《高等数学》练习题库参考答案

《高等数学》练习测试题库

一.选择题

1.函数y=

1

1

2+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数

2.设f(sin 2

x

)=cosx+1,则f(x)为( )

A 2x 2-2

B 2-2x 2

C 1+x 2

D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999 B .

23

,32,45,5

4 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n

n n n n

1,1 D. {n n 21

2+}

4.数列有界是数列收敛的( )

A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( )

A .发散数列必无界

B .两无界数列之和必无界

C .两发散数列之和必发散

D .两收敛数列之和必收敛

6.=--→1

)

1sin(lim

21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/2

7.设=+∞→x x x

k

)1(lim e 6 则k=( )

A.1

B.2

C.6

D.1/6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )

A.x 2-1

B. x 3-1

C.(x-1)2

D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= ( )

A 、是连续的

B 、无界函数

C 、有最大值与最小值

D 、无最小值

11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()

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A、B、e C、-e D、-e-1

12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()

A、 xarctan1/x

B、arctan1/x

C、tan1/x

D、cos1/x

13、设f(x)在点x

0连续,g(x)在点x

不连续,则下列结论成立是()

A、f(x)+g(x)在点x

必不连续

B、f(x)×g(x)在点x

必不连续须有

C、复合函数f[g(x)]在点x

必不连续

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D、在点x0必不连续

在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足14、设f(x)=

()

A、a>0,b>0

B、a>0,b<0

C、a<0,b>0

D、a<0,b<0

15、若函数f(x)在点x

0连续,则下列复合函数在x

也连续的有()

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A、 B、

C、tan[f(x)]

D、f[f(x)]

16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()

A、[0,л]

B、(0,л)

C、[-л/4,л/4]

D、(-л/4,л/4)

17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()

A、f(x)=x+1

B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1

D、f(x)=5x4-4x+1

20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()

A、k=0

B、k=1

C、k=2

D、-1/2

21、若直线y=x与对数曲线y=log

a

x相切,则()

A、e

B、1/e

C、e x

D、e1/e

22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()

A、x-y-1=0

B、x-y+3e-2=0

C、x-y-3e-2=0

D、-x-y+3e-2=0

23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()

A、±1

B、±л/2

C、±(л/2+1)

D、±(л/2-1)

24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x

0)=a,则f`(-x

)=()

A、a

B、-a

C、|a|

D、0

25、设y=㏑,则y’|x=0=()

A、-1/2

B、1/2

C、-1

D、0

26、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()

A、-1

B、0

C、1

D、不存在

27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()

A、0

B、1/ ㏑2

C、1

D、㏑2

28、已知y=sinx,则y(10)=()

A、sinx

B、cosx

C、-sinx

D、-cosx

29、已知y=x㏑x,则y(10)=()

A、-1/x9

B、1/ x9

C、8.1/x9

D、 -8.1/x9

30、若函数f(x)=xsin|x|,则()

A、f``(0)不存在

B、f``(0)=0

C、f``(0) =∞

D、 f``(0)= л

31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()

A、-1

B、0

C、л/2

D、 2

32、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、 2

33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )

A 、0

B 、-dx

C 、dx

D 、 不存在

36、极限)ln 11(

lim 1x

x x x --→的未定式类型是( )

A 、0/0型

B 、∞/∞型

C 、∞ -∞

D 、∞型

37、极限 0

1

2

)sin lim(→x x x

x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞

型 D 、∞0型

38、极限 x

x x x sin 1

sin

lim

20

→=( )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不存在 39、x

x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x

x 0 的( )

A 、(n+1)阶无穷小

B 、n 阶无穷小

C 、同阶无穷小

D 、高阶无穷小

40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )

A 、唯一的零点

B 、至少存在有一个零点

C 、没有零点

D 、不能确定有无零点 41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )

A、2

B、1/2

C、1

D、0

42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()

A、0

B、1/2

C、1

D、2

43、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有()

A、一个

B、两个

C、无穷多个

D、都不对

44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()

A、2e x/2

B、4 e x/2

C、e x/2 +C

D、e x/2

45、∫xe-x dx =( D )

A、xe-x -e-x +C

B、-xe-x+e-x +C

C、xe-x +e-x +C

D、-xe-x -e-x +C

46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()

A、不含有对数函数

B、含有反三角函数

C、一定是初等函数

D、一定是有理函数

0|3x+1|dx=()

47、∫

-1

A、5/6

B、1/2

C、-1/2

D、1

48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()

A、л

B、2л

C、4л

D、6л

49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()

A、л

B、6л/15

C、16л/15

D、32л/15

50、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()

A、 B、2 C、31/2 D、 21/2

51、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()

A、Z=4

B、Z=0

C、Z=-2

D、x=2

52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()

A、椭圆

B、双曲线

C、抛物线

D、两相交直线

53、方程=0所表示的图形为()

A、原点(0,0,0)

B、三坐标轴

C 、三坐标轴

D 、曲面,但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )

A 、X 轴

B 、Y 轴

C 、Z 轴

D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )

A 、双叶双曲面

B 、单叶双曲面

C 、椭圆抛物面

D 、圆锥曲面 二、填空题

1、求极限1

lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )

2、求极限 0

lim →x [(x 3

-3x+1)/(x-4)+1]=( )

3、求极限2

lim →x x-2/(x+2)1/2=( )

4、求极限∞

→x lim [x/(x+1)]x

=( )

5、求极限0

lim →x (1-x)1/x

= ( )

6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )

7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( ) 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )

9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( ) 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( ) 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( ) 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( ) 13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )

14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )

15、点(0,1)是曲线y=ax 3

+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( ) 16、∫xx 1/2dx= ( )

17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( ) 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ,则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt =( )

20、已知函数f(x)=??

??

?=≠?-0,0,022)1(1x a x x t dt e x

在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =( ) 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( ) 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( ) 25、∫л/3л

sin (л/3+x)dx=( )

26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 32、∫49

x 1/2(1+x 1/2)dx=( )

33、满足不等式|x-2|<1的X 所在区间为 ( ) 34、设f(x) = [x] +1,则f (л+10)=( ) 35、函数Y=|sinx|的周期是 ( )

36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 ( ) 37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 ( ) 38、心形线r=a(1+cos θ)的全长为 ( )

39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( ) 40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ( )

41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是( ) 42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是 ( ) 43、求平行于xoz 面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )

44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()

45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()

三、解答题

1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大?并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.(x<0=的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小?求出该点处的曲率半径。

5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=e x,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。

8、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,3)和(3,0)得的切线所围成的图形的面积。9/4

14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л,θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=e x下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。

27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。

31、在yoz平面上,求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c,试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离。求这动点的轨迹方程。

34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周,求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。

41、求过(1,1,1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。

42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0},试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45、求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。

46、求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。 48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。 49、求点P (3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

四、证明题

1.证明不等式:?

-≤

+≤11

43

812dx x 2.证明不等式?>≤-≤210)2(,6

121n x dx n π

3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:

??

=-a

a

a

dx x g A dx x g x f 0

)()()(

4.设n 为正整数,证明??

=202

cos 2

1sin cos π

π

xdx xdx x n n

n

n

5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a

a ?则曲线

)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明:??+=+1

1

122

11x x x dx x dx 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则

?

?+=T

a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

8.若)(x f 是连续函数,则???-=??

????x x u

du u f u x du dt t f 000)()()(

9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ

ξ

ξξa

b

dx x f g dx x g f )()()()(

10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??

? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:

?

-≤

b

a

a b M

dx x f 2)(2

)(

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一. 选择题

1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA 31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA

二. 填空题 1.2 2.3/4 3.0

4.e -1

5.e -1

6.(31/2

+1)/2 7.

4

2

(1+2π)

8.9/25 9.

2π-1或1-2

π 10.2 11.-1,0 12.-2 13.1/5 14.0 15.0,1 16. C + 2 x 3/2

/5 17. F(x)+C 18. 2xe x

2(1+x) 19.0 20.0 21.21/8 22.271/6 23. π/3a 24. π/6 25.0 26. 2(31/2

-1) 27. π/2

28. 2/3 29. 4/3

30. 21/2 31. 0 32. 3π/2 33. (1,3) 34. 14 35. π

36. 7/6 37. 32/3 38. 8a

39. 等腰直角

40. 4x+4y+10z-63=0 41. 3x-7y+5z-4=0 42. (1,-1,3) 43. y+5=0 44. x+3y=0 45. 9x-2y-2=0

三.

解答题

1. 当X=1/5时,有最大值1/5

2. X=-3时,函数有最小值27

3. R=1/2

4. 在点(

2

2,-22ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2 5. 7/6

6. e+1/e-2

7. x-3y-2z=0

8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. (-5/3,2/3,2/3)

10. 2(21/2

-1) 11. 32/3 12. 4×21/2/3 13. 9/4

14.4

2a (a π2-e π2-)

15. e/2

16. 8a 2

/3 17. 3л/10

18.

??

????

-+-)(224222e e a a a π

19. 160л2

20. 2л2 a 2

b 21.

π3

6

16 22. 7л2

a 3

23. 1+1/2㏑3/2 24.23-4/3

25.???

?????-??

? ??1259823

26.p y p y p p y p y 2

222ln

22++++ 27.ψ

a e a

a 21+

28.ln3/2+5/12

29. 8a 30. 5×21/2

31. (0,1,-2) 32. 5a-11b+7c

33. 4x+4y+10z-63=0

34. y 2+z 2

=5x

35. x+y 2+z 2

=9

36. x 轴: 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴:4(x 2+z 2)-9y 2

=36

37. x 2+y 2(1-x)2

=9 z=0

38. x 2+y 2+(1-x)2

≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.

3

31

44.

24-x =11+y =53

-z 45. 4

3--x =22+y =11-z

46. 2

-x =32-y =14-z

47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)

49.

2

2

3 50. ?

?

?=-+-=--+0140

117373117z y x z y x

四.证明题

1.证明不等式:?

-≤

+≤1

1

43

812dx x 证明:令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f 则4

34

312124)(x

x x

x x f +=

+=

',

令,0)(='x f 得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则2)(1≤≤x f

上式两边对x 在[]1,1-上积分,得不出右边要证的结果,因此必须对f(x)进行分析,显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是

???

---+≤+≤1

1

21

1

4

1

1

,)1(1dx x dx x dx 故

?

-≤

+≤11

43

812dx x

2.证明不等式?>≤-≤21

0)2(,6

121n x dx n π

证明:显然当??

?

???∈21,0x 时,(n>2)有

??==-≤-≤?-≤-≤21021

0226

021arcsin 112111

11

x x dx x dx x x n n

即,?>≤-≤21

0)2(,6121n x dx n π

3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:??

=-a

a

a

dx x g A dx x g x f 0

)()()(

证明:

dx x g x f dx x g x f dx x g x f a

a

a

a

???

+=--0

)()()()()()(

dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a

a

a

???

-=---=-0

00

)()()()()()(令

[]?????=-+=+-=∴-a

a a a a a

dx

x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0

)()()()()()()()()()(

4.设n 为正整数,证明??

=202

cos 2

1sin cos ππ

xdx xdx x n n

n

n

证明:令t=2x,有

?

?

?

++=

=

π

π

π

1

20

2

1

s i n 2

12)2(s i n 2

1s i n c o s t d t

x d x x d x x n

n n

n n

n ,s i n s i n 212201???

? ??+=??+πππ

t d t t d t n

n n 又,???=---=0

2

20

2

sin )(sin sin ππ

π

π

ππudu du u u t tdt n n

n

以,

?

??

??==+=

+ππ

π

π

π

π

2

20

20

2020

1

s 2

1

s i 21)s i s

i (2

1s

i n c

o s x t

d

t d t

d

x d x x n

n n

n n

n

n n

n

又,

???

=--=

20

2

2

cos cos 2

sin π

πππ

π

xdx tdt t x xdx n n

n

因此,??

=202

cos 2

1

sin cos π

π

xdx xdx x n n

n

n

5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a

a

?则曲线

)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

证明:?

?--+-=

x

a

a

x

dt t x t dt t t x x f )()()()()(??

????----+-=x

a

a

x

x

a

x

a

dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(????

????--+=-='x a

x

a

x a

a x

dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????

0)(2)()()(>=+='x x x x f ??? 故,曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明:??+=+1

1

122

11x x x dx x dx 证明:????=

+=+=-?++=

1

1

1111

1222

2

1

2

11)1(111

1x x x x u

x x dx u du du u u

x dx

令 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则 ?

?+=T

a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

证明:?

??

?

=++=+=

+=+=

a

a

a

T x f x f T x f T

u x T

a T

dx x f dx

T x f du T u f dx

x f 0

)()

()()()()()(为周期以令

0)()(0

=+∴

?

?

+T

a T

a

dx x f dx x f

在等式两端各加

?

T

dx x f 0

)(,于是得??+=T a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

8.若)(x f 是连续函数,则???-=??

????x x u

du u f u x du dt t f 000)()()( 证明:????-=??????x u x

u du u uf x dt t f u du dt t f 000

0)(0)()(

??-=x

x du u uf dt t f x 0

)()(

?-=x

du u f u x 0

)()(

9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ

ξ

ξξa

b

dx x f g dx x g f )()()()(

证明:作辅助函数??=x a

b

x

dt t g dt t f x F )()()(,由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,所以

)(x F 在[]b a ,上连续,在(a,b )内可导,并有0)()(==b F a F 由洛尔定理),(,0)(b a F ∈='ξξ

即ξ

ξ

==??

?????-='

??

????????x b x x

a x x x a

b x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()(

??-=b a

dx x f g dx x g f ξ

ξ

ξξ)()()()(

=0 亦即,??=ξ

ξ

ξξa

b

dx x f g dx x g f )()()()(

10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??

? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

证明:令??--??

? ??=x

a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22

[]?≤--='x

a

dt x f t f x F 0)()()(2

故)(x f 是 []b a ,上的减函数,又0)(=a F ,0)()(=≤a F b F

故 ??-≤??

? ??b

a b a dx x f a b dx x f )()()(22

11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:

?

-≤

b

a

a b M

dx x f 2)(2

)( 证明:由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理,于是有

()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(,因而,)()(a x M x f -≤

由定积分比较定理,有 ?

?-=

-≤b

a

b

a

a b M

dx a x M dx x f 2)(2

)()(

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