
微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(2 2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________ )(=x f （4）若2 2 ),(y x x y y x f -=+，则____________ ),(=y x f （5）函数) 1ln(42 2 2y x y x z ---= 的定义域是_______________ （6）函数y x z -=的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在
5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2 2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则__________________,=??=??y z x z ; （2）设)(y x e z xy +=，则 __________________,=??=??y z x z ; （3）设z y x u =，则________,__________________,=??=??=??z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则________ _________,_________,22222=???=??=??y x z y z x z （5）设z y x u )(=，则________ 2=???y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________) ,(),(lim =--+→x b x a f b x a f x 2.求下列函数的偏导数 y xy z )1()1(+= z y x u )arcsin()2(-= 3.设x y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数 4.设)ln(xy x z =，求y x z ???23和2 3y x z ??? 5.)11(y x e z +-=，试化简y z y x z x ??+??22
湖北汽车工业学院 微积分(一)(下)考试卷 （ 2011-2012-2） 一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='?]sin [2 x tdt 2sin 2x x ． 2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- . 4．??+-=D dxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 . 5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为C x y +-=2)1(arcsin . 6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为 15/2π . 7．设数项级数∑∞=1 n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞ =++1 1)(n n n u u 的和为12u s - ． 二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则 dx c x f b a ? +)(等于 )(A )()(c a F c b F ---. )(B )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+. 【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=，则? 等于 )(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D )7,1,5(-.
【A 】3．下列级数中条件收敛的是 )(A ∑∞ =+-111 ) 1(n n n . )(B ∑∞ =+-1211)1(n n n . )(C ∑∞=--1 1 )107() 1(n n n . )(D ∑∞ =-1 51 )1(n n n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是 )(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2= +'. )(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'． 【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(10 -=?dt t f x x f ，则?1 )(dx x f 等于 )(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-． 【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=??σd x y D arctan )(A 2163π . )(B 2323π. )(C 264 3 π. )(D 2 128 3π． 【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞ =--0)1()1()(n n n x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞ =-0 )1()(n n x x f ＝, 20< 大一微积分练习题及答案 《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振 荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0 ⒒ 1.曲线1)(+=x x f 在)2,1( ⒓ 2.若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则 (x f ⒔ 3.微分方程0)(3= '+''y y x ⒕ 4.函数) 2ln(1 )(+= x x f 的定义域是 ⒖ 5.函数3 3 22 ---=x x x y 的间断点是 ⒗ ⒈函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= ⒘ ⒉若函数?? ??? =≠+=0,0 ,13 sin )(x k x x x x f ,在0=x 处连续，则=k ⒙ ⒊曲线x y = 在点)1,1( ⒚ ⒋'? x x s d )in ( ⒛ ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+'' 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设 1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x ⒉若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． A x f x x =→)(lim 0 ，但 )(0x f A ≠ C ．函数f (x)在点x0处连续 D ．函数f (x)在点x0处可微 ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 ⒋ =''?x x f x d )(（ A ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1( ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） 微积分习题讲解与答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4) θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2=+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= =右 (5) 是，左==-=---y x y x y x y x 222)2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(2 2332 =0) ())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右 3.求下列微分方程的解 (1) 2d d =x y ; (2) x x y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y x x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==??2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''?? (3) ??=+-x y y y d d 11 ??=+++-x y y y d d 12)1( 解得 ???=++-x y y y d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2 (4) ??+=+dx x x dy y y ) 1(122 解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+ 整理得 222 11C x y =++ 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面 《微积分初步》期末复习典型例题 一、函数、极限与连续 （一）考核要求 1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2.了解极限概念，会求简单极限. 3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++=的定义域是． 答案：]2,1()1,2(-?-- （3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f （4）若函数?? ??? ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ． 答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是． 答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ． 答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++D ．2 x x + 答案：C 微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可 即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 知 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数 是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由 ，可得 ，从而有 。可见，对于任意的x， 有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数 的反函数是（）。 习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2 =+'-'xy y y y x (2) 02 =+'-y y x y x (3)0)(sin 42 =+''+'''y x y y x (4)θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos = =+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-2 2 ,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2 xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2 =+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1) 1(22 2 =-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= 0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右 第九章检测试题B 一、选择题（每小题2 分，共20分） 1、L 为逆时针方向的圆周:22(2)(3)4x y -++=,则L ydx xdy -=??( )。 A ． 8π B ． 8π- C ． 4π D ． 4π- 2、设L 是曲线3x y =与直线x y =所围成区域的整个边界曲线，),(y x f 是连续函数，则曲线积分ds y x f L ?),(＝( ) （Ａ）??+1 10 3),(),(dx x x f dx x x f （Ｂ）??+1 1 3 2),(),(dx x x f dx x x f （Ｃ）11 30 (,(,f x x f x x +?? （Ｄ）[]dx x x f x x x f 2),(91),(41 1 3++? - 3、已知L ：)(),(),(βαφ?≤≤==t t y t x 是一连接)(),(βαB A 两点的有向光滑曲线段，其中始点为)(βB ，终点为)(αA 则?=L dx y x f ),(( ) （A ）dt t t f ))(),((φ?βα ? （B ） dt t t f ))(),((φ?α β ? (C) dt t t t f )())(),((/ ?φ?α β ? (D) dt t t t f )())(),((/?φ?β α ? 4、 对于对于格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx L D )( ??-??=+???，下列说法正确的( ) ，D 为L 围成的单连通区域。 (A)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (B)L 顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (C)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 (D) L 取顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 5、设曲线L:()23 ,,,0123 t t x t y z t ===≤≤,其线密度ρ 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(3 12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。 (Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。 3、函数?? ???=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。 (Ａ)23; (Ｂ)3 2 ; (C)1; (D)0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 (Ａ)1; (Ｂ)1-; (C)∞; (D)不存在但非∞。 《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示） （二） 1 167页第24题 提示：根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式，则()0f x '=是4次方程，它最多有4个实根。 167页第26题 证明：由于(())()0f x ax f x a ''-=-=，根据拉格朗日定理的推论1，()f x ax -为一常数，不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题（2）（3）（4） （2）证明：设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，()f t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以， 11x x x x x <<++，即得到 ln(1).1x x x x <+<+ （3）证明：设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ，()g t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，且()0g t '≠.根据柯西中值定理， ()f t ,()g t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ （当x<0时可以类似得证．） （4）提示：和上例类似，设(),t f t e = (),g t et =在区间[1，x]上用柯西定理。 168页第29题（6）（7）（10） 解：（6） 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→== 26cos sin lim 6cos3sin3sin 22cos 2lim lim sin 66cos61.3x x x x x x x x x x x π ππ→→→-=-=== 微积分基本定理典型例题解析 一、填空题 ⒈设G x t t a x ()sin = ? d 2，则'=G x () ． 解：222sin 2)()sin()(x x x x x G ='?='． ⒉ 1624 4-=? x x d － ． 解：由定积分的几何意义，此积分计算的是圆2224=+y x 的上半部，故结果为π8． 3． (x x x a a 5 -+=?212 )d － ． 解：由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得 x x x x x x x x a a a a a a a a d 21d 2d d )212(---5 -5 ????+-=+- a x x a a ==+-=??0 0d d 21200 二、单项选择题 ⒈ d d d x t t x b (ln )2 ?=（ ）． A.2ln x ； B.ln 2t ； C.ln 2x D.-ln 2 x 解： x t t x t t x x b b x 222ln )d ln (d d )d ln (d d -=-=??，故选项D 正确． ⒉由曲线y f x y g x ==(),()及直线x a x b a b ==<,()所围成的平面图形面积的 计算公式是（ ）． A. (()())f x g x x a b -?d ； B.(()())g x f x x a b -? d ； C. g x f x x a b ()()-? d ； D. (()())f x g x x a b -? d 解：A, B 选项的积分可能出现负值，而D 选项虽非负，但面积可能被抵消，故选项C 正确． 3．下列广义积分中，（ ）收敛． A. 1 d x x 21+∞ ?； B.1d x x 201?； C.1d x x 1+∞?； D.1d x x 01? 解：对于?∞+1d 1x x p ，当p >1时积分收敛；对于?10d 1 x x p ，当p <1时积分收敛。故选项A 正确． 三、计算题 ⒈计算下列积分： ⑴ d x x 4201 -? ⑵ln x x d e １? ⑶d x x x 221()+∞?１＋ 解：⑴将被积函数作变换大一微积分练习题及答案
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