人教版七年级数学下相交线与平行线教学案科目数学时间学生
第5章-相交线与平行线
1.相交线
同一平面中，两条直线的位置有两种情况：
相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4；
邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；
对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1
的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位
置关系的两个角，互为对顶角；
∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补
角相等，所以∠1＝∠3。
所以，对顶角相等
例题：
1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4
的度数。
2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD
2_______，
127，则∠=
⊥，∠=?
FOB__________。
∠=
C
E
A 2 O B
1
F
D
垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其
中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，
图中AB⊥CD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，
每个直角都是90?。
例题：
如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26?，求∠EOD，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？)
垂线相关的基本性质：
（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？
*线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？
练一练：
一副三角板如图所示放置在一起，则图中∠1的度数是多少？
2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
如上图，直线a与直线b平行，记作a//b
3.同一个平面中的三条直线关系：
三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。
（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成
各个角，可以用角的相关知识解决；
例题：
如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。
（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如
图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。
两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；
两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等
两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
如上图，指出相等的各角和互补的角。
例题：
1.如图，已知∠1＋∠2＝180?，∠3＝180?，求∠4的度数。
2.如图所示，AB//CD，∠A＝135?，∠E＝80?。求∠CDE的度数。
练一练：
1.如图，∠AOB的两边OA和OB均为平面反光镜，∠AOB＝40?，在OB上有一点P，从P点射出一条光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是多少？
2.如图，已知AB//EF，BC⊥CD，∠ABC＝30?，∠DEF＝45?，则∠CDE等于多少度？写出求解过程。
3.如图，已知AB//CD，直线EF分别交AB，CD于E,F，∠BEF的平分线与∠DEF 的角平分线交于点P，求证：∠P＝90?。
平行线判定定理：
两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5
＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就
可以说AB//CD
平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
如图所示，只要满足∠5+∠2＝180?（或者∠6+∠4
＝180?），就可以说AB//CD
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行
这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90?就可以得到。
例题：
1.已知：AB//CD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC，求证：DA//BC
A
B1
2D
C
3
4
2.已知：AF 、BD 、CE 都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，且∠=∠
12，∠=∠C D ，求证：∠=∠
A F 。
D E
F 3
1
24
A B C
练一练：
1.已知：如图，AB//CE ，∠=?∠=?A B 6045，，求：∠ACD 的度数。
A B C E
D
2
1
2.如图，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED=80°，求∠EDC 的度数.
3.如图，已知AB ∥CD ，∠B=65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN=90°，求∠DCN 的度数.
（3）有三个交点
当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：
你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？
三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。
（4）没有交点：
这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：
即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。
例题：
如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD 有怎样的位置关系，为什么？
练习：
1.如图，∠1=1
2
∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数.
2.如图，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数.
3.根据下列证明过程填空：
如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，且∠1=∠4，求证：∠ADG=∠C
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC( )
∴∠2=∠3=90°
∴BD∥EF( )
∴∠4=_____( )
∵∠1=∠4( )
∴∠1=_____( )
∴DG∥BC( )
∴∠ADG=∠C( )
4.阅读下面的证明过程，指出其错误.
已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A作DE∥BC，且使∠1=∠C
∵DE∥BC(画图)
∴∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠C(画图)
∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3=180°
即∠BAC+∠B+∠C=180°
5.已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，
求证：DA⊥AB.