天津工业大学（2005—2006学年第一学期）
《高等数学》期中试卷
一. 填空：
1. 求thx y =的反函数___________；并求其定义域 .
2. ??
????+-+∞→)11ln(sin )31ln(sin lim x x x x = . 3. 已知函数)0(21
>=x x y x ，则函数的导函数='y .
4. 已知()22='f ，则极限 h
h 20→ .
5. 函数)1l n (
)(x x f +=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为： .
二．单项选择题:
1. 设 ?????=≠=0001sin )(21x x x x x f ， ，，则)(x f 在0=x 处)(
A ．可导 B. 连续但不可导 C. 导函数连续 D. 左可导而右不可导
2. 01ln cos lim 0=--→x
x a x ,则其中)(
=a A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
π 3. 设??
???≤>-=0,)(0,cos 1)(2x x g x x x
x x f ,其中g x ()是有界函数,则f x ()在x =0处( ). A. 极限不存在 B. 极限存在, 但不连续 C. 连续, 但不可导 D. 可导
4. 极限)(11lim 1131=---→x x e x x .
A ．不存在也不是∞; B. 0; C. 2; D. ∞. 三. 计算下列各题:
1. 计算极限131)
1()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x . 2. 研究极限x
x 1cot
arc lim 0→的存在性.
3. 设??
???=≠≠+-++=1221)2)(1()(4x x x x x b ax x x f ， ，，，问a 、b 为何值时，)(x f 在1=x 处连续. 4. 求x
x x f 11
arctan )(-=的间断点，并判断其类型. 5. 设324)3(2)1(---=x x x y ，求y '.
6. 设函数)(x y y =由方程622ln x y y =+所确定，求dy .
7. 设?
??-=-=)1()(3t e f y t f x π，其中f 二阶可导，且0)0(',0)0(≠=f f ，求 0=t dx dy 和曲线过点)))0(,(f π-的切线方程.
8. 设曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，试求)2(lim n
nf n ∞→. 四. 解下列各题:
1. 设)(x f y =对一切实数x 有x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2恒成立；若函数)(x f 在
)0(≠=c c x 处取得极值，试问,)(x f 在c 处取得极大值还是极小值，为什么？
2.对函数x x f arctan )(=在]1,0[上验证拉格朗日中值定理的正确性.
3.设)(x f 对一切y x ,满足)()()(y f e x f e y x f x y -+=+，且)(x f 在0=x 处连续，求
证：)(x f 在任意点x 处连续.
五. 设函数)(x f 在闭区间[])(,b a b a <上连续，在开区间),(b a 内二阶可导，过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =交于点).())(,(b c a c f c C << 证明：至少存在一点),,(b a ∈ξ 使得.0)(=''ξf
六. 设)20(1，∈a ，2
12n n n a a a -=+（ ，，21=n ），试证数列{}n a 收敛，并求极限n n a ∞
→lim .