因式分解的常见变形技巧
在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后，这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。需要说明的是，要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。
技巧一符号变换
有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。
体验题1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津y-x= -(x-y)
体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)
小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。
实践题1分解因式：-a2-2ab-b2
技巧二系数变换
有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。
体验题2分解因式4x2-12xy+9y2
体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2
小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。
实践题2分解因式
2
2
1
439
xy y
x++
技巧三指数变换
有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3分解因式x4-y4
指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。
体验过程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)
小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。
实践题3分解因式a4-2a4b4+b4
有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。
体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。
体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)
小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题4x(x-1)-y(y-1)
技巧五拆项变换
有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。
体验题5 分解因式3a3-4a+1
指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a
试试。
体验过程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)[3a(a+1)-1] =(a-1)(3a2+3a-1)
另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。
原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)
=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)
小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题5分解因式3a3+5a2-2
有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。
体验题6分解因式x2+4x-12
指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。
体验过程原式= x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2) 小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。
实践题6分解因式x2-6x+8 实践题7分解因式a4+4
技巧七换元变换
有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。
体验题7分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。
体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*
令x2+5x=m.
上式变形为(m+4)(m+6)+1
m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2
*式也可以这样变形，令x2+5x+4=m
原式可变为：
m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2
小结换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项x2+5x.，换元法实际上是用
的整体的观点来看问题。
实践题8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
实践题答案
实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2
实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.
原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2
实践题2 分解因式2
21439
xy y x ++ 实践详解 原式=(2x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2=(2x +3
y )2
实践题3 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4
指点迷津 把a 4看成(a 2)2，b 4=(b 2)2
实践详解 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2
实践题4 x(x-1)-y(y-1)
指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：x 2-x-y 2+y 。然后重新分组。 实践详解 原式= x 2-x-y 2+y =(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)
实践题5 分解因式 3a 3+5a 2-2
指点迷津 三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a 2后。下一步没
法进行了。所以我们将5a 2拆成3a 2 +2a 2,化为 3a 3+3a 2+2a 2-2.
实践详解 原式=3a 3+3a 2+2a 2-2 =3a 2(a+1)+2(a 2-1)
=3a 2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a 2+2a-2)
实践题6 分解因式x 2-6x+8
实践详解 原式=x 2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)
实践题7 分解因式a 4+4
原式=a 4+4a 2+4-4a 2=(a 2+2)2-4a 2=(a 2+2+2a)(a 2+2-2a)=(a 2+2a+2)(a 2-2a+2)
实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
指点迷津 将x(x+5)结合在一起，将(x+2)(x+3)结合在一起..
实践详解 原式=[x(x+5)][(x+2)(x+3)]+9 =(x 2+5x)(x 2+5x+6)+9
令x 2+5x=m
上式可变形为m(m+6)+9=m 2+6m+9=(m+3)2=(x 2+5x+3)2