正态分布

正态分布

1．正态曲线

函数φμ，σ(x )＝1

2πσ

e －（x －μ）

2

2σ2

，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a

b φμ，σ(x)d x ，则

称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和 σ确定，因此正态分布常记作N(μ，

σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．

参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小

的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 3．正态曲线的性质

正态曲线φμ，σ(x )＝1

2πσ

e －（x －μ）

2

2σ2

，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

．

(4)曲线与x 轴之间的面积为 1．

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682__7； P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954__5； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997__3．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )

(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y 轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

设随机变量X ～N (μ，σ2

)，且P (X ≤C )＝P (X ＞C )，则C ＝( ) A ．0 B ．σ C ．－μ D ．μ

答案：D

已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2

)，则P (X ＜3)＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12

答案：D

已知正态分布密度函数为f (x )＝12πe －x

24π，x ∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为

________，标准差为________． 答案：0

2π

探究点1 正态分布密度曲线

如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．

【解】 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1

2π，

所以μ＝20，1

2πσ＝12π

， 所以σ＝ 2.

于是φμ，σ(x )＝1

2π

·e－（x －20）

2

4，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，

方差是σ2

＝(2)2

＝2.

正态密度函数解析式的求法

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x ＝μ，二是最值1

σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析

式．

若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

142π

.求该正态分布的概率密度函数的解析式．

解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0. 由于

12πσ

＝

12π·4

，得σ＝4，

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

φμ，σ(x )＝

1

42πe －x 2

32

，x ∈(－∞，＋∞)． 探究点2 利用正态分布的性质求概率

设X ～N (1，22

)，试求： (1)P (－1＜X ≤3)； (2)P (3＜X ≤5)．

【解】 因为X ～N (1，22

)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)

＝1

2[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝1

2

[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝1

2[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ≈1

2(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.

[变问法]在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝1

2[1－P (－3＜X ≤5)]

＝1

2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝1

2[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ≈1

2

(1－0.954 5)＝0.022 75.

正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.

(2)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )； ②P (X ＜μ－a )＝P (X ≥μ＋a )；

③若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （b ＜X ＜2μ－b ）2

.

1.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2

)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)

＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3

D ．0.2

解析：选C.因为P (ξ<4)＝0.8，所以P (ξ>4)＝0.2. 由题意知图象(如图)的对称轴为直线x ＝2，

P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，

所以P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. 所以P (0<ξ<2)＝1

2

P (0<ξ<4)＝0.3.

2．设随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ

c ＋1＋c －1

2

＝2，

所以c＝2.

答案：2

探究点3 正态分布的实际应用

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.

(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为0.954 5.

(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.682 7.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．

正态曲线的应用及求解策略

解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．

某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？

解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，

由正态分布的性质，可知

正态分布N(4，0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.002 7，

而5.70?(2.5，5.5)，

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．

1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2

2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有

( )

A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2

B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2

D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2

答案：A

2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2

)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954

D ．0.977

解析：选C.由题意可知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2

)，所以图象关于y 轴对称，又

P (ξ>2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2P (ξ>2)＝0.954.

3．设X ～N (5，1)，求P (6

P (3

又因为正态曲线关于直线x ＝5对称， 所以P (3

由对称性知P (3

＝0.135 9.

知识结构

深化拓展

标准正态分布及其性质

(1)标准正态分布：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是f (x )＝1

2π

e －x 2

2，(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为

标准正态曲线． (2)标准正态分布的性质

①标准正态分布N (0，1)在正态分布的研究中占有

[A 基础达标]

1．已知随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，且P (X >1)＝0.5，则实数a 的值为( ) A ．1 B. 3 C ．2

D ．4

解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，所以P (X >a )＝0.5.由P (X >1)＝0.5，可知a ＝1.

2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18π

e

－（x －10）2

8，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )

A ．10与8

B ．10与2

C ．8与10

D ．2与10

解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2

＝4，即σ＝2. 3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 7，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 65 C ．0.158 6

D ．0.158 5

解析：选B.由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，

故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－0.682 7

2

＝0.158 65.

4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32

)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )

(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2

)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%

D ．31.74%

解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，

故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）

2

≈

0.954 5－0.682 7

2

＝0.135 9＝

13.59%，故选B.

5．(2018·洛阳模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (105，102

)，已知P (95≤X ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8

D ．7

解析：选B.因为考试的成绩X 服从正态分布N (105，102

)，所以正态曲线关于x ＝105对称．因为P (95≤X ≤105)＝0.32，所以P (X ≥115)＝1

2×(1－0.32×2)＝0.18.所以该班学生数学成

绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.

6．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (1

2ξ)＝________．

解析：因为ξ～N (2，2)，所以D (ξ)＝2. 所以D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝1

2.

答案：1

2

7．设随机变量X ～N (4，σ2

)，且P (4＜X ＜8)＝0.3，则P (X ＜0)＝________．

解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2. 答案：0.2

8．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2

)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在(0，2)内取值的概率为________． 解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， 故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.

答案：0.8

9．在一次测试中，测试结果X 服从正态分布N (2，σ2

)(σ>0)，若X 在(0，2)内取值的概率为0.2，求：

(1)X 在(0，4)内取值的概率； (2)P (X >4)．

解：(1)由X ～N (2，σ2

)，

对称轴x ＝2，画出示意图，

因为P (0

所以P (04)＝1

2[1－P (0

＝1

2

(1－0.4)＝0.3. 10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X ～N (0，1.52

)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品，求： (1)X 的密度函数；

(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．

解：(1)根据题意，知X ～N (0，1.52

)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x )＝

11.52πe －x 2

4.5

. (2)设Y 表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P (|X |≤1.5)＝P (－1.5≤X ≤1.5)＝0.682 7，

而Y ～B (5，0.682 7)，合格率不小于80%，即Y ≥5×0.8＝4，

所以P (Y ≥4)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 45×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.682 75

≈0.492 9.

[B 能力提升]

11．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f (x )＝

12π

e

－（x －2）

2

2

的图

象，若∫

2

f(x)d x ＝1

3，则P (X >4)＝( )

A.16

B.1

4 C.13

D.12

解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝

1

2πe －（x －2）

2

2

的图象，所以μ＝2，即函数f(x)的图象关于直线x ＝2对称，因为∫

2

f(x )dx ＝1

3，所以

P (0

3，所以P (24)＝12，所以P (X >4)＝12

－P (2

＝12－13＝1

6

.故选A. 12．已知正态分布N (μ，σ2

)的密度曲线是f (x )＝1

2πσ

e －（x －μ）

2

2σ2

，x ∈R 的图象．给出以下四个命题：

①对任意x ∈R，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立；

②如果随机变量X 服从N (μ，σ2

)，且F (x )＝P (X

)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0

其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 解析：如果随机变量X ～N (108，100)， 所以μ＝108，σ2

＝100，即σ＝10，故③错，

又f (μ＋x )＝1

2πσe －（μ＋x －μ）2

2σ2

＝12πσe －x

2

2σ

2， f (μ－x )＝

1

2πσ

e

（μ－x －μ）

2

2σ

2＝1

2πσe －x 2

2σ

2，

故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④. 答案：①②④

13．已知随机变量X ～N (μ，σ2

)，且正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，P (72

解：(1)由于正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.

又P (72

(2)因为P (μ－2σ

P (72

所以P (64

＝1

2[P (64

2

×(0.954 5－0.682 7)

＝0.135 9.

14．(选做题)从某校的一次学科知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：

(2)由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为样本平均数x .

①利用该正态分布，求P (Z >74)；

②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求E (X )．

附：若Z ～N (μ，σ2

)，则P (μ－σ

解：(1)样本平均数x ＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60.

(2)①由(1)可知，Z ～N (60，196)，

故P (Z >74)＝1－P （60－14

2

＝0.158 65.

②由①知，某位同学参加学科知识竞赛的成绩Z 超过74分的概率为0.158 65，依题意可知，

X ～B (20，0.158 65)，所以E (X )＝20×0.158 65＝3.173.

标准正态分布表

标准正态分布表 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

标准正态分布表

4432198653 1.80.964 1 0.964 8 0.965 6 0.966 4 0.967 2 0.967 8 0.968 6 0.969 3 0.970 0.970 6 1.90.971 3 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 0.975 6 0.976 2 0.976 7 20.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.10.982 1 0.982 6 0.983 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.985 0.985 4 0.985 7 2.20.986 1 0.986 4 0.986 8 0.987 1 0.987 4 0.987 8 0.988 1 0.988 4 0.988 7 0.989 2.30.989 3 0.989 6 0.989 8 0.990 1 0.990 4 0.990 6 0.990 9 0.991 1 0.991 3 0.991 6 2.40.991 8 0.992 0.992 2 0.992 5 0.992 7 0.992 9 0.993 1 0.993 2 0.993 4 0.993 6 2.50.993 8 0.994 0.994 1 0.994 3 0.994 5 0.994 6 0.994 8 0.994 9 0.995 1 0.995 2 2.60.995 3 0.995 5 0.995 6 0.995 7 0.995 9 0.996 0.996 1 0.996 2 0.996 3 0.996 4 2.70.996 5 0.996 6 0.996 7 0.996 8 0.996 9 0.997 0.997 1 0.997 2 0.997 3 0.997 4 2.80.997 4 0.997 5 0.997 6 0.997 7 0.997 7 0.997 8 0.997 9 0.997 9 0.998 0.998 1 2.90.998 1 0.998 2 0.998 2 0.998 3 0.998 4 0.998 4 0.998 5 0.998 5 0.998 6 0.998 6 x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 30.998 7 0.999 0.999 3 0.999 5 0.999 7 0.999 8 0.999 8 0.999 9 0.999 9 1.000 正态分布概率表 Φ（ u ） =

(完整版)t分布的概念及表和查表方法.doc

t分布介绍 在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。 t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。 中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体 外文名t -distribution 别称学生 t 分布 学科概率论和统计学相关术语t 检验 目录 1历史 2定义 3扩展 4特征 5置信区间 6计算 历史 在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。 t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。 当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。 学生 t-分布可简称为t 分布。其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。 定义

标准正态分布表

标准正态分布表 x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.500 0 0.504 0 0.508 0 0.512 0 0.516 0 0.519 9 0.523 9 0.527 9 0.531 9 0.535 9 0.1 0.539 8 0.543 8 0.547 8 0.551 7 0.555 7 0.559 6 0.563 6 0.567 5 0.571 4 0.575 3 0.2 0.579 3 0.583 2 0.587 1 0.591 0 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.606 4 0.610 3 0.614 1 0.3 0.617 9 0.621 7 0.625 5 0.629 3 0.633 1 0.636 8 0.640 4 0.644 3 0.648 0 0.651 7 0.4 0.655 4 0.659 1 0.662 8 0.666 4 0.670 0 0.673 6 0.677 2 0.680 8 0.684 4 0.687 9 0.5 0.691 5 0.695 0 0.698 5 0.701 9 0.705 4 0.708 8 0.712 3 0.715 7 0.719 0 0.722 4 0.6 0.725 7 0.729 1 0.732 4 0.735 7 0.738 9 0.742 2 0.745 4 0.748 6 0.751 7 0.754 9 0.7 0.758 0 0.761 1 0.764 2 0.767 3 0.770 3 0.773 4 0.776 4 0.779 4 0.782 3 0.785 2 0.8 0.788 1 0.791 0 0.793 9 0.796 7 0.799 5 0.802 3 0.805 1 0.807 8 0.810 6 0.813 3 0.9 0.815 9 0.818 6 0.821 2 0.823 8 0.826 4 0.828 9 0.835 5 0.834 0 0.836 5 0.838 9 1 0.841 3 0.843 8 0.846 1 0.848 5 0.850 8 0.853 1 0.855 4 0.857 7 0.859 9 0.86 2 1 1.1 0.864 3 0.866 5 0.868 6 0.870 8 0.872 9 0.87 4 9 0.877 0 0.879 0 0.881 0 0.883 0 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 8 0.890 7 0.892 5 0.894 4 0.89 6 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.90 8 2 0.90 9 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 0.926 5 0.927 9 0.929 2 0.930 6 0.931 9 1.5 0.933 2 0.934 5 0.935 7 0.937 0 0.938 2 0.939 4 0.940 6 0.941 8 0.943 0 0.944 1 1.6 0.945 2 0.946 3 0.947 4 0.948 4 0.949 5 0.950 5 0.951 5 0.952 5 0.953 5 0.953 5 1.7 0.955 4 0.956 4 0.957 3 0.958 2 0.959 1 0.959 9 0.960 8 0.961 6 0.962 5 0.963 3 1.8 0.964 1 0.964 8 0.965 6 0.966 4 0.967 2 0.967 8 0.968 6 0.969 3 0.970 0 0.970 6 1.9 0.971 3 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 2 0.976 7 2 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.98 5 0 0.985 4 0.985 7 2.2 0.98 6 1 0.986 4 0.986 8 0.98 7 1 0.987 4 0.987 8 0.988 1 0.988 4 0.988 7 0.98 9 0 2.3 0.989 3 0.989 6 0.989 8 0.990 1 0.990 4 0.990 6 0.990 9 0.991 1 0.991 3 0.991 6 2.4 0.991 8 0.992 0 0.992 2 0.992 5 0.992 7 0.992 9 0.993 1 0.993 2 0.993 4 0.993 6 2.5 0.993 8 0.994 0 0.994 1 0.994 3 0.994 5 0.994 6 0.994 8 0.994 9 0.995 1 0.995 2 2.6 0.995 3 0.995 5 0.995 6 0.995 7 0.995 9 0.996 0 0.996 1 0.996 2 0.996 3 0.996 4 2.7 0.996 5 0.996 6 0.996 7 0.996 8 0.996 9 0.997 0 0.997 1 0.997 2 0.997 3 0.997 4 2.8 0.997 4 0.997 5 0.997 6 0.997 7 0.997 7 0.997 8 0.997 9 0.997 9 0.998 0 0.998 1 2.9 0.998 1 0.998 2 0.998 2 0.998 3 0.998 4 0.998 4 0.998 5 0.998 5 0.998 6 0.998 6 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3 0.998 7 0.999 0 0.999 3 0.999 5 0.999 7 0.999 8 0.999 8 0.999 9 0.999 9 1.000 0

正态分布讲解(含标准表)

2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

标准正态分布

标准正态分布 标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 定义： 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布 特点： 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差：

深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”

标准正态分布查询表

附表1. 标准正态分布表 x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.90.500 0 0.539 8 0.579 3 0.617 9 0.655 4 0.691 5 0.725 7 0.758 0 0.788 1 0.815 9 0.841 3 0.864 3 0.884 9 0.903 2 0.919 2 0.933 2 0.945 2 0.955 4 0.964 1 0.971 3 0.977 2 0.982 1 0.986 1 0.989 3 0.991 8 0.993 8 0.995 3 0.996 5 0.997 4 0.998 1 0.504 0 0.543 8 0.583 2 0.621 7 0.659 1 0.695 0 0.729 1 0.761 1 0.791 0 0.818 6 0.843 8 0.866 5 0.886 9 0.904 9 0.920 7 0.934 5 0.946 3 0.956 4 0.964 8 0.971 9 0.977 8 0.982 6 0.986 4 0.989 6 0.992 0 0.994 0 0.995 5 0.996 6 0.997 5 0.998 2 0.508 0 0.547 8 0.587 1 0.625 5 0.662 8 0.698 5 0.732 4 0.764 2 0.793 9 0.821 2 0.846 1 0.868 6 0.888 8 0.906 6 0.922 2 0.935 7 0.947 4 0.957 3 0.965 6 0.972 6 0.978 3 0.983 0 0.986 8 0.989 8 0.992 2 0.994 1 0.995 6 0.996 7 0.997 6 0.998 2 0.512 0 0.551 7 0.591 0 0.629 3 0.666 4 0.701 9 0.735 7 0.767 3 0.796 7 0.823 8 0.848 5 0.870 8 0.890 7 0.908 2 0.923 6 0.937 0 0.948 4 0.958 2 0.966 4 0.973 2 0.978 8 0.983 4 0.987 1 0.990 1 0.992 5 0.994 3 0.995 7 0.996 8 0.997 7 0.998 3 0.516 0 0.555 7 0.594 8 0.633 1 0.670 0 0.705 4 0.738 9 0.770 3 0.799 5 0.826 4 0.850 8 0.872 9 0.892 5 0.909 9 0.925 1 0.938 2 0.949 5 0.959 1 0.967 2 0.973 8 0.979 3 0.983 8 0.987 4 0.990 4 0.992 7 0.994 5 0.995 9 0.996 9 0.997 7 0.998 4 0.519 9 0.559 6 0.598 7 0.636 8 0.673 6 0.708 8 0.742 2 0.773 4 0.802 3 0.828 9 0.853 1 0.874 9 0.894 4 0.911 5 0.926 5 0.939 4 0.950 5 0.959 9 0.967 8 0.974 4 0.979 8 0.984 2 0.987 8 0.990 6 0.992 9 0.994 6 0.996 0 0.997 0 0.997 8 0.998 4 0.523 9 0.563 6 0.602 6 0.640 4 0.677 2 0.712 3 0.745 4 0.776 4 0.805 1 0.835 5 0.855 4 0.877 0 0.896 2 0.913 1 0.927 9 0.940 6 0.951 5 0.960 8 0.968 6 0.975 0 0.980 3 0.984 6 0.988 1 0.990 9 0.993 1 0.994 8 0.996 1 0.997 1 0.997 9 0.998 5 0.527 9 0.567 5 0.606 4 0.644 3 0.680 8 0.715 7 0.748 6 0.779 4 0.807 8 0.834 0 0.857 7 0.879 0 0.898 0 0.914 7 0.929 2 0.941 8 0.952 5 0.961 6 0.969 3 0.975 6 0.980 8 0.985 0 0.988 4 0.991 1 0.993 2 0.994 9 0.996 2 0.997 2 0.997 9 0.998 5 0.531 9 0.571 4 0.610 3 0.648 0 0.684 4 0.719 0 0.751 7 0.782 3 0.810 6 0.836 5 0.859 9 0.881 0 0.899 7 0.916 2 0.930 6 0.943 0 0.953 5 0.962 5 0.970 0 0.976 2 0.981 2 0.985 4 0.988 7 0.991 3 0.993 4 0.995 1 0.996 3 0.997 3 0.998 0 0.998 6 0.535 9 0.575 3 0.614 1 0.651 7 0.687 9 0.722 4 0.754 9 0.785 2 0.813 3 0.838 9 0.862 1 0.883 0 0.901 5 0.917 7 0.931 9 0.944 1 0.953 5 0.963 3 0.970 6 0.976 7 0.981 7 0.985 7 0.989 0 0.991 6 0.993 6 0.995 2 0.996 4 0.997 4 0.998 1 0.998 6 x0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 30.998 70.999 00.999 30.999 50.999 70.999 80.999 80.999 90.999 9 1.000 0

卡方分布概念及表和查表方法

若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 目录 1简介 2定义 3性质 4概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。

对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。 6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。 概率表 分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在 分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示， 查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。如上图所示的单侧概率(7)=的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率这一列，行列的交叉处即是。 表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在

正态分布

正态分布 1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( ) A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，则P (ξ＞4)＝( ) A.15 B .14 C.13 D .12 3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( ) A ．p 1>p 2 B ．p 1

c )＝p ,则p 的值为( ) A ．0 B ．0.5 C ．1 D ．不确定 9．已知随机变量X ～N (0,σ2)．若P (X >2)＝0.023,则P (－2≤X ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 10．某地区高二女生的体重X (单位:kg)服从正态分布N (50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在50 kg ～65 kg 间的女生共有( ) A ．683人 B ．954人 C ．997人 D ．994人 11．图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________. 12．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ

正态分布分析

正态分布 以平均值为中心呈对称分布的钟形曲线。正态分布是最常见的统计分布，因为许多物理、生物和社会方面的测量值都自然近似于正态。许多统计分析均要求数据来自正态分布总 体。 例如，居住在宾夕法尼亚州的所有成年男性的身高近似于正态分布。因此，大多数男性的身高都将接近于 69 英寸的平均身高。高于和矮于 69 英寸的男性的数量相近。只有一小部分身材特别高或特别矮。 平均值 (μ) 和标准差 (σ) 是定义正态分布的两种参数。平均值是钟形曲线的波峰或中心。标准差决定数据的散布情况。大约有 68% 的观测值与平均值相差不到 +/- 1 个标准差；95% 与平均值相差不到 +/- 2 个标准差；而 99% 的观测值与平均值相差不到 +/- 3 个标准差。 就宾夕法尼亚州男性的身高而言，平均身高为 69 英寸，标准差为 2.5 英寸。 大约68% 的宾夕法尼亚男性身高介于66.5 (μ- 1σ) 和71.5 (μ+ 1σ) 英寸之间。 大约95% 的宾夕法尼亚男性身高介于64 (μ- 2σ) 和74 (μ+ 2σ) 英寸之间。 大约99% 的宾夕法尼亚男性身高介于61.5 (μ- 3σ) 和76.5 (μ+ 3σ) 英寸之间。 过程能力

生产或提供满足根据客户需要定义的规格的产品或服务的能力。例如，影印机制造商要求橡胶辊筒的宽度必须介于 32.523 cm 与 32.527 cm 之间，才能避免卡纸。能力分析揭示了制造过程满足这些规格的程度，并提供有关如何改进该过程和维持改进的见解。 在评估过程能力之前，必须确保过程是稳定的。不稳定的过程是无法预测的。如果过程稳定，则可以预测将来的性能并改进其能力。 应定期测量并分析过程的能力。能力分析有助于回答以下问题： ?过程是否满足客户规格？ ?过程将来的性能如何？ ?过程是否需要改进？ ?过程是保持了这些改进还是回复到了原来的未改进状态？ 可使用过程指标（如 Cp、Pp、Cpk 和 Ppk）来分析过程能力。 潜在（组内）能力和整体能力 大多数能力评估都可以分组为两种类别中的一种：潜在（组内）能力和整体能力。每种能力都表示对过程能力的唯一度量。潜在能力通常称为过程的“权利”：它忽略子组之间的差异并表示当消除了子组之间的偏移和漂移时执行过程的方法。另一方面，整体能力是客户所体验到的；它考虑了子组之间的差异。评估潜在能力的能力指标包括 Cp、CPU、CPL 和 Cpk。评估整体能力的能力指标包括 Pp、PPU、PPL、Ppk 和 Cpm。 例如，您检查某一糖果厂的设备，其中包括将特定重量的糖果装入容器的机器。糖果每周从工厂出货一次。为评估此过程的能力，在一周内的每天，对袋子样本进行称重；每个样本在分析中表示一个子组。观察发现，每个子组内的变异性很小，但由于子组平均值每天都有偏移，因此袋子重量的总体变异性很大。因此，整个一周的出货在袋子重量上与给定日期内生产的袋子重量之间存在较大的变异性。在下图中，较小的分布表示连续七天内每天的袋子重量的分布。最上面的分布表示整周的出货，它是子组的合计。

标准正态分布表

标准正态分布表 0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09 0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359 0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753 0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141 0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.6517 0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879 0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224 0.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.7549 0.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.7852 0.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.8133 0.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389 1.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.8621 1.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.8830 1.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015 1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177 1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.9319 1.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.9441 1.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.9545 1.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.9633 1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706 1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767 2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857 2.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.9890 2.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.9916 2.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.9936 2.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.9952 2.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.9964 2.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.9974 2.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.9981 2.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.9986 3.00.99870.99870.99870.99880.99880.99890.99890.99890.99900.9990

标准正态分布表

标准正态分布表 就力二「冷=亡P（X

正态分布概率表 0( u ) t F(t)t F(0t F( t)t F(t) 0+00O.COOO0,230.181 90,460.354 50.690.509 8 0.010.008 00.24o, m70.470,361 60J00.516 1 0+020.016 00,250,197 40,480.368 80+710,522 3 0+030023 90 260.205 10,490.375 91720.528 5 0.04 C.031 90.270.212 80.500.382 90.730.534 6 0.050+039 90.280.220 50.510.389 90.740.540 7 0.060.047 80 290. 22S 20.520.396 90.750.546 7 0,070,055 S0. 300.235 80.530.403 90.760.552 7 0.0S0.063 8(1. 310.243 40.540.410 80.770.558 7 0 + 090.071 7C,320.251 00&0.417 70+780.564 6 (k 1U0079 7(J. 330.258 60.560.424 50+790.570 5 0.11O.fi87 6 C. 340.266 10.570.431 3o.so0, 57 6 3 4 120.09 5 50 350.273 70,5S0,43S 1 0.S10.582 1 A130.103 1 C. 360.281 20.590.444 80,820.587 8 0.140,111 30. 370.288 60.600.451 50.S30.593 5 0+150.119 20.380,29 6 10.610.458 1 (U40*599 1 0.160,12 7 ] 0.390, 303 50.620.464 70.350,604 7 0.170 135 0G.400310 80.630.471 30, R60.6102 0.180J42 S0.410.31 8 20.640.477 S0+870,15 7 0.190.150 70 420325 50.650.484 30+880.621 1 0.200.158 50.430. 332 80.660.490 70.890 . 62 6 5 0,210J66 3C,440.340 10.670.497 1 0.900.631 9 A 220.174 ] 0.45(L 347 30.680.503 50.910.637 2

正态分布

正态分布 （normal distribution ） 一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟 形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。 概率密度函数 ， -∞μ2>μ1 1 2 3 (2) 形态参数 σ 表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2 固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。 三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律 P{μ-σ

四、 应用 1、描述资料分布 2、依据面积分布规律求医学参考值范围 3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和 控线 4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验 的基础。而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出 例：已知x =50，S=10,N=200,求45

正态分布的前世今生(完整版)

正态分布的前世今生
一、正态分布，熟悉的陌生人
学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。这个钟型的分布曲线不但形状优雅， 其密度函数写成数学表达式
12π??√σexp(?(x?μ)22σ2)
也非常具有数学的美感。其标准化后的概率密度函数
12π??√exp(?x22) 更加的简洁漂亮,两个最重要的数学常量 π,e 都出现在了公式之中。在我个人的审美之中，
它也属于 top-N 的最美丽的数学公式之一， 如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉 到上帝的存在，那我一定投正态分布的票。因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不 在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。
【正态分布曲线】
正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。早年去 过德国的兄弟们还会发现，德国的钢镚和 10 马克的纸币上都留有高斯的头像和正态密度 曲线。正态分布被冠名高斯分布，我们也容易认为是高斯发现了正态分布，其实不然，不 过高斯对于正态分布的历史地位的确立是起到了决定性的作用。
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【德国马克上的高斯头像和正态分布曲线】 正态曲线虽然看上去很美，却不是一拍脑袋就能想到的。我们在本科学习数理统计的 时候，课本一上来介绍正态分布就给出密度分布函数，却从来不说明这个分布函数是通过 什么原理推导出来的。所以我一直搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布曲线的， 又是怎么发现随机误差服从这个奇妙的分布的。我们在实践中大量的使用正态分布，却对 这个分布的来龙去脉知之甚少，正态分布真是让人感觉既熟悉又陌生。直到我读研究生的 时候，我的导师给我介绍了陈希儒院士的《数理统计学简史》这本书，看了之后才了解了 正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用，也是经过了几百年的历史。 正态分布的这段历史是很精彩的，我们通过讲一系列的故事来揭开她的神秘面纱。
二、邂逅，正态曲线的首次发现
第一个故事和概率论的发展密切相关，主角是棣莫弗(De Moivre)和拉普拉斯 (Laplace)。拉普拉斯是个大科学家，被称为法国的牛顿；棣莫弗名气可能不算很大，不 过大家应该都熟悉这个名字，因为我们在高中数学学复数的时候我们都学过棣莫弗定理
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ). 古典概率论发源于赌博，惠更斯、帕斯卡、费马、贝努利都是古典概率的奠基人，他们那
会研究的概率问题大都来自赌桌上，最早的概率论问题是赌徒梅累在 1654 年向帕斯卡提出的 如何分赌金的问题。 统计学中的总体均值之所以被称为期望(Expectation)， 就是源自惠更斯、 帕斯卡这些人研究平均情况下一个赌徒在赌桌上可以期望自己赢得多少钱。
棣莫弗(De Moivre)
拉普拉斯 (Laplace)
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