余切正割余割的图象和
性质
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
曹振卿一、余切:
余切函数的性质
(1)、定义域:{x|x≠kπ,k∈Z}
(2)、值域:实数集R当x→2kπ时,y→∞;当x→(2k+1)π时,y→-∞;
(3)、奇偶性:奇函数,可由诱导公式cot(-x)=-cotx推出
图像关于原点对称,实际上所有的零点都是它的对称中心
(4)、周期性是周期函数,周期为kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期T=π;
(5)、单调性在每一个开区间(kπ,(k+1)π),k∈Z上都是减函数,在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性中心对称:关于点(kπ/2,0)k∈Z中心对称
二、正割余割:
粗线是正割函数,细线是余割函数
y=secx的性质:
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,|secx|≥1.即secx≥1或secx≤-1;
(3)y=secx是偶函数,即sec(-x)=secx.图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数.周期为2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期T=2π.(5)正割与余弦互为倒数;余割与正弦互为倒数;
(6)正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ;
(7)正割函数是无界函数;
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质,研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现,更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似,我采用以提问的方式,让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法,进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生,采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样,不仅发挥了学生的能动性,增强动脑、动手绘图的能力。二.学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究,学生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。但在画正切函数图象时,还有许多需要注意的地方,比如定义域,函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三.教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数,三者在研究方法与研究内容上类似,但某些性质有所不同,这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念,养成学生对知识的勇于探索精神,学生亲自体会正切曲线的获得过程,这样学生的动手实践能力有了提高,又体会到学习数学的乐趣,根据教学要求及学生现有的认知水平,现制定以下教学目标: 1.知识目标: 1)、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2)、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3)、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标: 1)、通过类比,联系正弦函数图像的作法 2)、能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标: 使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点:正切函数的图象及其主要性质。 难点:熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式:启发、探究式发现教学. 四.流程设计 (一).复习引入: (1)问题:如何用正弦线作正弦函数图像呢? (2)类比:利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数)y =C(其中C 为常数); α
1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 3.(选,补充)指数函数值的大小比较* N ∈a ; a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 课题:正切函数的图像与性质 教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本)第六章第二节 授课教师: 教学目标 (1)理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质. (2)在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. (3)在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 教学重点 掌握正切函数的基本性质. 教学难点 正切函数的单调性及证明. 教学方法 教师启发讲授,学生积极探究. 教学手段 计算机辅助. 教学过程 一、 设置疑问,引入新课 1、正切函数的定义 有同学,类比正弦函数、余弦函数的定义,定义了一个正切函数: 对于任意一个实数x ,都有唯一确定的值tan x 与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为tan y x =,叫做正切函数. 大家认为这个定义是否完善? 强调:,2 x k k Z π π≠+ ∈. (设计意图:,2 x k k Z π π≠+∈,是学生容易出错的地方,通过学生之间的自我纠错,理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =(,2 x k k Z π π≠+∈)的图像与性质. 2、作函数图像的常用的方法是什么? (1)描点法是作函数图像最基本的方法; (2)利用基本初等函数图像的变换作图. 大家认为应该选择哪种方法呢? 学生的回答会选择(1). 教师引导:描点应该结合函数的性质,描关键点、特殊点. 所以,首先研究函数的基本性质. 二、 主动探究,解决问题 (一)利用定义,研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域:|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? . 学生可以迅速解决. 2、 值域:R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习. 复习正切线: 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中. 3、 奇偶性:奇函数. 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断. 问:该函数是偶函数吗? 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ) ,(∞+0 必过点 )(b ,0 ) ,(c 0 ) 1,(1,--k k ) ( ) (1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞,(为减 ),2+∞-a b (为增 )为减,(0-∞)为减,(∞+0 为减 为增,101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数,00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称, 函数图像关于直线任何一点对称;关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称; 对称。 直线和关于 对称,直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且>0>a >a 0 >k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ),(),(∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+,0 [)∞+,0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+,0 (][) ∞+∞,,ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 )(0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- )( ) ,(,a b b a b a --)( 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。,, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减,,递减,递增,,???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ,],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ,无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ) (00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 1 正切函数的图象与性质(习题) ? 例题示范 例1:已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?, ,,则( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >> 思路分析: 观察33°,55°,35°之间的关系,利用三角函数在区间[090]??, 上的单调性,选择合适的公式化简,转化为可比较的函数值. 由诱导公式可得, cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?, ∵sin y x =在区间[090]??,上单调递增,且sin 33a =?, ∴b a >, ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ,且0cos351<, ∴tan35sin35c b =?>?=, ∴c b a >>,故选C . 例2:函数23()sin cos 4f x x x =++,2π[0]3 x ∈,的值域是( ) A .[12], B .[]44-, C .[1]4 -, D .[2]4-, 思路分析: 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意, 设cos t x =,2π[0]3x ∈,,由余弦函数的单调性得,12 1t -≤≤, 则原函数可化为27()4f x t t =-++,12 1t -≤≤, 由二次函数性质得,()[12]f x ∈,,故选A . ? 巩固练习 A .2 π B .π C .2π D .4π C .(1)(0)(1)f f f >>- D .(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是( ) A .()tan(π)f x x =+ B .π()sin()2f x x =- C .()cos(3π)f x x =- D .π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+,2()=cos g x x x +,则( ) A .()f x 与()g x 都是奇函数 B .()f x 与()g x 都是偶函数 C .()f x 是奇函数,()g x 是偶函数 D .()f x 是偶函数,()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在( ) A .[]22 ππ-,上是增函数 B .[0]π,上是减函数 C .[0]-π,上是减函数 D .[]-ππ,上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是( ) A .[]44 ππ-, B .[]44π3π, 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c (其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; 1. 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =, 2π π+ ≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ; 正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1.正切函数、余切函数的图象与性质 2.反三角函数的图象与性质 3.已知三角函数值求角 [目的要求] 1.类比正、余弦函数的研究,讨论正切函数与余切函数的图象和性质,关注其不同点. 2.从反函数概念入手,引入反三角函数定义,并定性讨论其图象和性质. 3.能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4.能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1.正切函数图象与性质2.已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知,在中学阶段,对一个函数的认识,多是“由图识性”.因此,可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法,有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似,我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线,来作正切函数在区间上的简图,不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象,如何选择“三点”及“两线”呢?请大家看余切函数的图象,不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心,奇函数(k∈Z) 20 对称轴;无10 对称中心,奇函数(k∈Z) 20 对称轴;无 注: 1、由定义域知,y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点(不连续点). 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题,但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应,要使其有反函数,必须缩小自变量x的范围,使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言,这个x的范围应该(1)离原点较近;(2)包含所有的锐角;(3)能取到所有的函数值;(4)最好是连续区间.从这个原则出发,我们给出如下定义: 1.y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1],称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1],称为反余弦函数. y=tanx,x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R,称为反正切函数. y=cotx,x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R,称为反余切函数. 2.反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系,可作出其图象. 注:(1)y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 (2)y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是(1,0)和(-1,π). (3)y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. (4)y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象,有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1,1]上单增在[-1,1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心(0,0)奇函数 20对称轴;无10对称中心非奇非偶 20对称轴;无10对称中心 (0,0)奇函数 20对称轴;无10对称中心非奇非偶 20对称轴;无周期性无无无无 另外: 1.三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2.反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1]) 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题: 1.函数y =sin x 2+cos x 是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .既不是奇函数也不是偶函数 2.下列关系式中正确的是( ) A .sin11°<cos10°<sin168° B .sin168°<sin11°<cos10° C .sin11°<sin168°<cos10° D .sin168°<cos10°<sin11° 3.已知函数f (x )=sin ????x -π 2(x ∈R ),下面结论错误的是( ) A .函数f (x )的最小正周期为2π B .函数f (x )在区间????0,π 2上是增函数 C .函数f (x )的图像关于直线x =0对称 D .函数f (x )的奇函数 4.设a =12log sin81o ,b =12log sin 25o ,c =12 log cos25°,则它们的大小关系为( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c 5.函数y = lncos x ????-π2<x <π 2的图像是( ) A . B C . D. 6.当-π2<x <π 2时,函数y =tan|x |的图像( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .不是对称图形 7.函数y =tan(sin x )的值域为( ) D .以上均不对 8.若直线y =3与函数y =tan ωx (ω>0)的图像相交,则相邻两交点的距离是( ) A .π 二、填空题 9.函数y =cos x 在区间[-π,a ]上为增函数,则a 的范围是__________. 10.函数y =1+2sin x 的最大值是__________,此时自变量x 的取值集合是__________. 11.函数y =sin 2x -cos x 的值域是__________. 12.函数y =3sin ????2x +π6的单调递减区间是__________. 13.已知f (n )=sin n π4(n ∈Z ),则f (1)+f (2)+…+f (100)=__________. 14.若关于x 的方程cos 2x -sin x +a =0有解,则a 的取值范围是__________. 15.如果函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图像与直线y =k 有且仅有三个不同的交点,那么k 的取值范围是__________. 16.关于三角函数的图像,有下列命题: ①y =sin|x |与y =sin x 的图像关于y 轴对称; ②y =cos(-x )与y =cos|x |的图像相同; ③y =|sin x |与y =sin(-x )的图像关于x 轴对称; ④y =cos x 与y =cos(-x )的图像关于y 轴对称. 其中正确命题的序号是__________. 三、解答题: 17.判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=sin ????2x +3π2; (2)f (x )=sin x 1-sin x 1-sin x 18.作出下列函数的图像: (1)y =tan|x |; (2)y =|tan x |. 19、求函数f (x )=13log tan ??? ?2x +π3的单调递减区间. 一、一次函数与二次函数 (一)一次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递 增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b x a =- 时,2max 4()4ac b f x a -=. 二、幂函数 (1)幂函数的定义 叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2 正切函数和余切函数的 图像和性质 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】 正切函数和余切函数的图像和性质知识点: 1.正切函数和余切函数的概念; 2.正切函数与余切函数的图像和性质; 3.正切函数与余切函数性质的应用; 教学过程: 1.正切函数和余切函数的概念: (1)正切函数---形如tan =的函数称为正切函数; y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数; y x 2.函数的图像和性质: (1)正切函数的图像: 见正切函数图像课件。 (2)正切函数图像: (3)与切函数的图像: 归纳填表格: 例1.求下列函数的周期: (1)tan(3)3 y x π =-+; (2)221tgx y tg x =+ ; (3)cot tan y x x =-; (4)2 2tan 21tan 2 x y x =-; (5)sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间: (1)tan(2)24 y x π =++; (2)tan()123 x y π=-+-; (3)12log cot y x ?= ?? 例3.求下列函数的定义域: (1)tan 4y x π??=- ??? ; (2)y = (3)y = 例4.(1)求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域; (2)解不等式:23tan (2)(3tan(2)044 x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-,当1[0,],[0,]34 x a π∈∈时,函数max y =a 的值; 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈,若1212,(0,),2 x x x x π∈≠。 求证:1212()()()22f x f x x x f ++>。《正切函数的图像与性质》 教案及说明
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