汕头市金山中学2021届高三第一学期期中考试
数 学
第I 卷（选择题共60分）
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合204x A x
x ??
+=≤??-??
，{}0,1,2,4,8B =，则A B =（ ）
A ．{}1,2,4,8
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2,4
2．已知直线m ?平面α，则“l m ⊥”是“直线l ⊥平面α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知i 为虚数单位，若复数()12i
z a R a i
+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A ．
5 B ．3 C ．5
D ． 22
4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、
，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒
珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨1粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为素数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A ．
16
B ．
12
C ．
23
D ．
13
5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，并且当[]0,1x ∈时，()21x
f x =-，则()2lo
g 10f 的值为（ ） A ．25
-
B ．
2
5 C ．35
D ．35
6．已知1
tan 4tan θθ
+
=，则2cos ()4πθ+=（ ）
A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
7．已知三棱锥P ABC -中，23
APB ∠=π
，PA PB ==5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥
平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．16π
B ．24π
C ． 28π
D ．32π
8．对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()
00,M x f x ，()()00,N x g x --是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点” ．已知函数()()1f x m x =+，
()ln x
g x x
=
，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0-
B ．(),1-∞-
C ．()
()0,11,+∞ D ．()(),11,0-∞--
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．已知函数()sin()f x x ω?=+（0>ω，||2
π
?<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为
4
π
，将函数()y f x =的图象向左平移316
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）
A ．关于点(,0)16π-
对称 B ．关于点(,0)16
π
对称 C ．关于直线16
x π=-对称
D ．关于直线4π
x =-对称 10．在ABC ?中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ）
A ．
sin sin sin +=
+a b c
A B C
B ．若A
B >，则sin 2sin 2A B >
C ． cos cos c a B b A =+
D ．若0=????? ??+BC AC AC AB AB ，且???
?
??+AC AC AB AB
12=，则ABC ?为等边三角形 11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ,并满足条件11a >，
201920201a a >，
201920201
01
a a -<-，下列结论正确的是( )
A ．20192020S S <
B ．2019202110a a -<
C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值
D ．数列{}n T 无最大值
12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==， O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 所成的角的正切值为5
B ．无论点P 在1B
C 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且11
3
PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°
第II 卷(非选择题共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 41
()(1)x x x
--的展开式中3x 的系数为 ．
14．在Rt ABC ?中，4AB =，2AC =，P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，则AP AO ?的值为 ．
15．已知0x >，1y >-，且1x y +=，则22
31
x y x y +++最小值为__________． 16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22
221x y m n
Ω-=：共焦点，12F F 、分别为左、右焦点，曲线Γ
与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1. 若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2
cos 3
A =，2
B A =，8b =. （1）求边长a ；
（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长． 18．(本小题满分12分）
已知递增等比数列{}n a 满足：142318,32a a a a +=?=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
21322
n S n n =+，记()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-?-..
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．(本小题满分12分）
为了解高三年级学生暑假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]
2,4的有8人．
（1）求直方图中a 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]
10,12的人数；
（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k ，求k 的分布列和数学期望()E k ． 20．(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面， AD AB ⊥，//AB CD ，
2AD DC AP ===，1AB =．点E 为棱PC 的中点．
（1）证明：PD ⊥平面ABE ；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角
F AB D --的余弦值．
21．(本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，点(,)a Q b b 在椭圆上，O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P M N 、、为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明：四边形
OPMN 的面积S 为定值，并求该定值.
22．(本小题满分12分）
已知函数()2
2ln f x x ax x =++（a 为常数）．
（1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且123
2
x x -≤，求()()12f x f x -的最大值．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
B
A
D
C
B
C
D
BC
ACD
AB
ABD
13、5 14、
183 15、 2+3 16、1+52
12、【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==
选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示
即有EP ⊥面111A B C
∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：11tan EP
PA E A E
∠=
∵112EP BB =
，221111152
A E A
B B E BB =+= ∴15
tan 5
PA E ∠=
，故A 正确 选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示
由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥
而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ?面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又11
11A B B C B =
∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ?面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ?=
∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ?面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确 选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中线
∴Q 为中线的交点重心
∴根据重心的性质有：
1
1
2
PQ QA =，故C 错误 选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时
当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23
arctan arctan 302>=? ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD
17．【解析】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =
,
得sin A ==分
所以2sin sin 22sin cos 23B A A A ====
分 由正弦定理
sin sin a b A B
=
,可得sin 6sin b A
a B ==.…………5分 （2）2
2
21
cos cos 22cos 12()13
9
B A A ==-=?-=-
,…………6分 在ABC ?中,()22
cos cos sin sin cos cos 27
C A B A B A B =-+=-= …………8分 在ACM ?中,由余弦定理得：222
3052cos 9
AM AC CM AC CM C =+-??=…………9分 所以
,AM =
…………10分 18．【解析】（1）
2314a a a a =??，14,a a ∴方程218320x x -+=的两根，
41a a >又
，所以142,16a a == …………2分 3
4
1
82a q q a ∴=
=∴= 112n n n a a q -∴=?=…………3分
当2n ≥时，()()22111112223213n n n b S S n n n n n -??
=-=
+--+-=+????
…………5分 111,2n b S ===又
时符合，所以1n b n =+ …………6分
（2）()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-?-()()112
21
2223n n n n n +++-=????-+-+???? ()
()
1211
2223n n n n ++=
-
-+-+，…………10分
所以
()
()
2334
121111
11
23242425
2223n n n T n n ++=
-+-++
-
-----+-+()22
112323+=
---+n n .21123
n n +=---…………12分 19．【解析】
（I ） 由直方图知，()0.150.1250.10.087521a ++++?=，解得0.0375a =…………2分 因为甲班学习时间在区间[]
2,4的有8人， 所以甲班的学生人数为
8
400.2
=，所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]
10,12的人数为400.03753?=（人）．…………4分 （II ）乙班学习时间在区间(]
10,12的人数为400.0524??=（人）． 由⑴知甲班学习时间在区间(]
10,12的人数为3人，…………5分
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0，1，2，3．…………6分
()0434471
035C C P k C ===，()13
344
712135
C C P k C ===， ()22344718
235C C P k C ===，()31344
74335
C C P k C ===． …………10分 所以随机变量k 的分布列为：
11218412
()0123353535357
E k =?
+?+?+?=．…………12分 20．【解析】解：依题意，以点A 为原点，以AB AD AP 、、为轴建立空间直角坐标系如图， 可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P
由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ， （1）向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-
故0BE PD ?=，BE PD ∴⊥，又AB ⊥面PAD ，PD ?面PAD ．所以AB ⊥PD ． 又因为AB
面ABE ，BE ?面ABE ，AB
BE B =，
所以PD ⊥面ABE ……………………5分 （2）()()()()1,2,0,2,2,2,2,2,0,1,0,0BC CP AC AB ==--== 由点F 在棱PC 上，设,01CF CP λλ=≤≤
故(12,22,2)BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=-- 由BF AC ⊥，得0BF AC ?= 因此()()2122220λλ-+-=，3
4
λ∴= …………7分 即113,,222BF ??
=-
??
?…………8分 设1(,,)n x y z =为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF ??=???=??，即0113
02
22x x y z =??
?-++=?? 不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =-为平面FAB 的一个法向量，…………10分 取平面ABD 的法向量2(0,0,1)n =，则12121210cos ,10
||||10n n n n n n ???===?
因为二面角F AB D --的平面角为锐角 所以二面角F AB D --的余弦值为
10
10
…………12分 21．【解析】（1）由22
21
2
c e a ==，得2212b a =，……………………1分
将Q 代入椭圆C 的方程可得24b =，所以28a =，……………………3分
故椭圆C 的方程为22
184
x y +=．……………………4分
（2）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN
方程为：x =
x =
从而有PN =
所以11
22
S PN OM =
?=?=……………………5分 当直线PN 的斜率k 存在时，
设直线PN 方程为：()0y kx m m =+≠，()11P x y ，，()22N x y ，． 将PN 的方程代入C 整理得：(
)2
2
2124280k
x
kmx m +++-=，
所以122412km x x k -+=+，212228
12m x x k -?=+，
()12122
2212m
y y k x x m k
+=++=
+， ……………………7分 由OM OP ON =+得：22421212km m M k k -??
?++??
，，……………………8分
将M 点坐标代入椭圆C 方程得：2212m k =+．……………………9分 点O 到直线PN
的距离d =
12PN x =-，
1212S d PN m x x x x =?=?-=-==综上，平行四边形OPMN 的面积S
为定值．……………………12分 22．【解析】（1）∵()2
2ln f x x ax x =++，()0,x ∈+∞，………………1分
∴()2222
2x ax f x x a x x
='++=++．
设()2
22g x x ax =++，()0,x ∈+∞，
∵()f x 是定义域上的单调函数，函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，
∴()0f x '≥在定义域上恒成立，即()2
220g x x ax =++≥在()0,+∞上恒成立……2分
又二次函数图象的对称轴为4
a
x =-
，且图象过定点()0,2， ∴04a -≤， 或204
160
a a ?
->????=-≤?，………………3分 解得4a ≥-. ∴实数a 的取值范围为[
)4,-+∞．………………4分 （2）由（1）知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足2220x ax ++=， ∴12121,2
a
x x x x ?=+=-．………………5分 不妨设1201x x <<<，
则()f x 在()12,x x 上是减函数，故()()12f x f x >，………………6分 ∴()()()()1212f x f x f x f x -=-()
2
2
1112222ln 2ln x ax x x ax x =++-++
()221121222ln
x x x a x x x =-+-+()()2211212122
22ln x x x x x x x x =--+-+ 2212122ln
x x x x =-+222222
1
2ln x x x =--．………………8分 令2
2t x =，则1t >，
又122213
2
x x x x -=-
≤，即2222320x x --≤，解得212x <≤，………………9分 故2
214x <≤， ∴14t <≤．
设()12ln (14)h t t t t t =--<≤，则()()2
2211210t h t t t t
-=+-=>'， ∴()h t 在(]
1,4上为增函数． ………………11分
∴()()1515
42ln44ln244h t h ≤=-=-， 即()()1215
4ln24
f x f x -≤-． 所以()()12f x f x -的最大值为15
4ln24
-．………………12分