《高等数学》练习测试题库
一.选择题
1.函数y=
1
1
2+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数
2.设f(sin 2
x
)=cosx+1,则f(x)为( )
A 2x 2-2
B 2-2x 2
C 1+x 2
D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999 B .
23
,32,45,5
4 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n
n n n n
1,1 D. {n n 21
2+}
4.数列有界是数列收敛的( )
A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( )
A .发散数列必无界
B .两无界数列之和必无界
C .两发散数列之和必发散
D .两收敛数列之和必收敛
6.=--→1
)
1sin(lim
21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/2
7.设=+∞→x x x
k
)1(lim e 6 则k=( )
A.1
B.2
C.6
D.1/6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )
A.x 2-1
B. x 3-1
C.(x-1)2
D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= ( )
A 、是连续的
B 、无界函数
C 、有最大值与最小值
D 、无最小值
11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()
A、B、e C、-e D、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()
A、 xarctan1/x
B、arctan1/x
C、tan1/x
D、cos1/x
13、设f(x)在点x
0连续,g(x)在点x
不连续,则下列结论成立是()
A、f(x)+g(x)在点x
必不连续
B、f(x)×g(x)在点x
必不连续须有
C、复合函数f[g(x)]在点x
必不连续
D、在点x0必不连续
在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足14、设f(x)=
()
A、a>0,b>0
B、a>0,b<0
C、a<0,b>0
D、a<0,b<0
15、若函数f(x)在点x
0连续,则下列复合函数在x
也连续的有()
A、 B、
C、tan[f(x)]
D、f[f(x)]
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()
A、[0,л]
B、(0,л)
C、[-л/4,л/4]
D、(-л/4,л/4)
17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()
A、f(x)=x+1
B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1
D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()
A、k=0
B、k=1
C、k=2
D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=log
a
x相切,则()
A、e
B、1/e
C、e x
D、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()
A、x-y-1=0
B、x-y+3e-2=0
C、x-y-3e-2=0
D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()
A、±1
B、±л/2
C、±(л/2+1)
D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x
0)=a,则f`(-x
)=()
A、a
B、-a
C、|a|
D、0
25、设y=㏑,则y’|x=0=()
A、-1/2
B、1/2
C、-1
D、0
26、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()
A、-1
B、0
C、1
D、不存在
27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()
A、0
B、1/ ㏑2
C、1
D、㏑2
28、已知y=sinx,则y(10)=()
A、sinx
B、cosx
C、-sinx
D、-cosx
29、已知y=x㏑x,则y(10)=()
A、-1/x9
B、1/ x9
C、8.1/x9
D、 -8.1/x9
30、若函数f(x)=xsin|x|,则()
A、f``(0)不存在
B、f``(0)=0
C、f``(0) =∞
D、 f``(0)= л
31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()
A、-1
B、0
C、л/2
D、 2
32、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 2
33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )
A 、0
B 、-dx
C 、dx
D 、 不存在
36、极限)ln 11(
lim 1x
x x x --→的未定式类型是( )
A 、0/0型
B 、∞/∞型
C 、∞ -∞
D 、∞型
37、极限 0
1
2
)sin lim(→x x x
x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞
型 D 、∞0型
38、极限 x
x x x sin 1
sin
lim
20
→=( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、不存在 39、x
x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x
x 0 的( )
A 、(n+1)阶无穷小
B 、n 阶无穷小
C 、同阶无穷小
D 、高阶无穷小
40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )
A 、唯一的零点
B 、至少存在有一个零点
C 、没有零点
D 、不能确定有无零点 41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )
A、2
B、1/2
C、1
D、0
42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()
A、0
B、1/2
C、1
D、2
43、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有()
A、一个
B、两个
C、无穷多个
D、都不对
44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()
A、2e x/2
B、4 e x/2
C、e x/2 +C
D、e x/2
45、∫xe-x dx =( D )
A、xe-x -e-x +C
B、-xe-x+e-x +C
C、xe-x +e-x +C
D、-xe-x -e-x +C
46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()
A、不含有对数函数
B、含有反三角函数
C、一定是初等函数
D、一定是有理函数
0|3x+1|dx=()
47、∫
-1
A、5/6
B、1/2
C、-1/2
D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()
A、л
B、2л
C、4л
D、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()
A、л
B、6л/15
C、16л/15
D、32л/15
50、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()
A、 B、2 C、31/2 D、 21/2
51、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()
A、Z=4
B、Z=0
C、Z=-2
D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()
A、椭圆
B、双曲线
C、抛物线
D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为()
A、原点(0,0,0)
B、三坐标轴
C 、三坐标轴
D 、曲面,但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )
A 、X 轴
B 、Y 轴
C 、Z 轴
D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )
A 、双叶双曲面
B 、单叶双曲面
C 、椭圆抛物面
D 、圆锥曲面 二、填空题
1、求极限1
lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )
2、求极限 0
lim →x [(x 3
-3x+1)/(x-4)+1]=( )
3、求极限2
lim →x x-2/(x+2)1/2=( )
4、求极限∞
→x lim [x/(x+1)]x
=( )
5、求极限0
lim →x (1-x)1/x
= ( )
6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )
7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( ) 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )
9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( ) 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( ) 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( ) 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( ) 13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )
14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )
15、点(0,1)是曲线y=ax 3
+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( ) 16、∫xx 1/2dx= ( )
17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( ) 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ,则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt =( )
20、已知函数f(x)=??
??
?=≠?-0,0,022)1(1x a x x t dt e x
在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =( ) 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( ) 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( ) 25、∫л/3л
sin (л/3+x)dx=( )
26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 32、∫49
x 1/2(1+x 1/2)dx=( )
33、满足不等式|x-2|<1的X 所在区间为 ( ) 34、设f(x) = [x] +1,则f (л+10)=( ) 35、函数Y=|sinx|的周期是 ( )
36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 ( ) 37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 ( ) 38、心形线r=a(1+cos θ)的全长为 ( )
39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( ) 40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ( )
41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是( ) 42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是 ( ) 43、求平行于xoz 面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )
44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()
45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()
三、解答题
1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大?并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x<0=的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小?求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=e x,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
8、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,3)和(3,0)得的切线所围成的图形的面积。9/4
14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л,θ=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=e x下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转体体积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。
27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。
30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。
31、在yoz平面上,求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c,试用a,b,c表示2U-3V。
33、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离。求这动点的轨迹方程。
34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周,求所生成的旋轴曲方程。
35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。
36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。
37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。
38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。
39、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
41、求过(1,1,1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0},试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
45、求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。
46、求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。
47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。 48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。 49、求点P (3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
四、证明题
1.证明不等式:?
-≤
+≤11
43
812dx x 2.证明不等式?>≤-≤210)2(,6
121n x dx n π
3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:
??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
4.设n 为正整数,证明??
=202
cos 2
1sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a
a ?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
6.证明:??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8.若)(x f 是连续函数,则???-=??
????x x u
du u f u x du dt t f 000)()()(
9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??
? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22
11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)(
《高等数学》练习测试题库参考答案
一. 选择题
1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA 31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA
二. 填空题 1.2 2.3/4 3.0
4.e -1
5.e -1
6.(31/2
+1)/2 7.
4
2
(1+2π)
8.9/25 9.
2π-1或1-2
π 10.2 11.-1,0 12.-2 13.1/5 14.0 15.0,1 16. C + 2 x 3/2
/5 17. F(x)+C 18. 2xe x
2(1+x) 19.0 20.0 21.21/8 22.271/6 23. π/3a 24. π/6 25.0 26. 2(31/2
-1) 27. π/2
28. 2/3 29. 4/3
30. 21/2 31. 0 32. 3π/2 33. (1,3) 34. 14 35. π
36. 7/6 37. 32/3 38. 8a
39. 等腰直角
40. 4x+4y+10z-63=0 41. 3x-7y+5z-4=0 42. (1,-1,3) 43. y+5=0 44. x+3y=0 45. 9x-2y-2=0
三.
解答题
1. 当X=1/5时,有最大值1/5
2. X=-3时,函数有最小值27
3. R=1/2
4. 在点(
2
2,-22ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2 5. 7/6
6. e+1/e-2
7. x-3y-2z=0
8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. (-5/3,2/3,2/3)
10. 2(21/2
-1) 11. 32/3 12. 4×21/2/3 13. 9/4
14.4
2a (a π2-e π2-)
15. e/2
16. 8a 2
/3 17. 3л/10
18.
??
????
-+-)(224222e e a a a π
19. 160л2
20. 2л2 a 2
b 21.
π3
6
16 22. 7л2
a 3
23. 1+1/2㏑3/2 24.23-4/3
25.???
?????-??
? ??1259823
26.p y p y p p y p y 2
222ln
22++++ 27.ψ
a e a
a 21+
28.ln3/2+5/12
29. 8a 30. 5×21/2
31. (0,1,-2) 32. 5a-11b+7c
33. 4x+4y+10z-63=0
34. y 2+z 2
=5x
35. x+y 2+z 2
=9
36. x 轴: 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴:4(x 2+z 2)-9y 2
=36
37. x 2+y 2(1-x)2
=9 z=0
38. x 2+y 2+(1-x)2
≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.
3
31
44.
24-x =11+y =53
-z 45. 4
3--x =22+y =11-z
46. 2
-x =32-y =14-z
47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)
49.
2
2
3 50. ?
?
?=-+-=--+0140
117373117z y x z y x
四.证明题
1.证明不等式:?
-≤
+≤1
1
43
812dx x 证明:令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f 则4
34
312124)(x
x x
x x f +=
+=
',
令,0)(='x f 得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则2)(1≤≤x f
上式两边对x 在[]1,1-上积分,得不出右边要证的结果,因此必须对f(x)进行分析,显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是
???
---+≤+≤1
1
21
1
4
1
1
,)1(1dx x dx x dx 故
?
-≤
+≤11
43
812dx x
2.证明不等式?>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
证明:显然当??
?
???∈21,0x 时,(n>2)有
??==-≤-≤?-≤-≤21021
0226
021arcsin 112111
11
1π
x x dx x dx x x n n
即,?>≤-≤21
0)2(,6121n x dx n π
3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
证明:
dx x g x f dx x g x f dx x g x f a
a
a
a
???
+=--0
)()()()()()(
dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a
a
a
???
-=---=-0
00
)()()()()()(令
[]?????=-+=+-=∴-a
a a a a a
dx
x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0
)()()()()()()()()()(
4.设n 为正整数,证明??
=202
cos 2
1sin cos ππ
xdx xdx x n n
n
n
证明:令t=2x,有
?
?
?
++=
=
π
π
π
1
20
2
1
s i n 2
12)2(s i n 2
1s i n c o s t d t
x d x x d x x n
n n
n n
n ,s i n s i n 212201???
? ??+=??+πππ
t d t t d t n
n n 又,???=---=0
2
20
2
sin )(sin sin ππ
π
π
ππudu du u u t tdt n n
n
,
所
以,
?
??
??==+=
+ππ
π
π
π
π
2
20
20
2020
1
s 2
1
s i 21)s i s
i (2
1s
i n c
o s x t
d
t d t
d
x d x x n
n n
n n
n
n n
n
又,
???
=--=
20
2
2
cos cos 2
sin π
πππ
π
xdx tdt t x xdx n n
n
因此,??
=202
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a
a
?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
证明:?
?--+-=
x
a
a
x
dt t x t dt t t x x f )()()()()(??
????----+-=x
a
a
x
x
a
x
a
dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(????
????--+=-='x a
x
a
x a
a x
dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????
0)(2)()()(>=+='x x x x f ??? 故,曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
6.证明:??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 证明:????=
+=+=-?++=
1
1
1111
1222
2
1
2
11)1(111
1x x x x u
x x dx u du du u u
x dx
令 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则 ?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
证明:?
??
?
=++=+=
+=+=
a
a
a
T x f x f T x f T
u x T
a T
dx x f dx
T x f du T u f dx
x f 0
)()
()()()()()(为周期以令
0)()(0
=+∴
?
?
+T
a T
a
dx x f dx x f
在等式两端各加
?
T
dx x f 0
)(,于是得??+=T a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8.若)(x f 是连续函数,则???-=??
????x x u
du u f u x du dt t f 000)()()( 证明:????-=??????x u x
u du u uf x dt t f u du dt t f 000
0)(0)()(
??-=x
x du u uf dt t f x 0
)()(
?-=x
du u f u x 0
)()(
9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
证明:作辅助函数??=x a
b
x
dt t g dt t f x F )()()(,由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,所以
)(x F 在[]b a ,上连续,在(a,b )内可导,并有0)()(==b F a F 由洛尔定理),(,0)(b a F ∈='ξξ
即ξ
ξ
==??
?????-='
??
????????x b x x
a x x x a
b x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()(
??-=b a
dx x f g dx x g f ξ
ξ
ξξ)()()()(
=0 亦即,??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??
? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22
证明:令??--??
? ??=x
a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22
[]?≤--='x
a
dt x f t f x F 0)()()(2
故)(x f 是 []b a ,上的减函数,又0)(=a F ,0)()(=≤a F b F
故 ??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)( 证明:由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理,于是有
()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(,因而,)()(a x M x f -≤
由定积分比较定理,有 ?
?-=
-≤b
a
b
a
a b M
dx a x M dx x f 2)(2
)()(
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高等数学 院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分 题号选择题填空题计算题证明题其它题 型 题分20 20 20 20 20 核分人 得分复查人 一、选择题(共 20 小题,20 分) 1、设 Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域,用不等号表达I1,I2,I3三者大小关系是A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1. 答 ( ) 2、设f(x,y)为连续函数,则积分 可交换积分次序为 答 ( ) 3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域,且f(x,y,z)在Ω上连续,则等于 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 4、设u=f(t)是(-∞,+∞)上严格单调减少的奇函数,Ω是立方体:|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数,则 (A) I>0 (B) I<0 (C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定
答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。若 ,则 (A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积 (C) 因为f有界,所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积 答 ( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续,I=x2yzf(x,y2,z3),则I= (A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v (C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0 答 ( ) 8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的 (A)充分必要条件; (B)充分条件,但非必要条件; (C)必要条件,但非充分条件; (D)既非分条件,也非必要条件。 答 ( ) 9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1-x2所围的有界闭区域,且f(x,y,z)在Ω上连续,则 等于 (A) (B)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
高等数学期末试卷 一、填空题(每题2分,共30分) 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是. 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ,则=)(x f . 解. 62 -x 3.________________sin lim =-∞→x x x x 答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ,则=a _____,=b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ,则=a _____,=b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =。 解:由)(x f 是分段函数,0=x 是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的, 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的,故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +
1.填空题 1、当0→x 时,x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时,积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+,则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(,则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时,x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当,则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时,积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=,则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(,则=')(t f .
9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题(每小题2分,共10分) 1、函数x x y -=3ln 的定义域为(B ) A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处(C ) A 不连续 ; B 可导; C 连续但不可导; D 无定义 4、下列式子中,正确的是(B ) A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=,则(ln )f x dx x =? _C______. A . 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题(每小题2分,共10分) 1.函数241)(x x x f -+=的定义域为( C ). A .]2,2[-; B. )2,2(-; C. ]2,0()0,2[ -; D. ),2[+∞. 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义,且)0()0(00+=-x f x f ,则(B ). A )(x f 在0x 处有极限,但不连续; B )(x f 在0x 处有极限,但不一定连续;
高等数学试题及答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、2arctan 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、C bx bx x +-sin cos B )、C bx bx x +-cos cos
《高等数学》练习测试题库及答案 一.选择题 1.函数y= 1 1 2+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999 B .23 ,32,45,5 4 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的( ) A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( ) A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散 D .两收敛数列之和必收敛 6.=--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/2 7.设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6
8.当x 1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是() A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的() A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= () A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为() A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为() A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是() A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 D、在点x0必不连续
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一.判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二.填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x .
一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x = - 。 3. 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4. 1 1 dx =? 。 5. 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π,上的最大值为 6 π +。 6. 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分) 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +=? ?+≥? ,则0x =是()f x 的 D 。 A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点 2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。 A .是等价无穷小与x x f )( B .同阶但非等价无穷小与x x f )( C .高阶的无穷小是比x x f )( D .低阶的无穷小是比x x f )(
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名: 学号: 3. 1 +∞=? C 。 A .不存在 B .0 C .2π D .π 4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0 lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。 A .(0)f 是()f x 的极大值 B .(0)f 是()f x 的极小值 C .(0)f 不是()f x 的极值 D .(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A .1 B .2 C .3 D .4 6. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点? A 。 A .32a =- ,92b = B. 32a =,9 2b =- C .32a =- ,92b =- D. 32a =,92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题(共7小题,其中第1~5题每小题6分, 第6~7题每小题8分,共46分) 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解:()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= (3分) t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = (6分)
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《高等数学》练习测试题库及答案 一.选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A . ,,, B . 23 ,32,45,54 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的( ) A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( ) A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散 D .两收敛数列之和必收敛 6.=--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) .0 C 2 7.设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( ) 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )
A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= () A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为() A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为() A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续,g(x)在点x 不连续,则下列结论成立是() A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b 14、设 满足() A、a>0,b>0 B、a>0,b<0 C、a<0,b>0 D、a<0,b<0 15、若函数f(x)在点x 0连续,则下列复合函数在x 也连续的有() A、 B、
一、单项选择题1.0 lim ()x x f x A →=,则必有( ).(A )()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界. (C) ()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界. 2.函数???≥+<=0 )(x x a x e x f x ,要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1. 3.若()()F x f x '= ,则()dF x =?( ).(A )()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C + 4.方程 4 10x x --=至少有一根的区间是( ).(A ) 10,2?? ???. (B )1,12?? ??? . (C )(2,3). (D )(1,2). 二、填空题1. 设 ()f x 在0x x =处可导,则0 lim x x y →?= . 2. 某需求曲线为1002000Q P =-+,则当10P =时的弹性为 . 3. 曲线3267y x x =+-在0x =处的法线方程为 .4. 2 sin 2x t d e dt dx ?= . 三、求下列极限(1)2211lim 21x x x x →---.(2)1lim(1)2x x x →∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x x x →+. 四、求下列导数和微分(1)已知3cos x y x =, 求dy . (2)求由方程l n2xy y e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx . 五、求下列积分(1) 2 21(sec )1x dx x ++? .(2 )20 ? . (3) sin ?. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值. 七、 求由直线2y x =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积. 八、证明:当0x >时,(1)l n (1)x x x ++>. 九、某种商品的成本函数2 3()200030.010.0002c x x x x =+++(单位:元) ,求生产100件产品时的平均成本和边际成本. 一、 A . B . D . D . 二、(1)0. (2)-1. (3)0x =. (4)] 2 sin cos x e x ?. 三、求极限(1)解:原式=11(1)(1)12lim lim (21)(1)213 x x x x x x x x →→-++==+-+ (2)解:原式= 111 222220011lim[(1)][lim(1)]22x x x x e x x -----→→-=-= (3)解:这是未定型,由洛必达法则原式=00cos 22 lim lim2(1)cos 221 1 x x x x x x →→?=+=+ 四、求导数和微分(1)解:2 3l n3c os 3sin (c os )x x x x y x +'= ,2 3ln3cos 3sin (cos ) x x x x dy dx x += (2)解:方程两边对x 求导,()xy y e y xy ''=+, 1xy xy ye y xe '= - 五、积分1.原式=2 21sec xdx dx +??=tan arctan x x c ++ 2.原式 =2 20118(4)x --=-=?
华中师大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一.选择题 1.函数y=1 12+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999 B .23,32,45,5 4 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的( ) A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( ) A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散 D .两收敛数列之和必收敛 6.=--→1 )1sin(lim 21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/2 7.设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )
A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是() A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的() A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= () A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为() A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为() A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是() A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续
高等数学(下)模拟试卷一 一、填空题(每空3分,共15分) (1)函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 (2)已知函数 arctan y z x =,则z x ?= ? (3)交换积分次序, 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? = (4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分) (1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?,平面π为4220x y z -+-=,则() A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 (2)设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =() dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域,将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为() 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? (4)已知幂级数,则其收敛半径() 2112 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =() ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =,求z x ??,z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
高等数学第一章测试题 一、单项选择题(20分) 1、当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( )不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是( ). (A ) 1 (B ) e (C ) a e cot (D ) a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( ). (A ) 1 (B ) 0 (C ) e (D ) 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 ( ) (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ,则常数a ,b 的值所组成的数组(a ,b )为( ) (A ) (1,0) (B ) (0,1) (C ) (1,1) (D ) (1,-1) 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ,下列说法正确的是( )。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点,1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点,1个跳跃间断
高等数学试题库 第一章 极限与连续 一.判断题 1-1-1 函数y=1/ln(x+1)的定义域是(-1, ∞).( ) 1-1-2 函数y=lg((1-x)/(1+x))是奇函数.( ) 1-1-3 函数y=x 2+1的反函数是y=(x+1)1/2.( ) 1-1-4 y=arctgx+1010是有界函数.( ) 1-1-5 若()lim x f x →=2 3,则f(2)=3.( ) 1-1-6 若()lim x f x →=23,则f(x)在x=2处连续.( ) 1-1-7 若f(x)在x 0无定义,则lim x x →0 f(x)必不存在.( ) 1-1-8 lim sin lim limsin x x x x x x x →→→=?=0100 10.( ) 1-1-9 lim x →1 (1/(1-x)-1/(1-x 3))= lim x →11/(1-x)-lim x →11/(1-x 3)=∞- ∞=0.( ) 1-1-10 lim x →1x/(x-1)= lim x →1x/lim x →1(x-1)= ∞.( ) 1-1-11 lim n →∞(1/n 2+2/n 2+3/n 2+…+n/n 2)=0+0+0+…+0=0.( ) 1-1-12 若f(x 0-0)=f(x 0+0),则f(x)在x 0连续.( ) 1-1-13 方程x ·2x =1至少有一个小于1的正数根.( ) 1-1-14 若f(x)在闭区间[a ,b]上不连续,则f(x)在闭区间[a ,b]上必无最大值和最小 值.( ) 二.填空题 1-2-1 lim x →4 (x 2-5x+4)/(x-4)=________. 1-2-2 lim x x x →+--42134 =________. 1-2-3 lim n →∞ (1+2+3+…+n)/n 2=________. 1-2-4 lim x →0x 2/(1-cosx)=________. 1-2-5 lim n →∞ n[ln(1+n)-ln(n)]=________. 1-2-6 设f(x)= sin ,, x x x 222+≠=???ππ ,则lim x →πf(x)=________. 1-2-7 当a=________时,函数f(x)= a x x x x x x ++≤>???21030,sin , ,在x=0处连续. 1-2-8 函数 f(x)= (x-1)/(x 2+x-2) 的间断点是____. 1-2-9 已知极限lim x →3 (x 2-2x+k)/(x-3) 存在(k 为实数),则此极限值是________.
高等数学入学测试复习题 一、 填空题 1、 函数ln(3)y x =-的定义域是 。 2、 函数4 y x = -的定义域是 。 3、设2(1)1f x x +=+,则=)(x f 。 4、若函数2 (1),0(),0x x x f x k x ??+≠=??=? 在0x =处连续,则k = 。 5、函数ln(1) 3 x y x -=+的连续区间为 。 6、曲线ln y x =上横坐标为2x =的点处的切线方程为 。 7、设2()1f x x =-,则='))((x f f 。 8、(判断单调性、凹凸性)曲线32 1233y x x x =-+在区间()2,3内是 。 9、已知()()F x f x '=,则2(2)xf x dx +=? 。 10、设()()F x f x '=,则 (ln ) f x dx x =? 。 11、设()f x 的一个原函数是2x e -, 则()f x '= 。 12、 131 (1cos )x x dx -+=? 。 13、 2 0sin x d t dt dx ?= 。 14、() 03 cos 2x d t t dt dx =?。 二、 单项选择题 1、下列函数中,其图像关于y 轴对称的是( )。 A .cos x e x B .x x +-11ln C .2 sin(1)x + D .)3cos(+x 2、下列函数中( )不是奇函数。 A .x x e e --; B . x x cos sin ; C .( ln x ; D . sin(1)x - 3、下列函数中( )的图像关于坐标原点对称。
A .x ln B . cos x C .2sin x x D . x a 4、当1x →时,( )为无穷小量。 A .cos(1)x - B .1 sin 1 x - C .211x x -- D .ln x 5、下列极限正确的是( )。 A .01lim 0x x e x →-= B . 3311 lim 313x x x →∞-=+ C . sin lim 1x x x →∞= D . 01 lim(1)x x e x →+= 6、设()sin 2f x x =,则0() lim x f x x →=( ) 。 A . 1 ; B . 2 ; C . 0 ; D . 不存在 7、曲线y =(1,2)M 处的法线方程为( )。 A . 1 1(2)2 y x -= - ; B .2(1)y x -=-; C . 22(1)y x -=--; D .2(1)y x -=-- 8、设函数()f x ==)(x df ( )。 A ; B ; C ; D . 9、曲线3 2 391y x x x =--+在区间(1,3)内是( )。 A .上升且凹 B .下降且凹 C .上升且凸 D .下降且凸 10、曲线x y e x =-在(0,)+∞内是( )。 A .上升且凹; B . 上升且凸; C . 下降且凹; D . 下降且凸 11、设)(x f 在点0x x =可微,且0()0f x '=,则下列结论成立的是( )。 A . 0x x =是)(x f 的驻点; B . 0x x =是)(x f 的极大值点 ; C . 0x x =是)(x f 的最大值点; D . 0x x =是)(x f 的极小值点 12、当函数()f x 不恒为0,,a b 为常数时,下列等式不成立的是( )。 A.)())((x f dx x f ='? B. )()(x f dx x f dx d b a =? C. c x f dx x f +='?)()( D. )()()(a f b f x f d b a -=? 13、下列广义积分中( )收敛。
《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin