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第四章习题课

这一章介绍的几个基本定理对微分方程理论、考察描述物理问题的完整性以及近似计算都是非常有意义的。

定理1.4.1 （毕卡定理）设有一阶微分方程的初值问题（Cauchy 问题）

(),,

dy f

x y dx

= （4.2.1）

()00y x y = （4.2.2）其中(),f x y 在矩形域

00:,D x x a y y b -≤-≤ 上连续；对变量y 满足Lipschitz 条件, 则初值问题（4.2.1）（4.2.2）在区间

[]00,I x h x h =+-上有并且只有一个解，其中常数

()(),m i n ,,m a x ,.

x y D

b h a M f

x y

M ∈

而注意这里给出的存在唯一性定理是局部的，它只肯定了解在区间0x x h -≤上存在性唯一性，而确定此区间大小的数()(),m in ,

m ax ,x y G b h a M f x y M ∈?

???

=等于，越

大，h 越小。这是不能令人满意的。因此就有了解的延拓定理：

定理4.3.1 （延拓定理）如果方程（4.3.1）的右端函数(),f x y 在（有界或无界）的区域G 内连续，且关于y 满足局部的Lipschitz 条件，则对于G 内的任意一点()00,x y ，方程（4.3.1）的以()00,x y 为初值的解均可以向左右延拓而得到

最大存在区间为()()()*

,00y x x x αβ?βα=→-→+的饱和解

，且当或时，积

分曲线上的点()()*,x x ?将无限接近区域G 的边界.G ? 推论若(),f x y 在区域:,G a x b y <<<+∞

内连续，允许,a b =-∞=+∞，

则方程（4.3.1）的以()00,x y 为初值的饱和解()(),y y x αβ=的存在区间必属于

下列情形之一：

()()()

()()()1=;

2,00lim .

a b a b x x y x αβαβαβ=<<→+→-=∞

从以上定理可见，微分方程解的存在唯一性与初值密切相关，那么就提出问

题：当初值发生变化时，解如何变化？为此将初值问题

()()00,,dy

f x y dx

y x y

?=?

??=?

解写成()00,,y x x y ?=，我们有

定理4.4.1 （解对初值的连续依赖定理）假设函数(),f x y 在某个区域G 内连续，且关于y 满足局部Lipschitz 条件（Lipschitz 常数为L ），

()()0000,,,,x y G y x x

y ?∈=是方程（4.3.1）满足初始条件00()y x y =的解，它于区间a x b ≤≤上有定义0()a x b ≤≤，那么，对于任给的0,ε>必能找到正数

(),,a b δδε=，使得当

()()22

21010x x y y δ-+-≤ 时，方程（4.3.1）满足条件

11()y x y =的解()11,,y x x y ?=在区间

a x

b ≤≤上也有定义，并且

()

()110

0,,,,,x x y x x y a

x b

??ε-<≤≤。这个定理表明：当初值的变化很小时，初值问题解的变化也很小。这样就有

定理4.4.2 （解对初值的连续性定理）若函数(),f x y G 在区域内连续，且关于y 满足局部Lipschitz 条件，则方程（4.3.1）的解()00,,y x x y ?=作为

00,,x x y 的函数，在它的存在范围内是连续的。

进一步我们还有

定理4.4.5 （解对初值的可微性定理）若函数(),f f x y y

??以及

都在区域G 内

连续，则方程（4.3.1）的解()

00,,y x x y ?=作为00,,x x y 的函数，在它的存在范围内是连续可微的。

证明由

f y

??在区域G 内连续，可以推知(),f x y 在G 内关于y 满足局部

Lipschitz 条件。因此，在定理的条件下，解对初值的连续性定理成立，即()

00,,y x x y ?=在它的存在范围内关于()00,,x x y 是连续的。下面进一步证明对于函数()

00,,y x x y ?=的存在范围内任一点偏导数0

x y ?????????存在

且连续。

先证

x ???存在且连续。

设由初值()(

)()0

00000

,,x

x y x y x αα?≤+?，为足够小的正数和所确定

的方程的解分别为

()

(

)000

0,,,,y y x x y x x x

y ?ψ??+?≡≡==和

即

()()0

00,,x x x x x y f

y f

dx x dx x ??ψ

ψ+?+

==?

和

于是

()()()()()

()00

000

,,,,x x x x

x x x x x f

dx f

dx y

x x dx

ψ?ψ?ψ??θψ+?+?--=

?+-?+=-?

其中01θ<<。注意到

f y

??及?ψ和的连续性，我们有

()()()1

,,f

f y

x x ψ?γ

?θ??-?=+??+

这里1γ具有性质：当01010000x x γγ?→→?==时，且当时。类似地有 ()()000

020

1,,x x x f

dx f x x x

y γψ+?=-+?-

其中2γ与1γ具有相同性质，因此对00x ?≠，有 ()()

210

0,,x x f f

x y x x x

ψ?

ψ?γ

γ???

?--????≡-+++?

??????

即0

x x ψ?-=

?是初值问题

()

()()100020

,,f dz z dx y z x f x y x x γγ????????=+?

??????

?=-+≡??

的解，在这里00x ?≠被看成是参数。显然，当00x ?=时，上述初值问题仍有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知0000

,,,x x z x x ψ?-??是的连续函数。从而存

在

lim x x x ψ???→-?=

而

x ???是初值问题

()

()()000

,,f dz

z dx

y z x f x y

x ????=?

???=-??

的解，不难求得

()

exp ,,x x f f

dx x y x x

y ??

???? ?=- ????

显然它是00,,x x y 的连续函数。

同样可证

y ???存在且连续。

事实上，设()000,,y x x y y ψ?+?≡= 为初值()()0

000,y

x y y α

+??≤所

确定的解，类似上面的推演，可证

y ψ?-? 是初值问题

()

()301

,f dz z

dx y z x x γ????

????=+?

?????

?=??

的解，因而

()

030

e x p ,x x

f dx y y x ψ?γ??

???

?- ???=+ ??????

其中3γ具有性质：当03030000y y γγ?→→?==时，且当时。故有

()

lim

exp ,x x y f

dx y y y

x ?ψ?

??→?

???-

?== ?????

它是00,,x x y 的连续函数。

至于

???的存在及连续性，只需注意到()

00,,y x x y ?=是方程的解，因而

(

)(

)00

,,,x x

f x x y ????=

由f 及?的连续性即可以直接推出结论。

定理的证明过程实际上给出了()

()

00000

,,,,x x y x x y x y ??????和

的求法，所以我

们可以将这个定理写成:

定理 4.4.6 设函数(),f f x y y

??以及

都在区域G 内连续，这时对任一点

()00G ,x y ∈，

初值问题（4.2.1）、（4.2.2）都存在唯一的饱和解()

00,,y x x y ?=。

它的最大存在区间为()()()0000,,x y x y αβ，，则()

00,,y x x y ?=作为

00,,x x y Ω的函数在连续可微，其中

()()()(){}00000000=

,,,,,,x G x x y x y x y x y αβ?

Ω<<∈

并且

()

00000

,,,,x x y x x y x y ??????和

分别满足初值问题

()()

()()()

()

00000,,,,

1,2f x x x y z z y z x f x y ???'?=??

=-?

和

()()()000,,,,

f x x x y z z y z x ???'?=???

=? (3)

称（1）式为初值问题（4.2.1）和（4.2.2）的解的变分方程。

（1）式的通解为

()()

0,,,exp(x x f

x x x

y z C dx y

??=??

，满足（2）

、（3）的解分别为

()

()()()

()

()()

000000

0000

,,,,,,exp(,,,,,exp(x

x x f

x x x

y x x y f

x y dx

x y f

x x x

y x x y dx

y y

??????=-????=????

例1 试判断方程 t a n dy x y

=在区域

121):11,0;

2):11,

G x y G x y πππ-≤≤≤≤-≤≤

-≤≤

上是否满足解的存在唯一性条件。

解 1）不满足。因为在区域1G 上，方程右端函数(),tan 2

f x y x y y π

当时不

连续。

2）满足。因为在区域2G 上，方程右端函数(),tan f x y x y =连续，

()2

,2cos y x f x y y

≤有界。

例2 判断下列方程在什么区域上保证初值存在且唯一。

1)sin ;2);

y x y y x x y y y x y

-''=+=+''=

解 1）因为方程的右端函数(),sin cos y f x y x y f y =+=及在整个平面上连续，所以在整个xo y 平面上满足存在唯一性定理的条件，进而在整个xo y 平面上保证初值解存在且唯一。

2）因为方程的右端函数()143

1,3

y f x y x

f x

==-

及在除去y 轴的整个平面上

连续，所以除去y 轴以外的整个xo y 平面上初值解存在且唯一。 3）因为方程的右端函数(

)0,0

y f x y y ≥=

=<在整个平面上连续，而

(

)10

y y f x y y >=<在除去x 轴以外的整个xo y 平面上连续，所以初值解

在除去x 轴以外的整个xo y 平面上存在且唯一。

4）该方程的初值解在除去直线x=y 以外的整个xo y 平面上存在且唯一。

关于迭代法、求近似解和误差估计的例题由于在讲课时已讲，这里就不再举

例了。

例 3习题3.1 6 证明格朗瓦尔（Gronwall ）不等式：

设K 为非负常数，()()f t g t t αβ≤≤和为在区间上连续的非负函数，且满足不等式

()()()

f t K f s

g s d s t

ααβ≤+≤

≤? 则有

()()(

)

e x p ,.

f t K

g s d s t

ααβ≤≤

≤? 并由此证明定理1的命题5.

证明 1）当0K >时，设()()()t

R t K f s g s ds α=+?，则

()()()()()dR t f t g t g t R t dt

=≤

由()0,R t >分离变量得

()()()

dR t g t dt

R t ≤

不等式两边从t α到积分，得

()()()l n l n t

R t R g s

d s

αα-≤? 即

()()

()exp t

R t g s ds R α

≤?

又()0,R K α=> 所以

()()exp t

R t K g s ds α

≤?

即有

()()()

exp

f t K

g s ds t α

αβ≤≤≤?

2）00,K ε=>当时，对任给由于()()(),t

f t f s

g s ds α≤

?所以

()()()+,t

f t f s

g s ds αε≤? 由1）有

()()(

)

e x p .

f t

g s d s α

ε≤? ()()()+

00,00f t f t f t ε→≤≥≡当时，有但题设，故有。从而有

()()(

)

e x p ,.

f t K

g s d s t

αβ≤≤

≤? 由1）、2）知不等式成立。

证明毕卡定理中解的唯一性。

设()()y x y x ?ψ==和是初值问题（4.2.1）、（4.2.2）的两个解，则有

()()()0

0,,x x x y f d ?ξ?ξξ=+

()()()0

0,,x x x y f d ψξψξξ=+

于是

()()()()()()()()0

0,,,

x x

x x x x f f d L d ?ψξ?ξξψξ

ξ?ξψξξ-≤-≤-?

由Gronwall 不等式

()()

00x x ?ψ

≤-≤

因而有()().x x ?ψ≡

例4 设(),f x y xoy 在整个平面上连续且满足李普希兹条件 ()(),,,0

.f x y f x y L y y

L -≤-> 求证 1）初值问题

()()()(),sin

00,n dy x f

x y y y x dx

n ==-∞+∞的解在上存在；

2） ()n l i m 0.

n y x →∞

= 证明 1） ()(),sin

x f x y x y xoy n

关于，在整个平面上连续且满足李普希兹条件

()()()()

,sin

,,,0,x x f

x y f

x y f x y L y y L n

-≤-≤->

所以由存在唯一性定理及延拓定理，知上述初值问题存在唯一饱和解().n y y x =下面这个解的存在区间为(),.-∞+∞用反证法，设()(),n y x αββ<+∞的存在区间为，，由于

()()()()0

=,s i n 0

n n t

y x f t y t dt

x n

≥? 所以

()()()()()()0

,,0,0x x n n x n y x f t y t f t dt f t dt

M L y t dt

β≤

-+≤+

其中()1max ,0,M f t =由Gronwall 不等式，有

()110exp ,x

n y x M Ldt M e

βββ≤≤?

那么(

)0n x y x β→-当时，不趋于

∞。这与延拓定理的推论矛盾，故

..βα=+∞=-∞同理可证

2）对任意固定的(),,x ∈-∞+∞有

()()()0=,s i n x

n n t

y x f t y t dt n

? （1）

取B 充分大，使x B ≤，利用李普希兹条件，易得

()()()()

()

()(),s i n ,s i n ,0s i n ,0s i n s i n ,0s i n

n n n t

t t t

f t y t f t y t f t f t n

t t

L y x f t n n

≤-+≤+

代入（1）并注意sin x x n n

≤，得

()()

()

()2

,0x x x n n n t t B

B y x L y t dt f t dt M L

y t dt n

≤

（2）

其中()

()20,max ,0,x B M f t ∈=由Gronwall 不等式，有

()2

n B

y x M e n

≤ 由此知 ()l i m 0.

n n y x →+∞

例 5 讨论方程()2

1xy

dy y e

=-每个解的最大存在区间，以及当x 趋于这区间的端点时解

的性状。

解 ()()2

2,1xy f x y y e xoy =-在整个平面上连续可微，所以对任意初始点()00,,x y 方程满足初始条件()00y x y =的解存在唯一，且1y =±显然是方程的解。现在以1,1y y xoy ==-为界将平面分为三个区域来进行讨论。

1）

在区域()1:11,,0A y x f x y -<<-∞<<+∞>中，由于，则对任意初始点

()001,,x y A ∈方程满足初始条件的解()y x ?=递增，其存在区间为

(),.x -∞+∞→-∞当时，

11y x y =-→+∞=以为渐近线；当时，以为渐近线。 2）在区域()2:1,,0A y x f x y >-∞<<+∞<中，由于，方程满足初始条件的解()y x ?=递减，其存在区间为()(),.0;

x x ?'-∞+∞→-∞→当时，

1x y →+∞=当时，以为渐近线。

3）在区域()3:1,,0A y x f x y <--∞<<+∞<中，由于，在该区域的任意解()y x ?=递减

，

其

存

在

区

间

为

(),.1;x y -∞+∞→

-∞=-当时，以为渐近线

().x x ?'→+∞→-∞当时，其积分曲线分布如图。

例6 已知方程()sin ,dy xy dx

=试求

()

000000000

,,,,,

.x x y y x x y x x y x y ??====????

解因为方程的右端函数()()(),sin cos f f x y xy x xy xoy y

?==?及

在整个平面上连续，所

以满足可微定理的条件。所求导数分别是微分方程

()c o s dz x xy z dx

= （1）

满足初始条件()()0001z z ==和的解。

微分方程（1）的通解是

()0cos x

x y d z C e

τττ

()

0000

0;x y x x y x ?

==?=?

()

()()()2

0001

cos ,0,0cos 0002

,,.x

x y x d x d d x y x x y e

e y ττ

ττ

???==????====?

例7 已知Riccati 方程

()2

c o s s i n dy x y x dx

=--

()00sin ,,,y x y x x y ?==有解若以记该方程满足初始条件()00y x y =的解，试求出

()()0

,0,1,0,1x x x y ??????和

。

解引进新的未知函数u ，满足sin y x u =+，代入方程得2

1,du u u dx

x c

=-=

+积分得。从

而该

Riccati

方程的通解为

i n

.y x x c

=++满足初始条件

()101s

i n .1

y y x x ==

++的特解为

所以

()()

()

0000,,,,,122sin 2sin sin 11

y x x y f x x x y y x x x y

x x ??=?-??

=--=-+-=

??++?? 于是所求的两个偏导数都是线性齐次微分方程

dz z dx x =-+ （1）的解，分别满足初始条件 ()()(

)

()2

0,1

0cos sin 001x y z x y x z ===---==和。而（1）的通

解是()

z x =

+，由初始条件分别得C=0和C=1，故

()

()()0

,0,1,0,10;

1x x x x y ????==+??-2

。

大物例题教学内容

大物例题

1. 某质点作直线运动的运动学方程为x ＝5t -2t 3 + 8，则该质点作（ D ）。 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． 5．在一直线上相向运动的两个小球作完全弹性碰撞，碰撞后两球均静止，则碰撞前两球应满足：（ D ）。（A ）质量相等； (B) 速率相等； (C) 动能相等； (D) 动量大小相等，方向相反。 6. 以下四种运动形式中，加速度保持不变的运动是（ A ）。 A ．抛体运动； B ．匀速圆周运动； C ．变加速直线运动； D ．单摆的运动.。 2. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为0J ，角速度为0ω；然后将两手臂合拢，使其转动惯量变为02J ，则转动角速度变为 032ω. 5、长为L 的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为（ L g 23 ），细杆转动到竖直位置时角加速度为（零）。解答：在转动瞬间，只有重力力矩，则有Ja=mg1/2L 竖直位置时，能量守恒mg1/2L=Jw^2*1/2

6. 一长为1m l =的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面呈60°，然后无初转速地将棒释放，已知棒对轴的转动惯量为213 ml ，则(1) 放手时棒的角加速度为（ 7.5 ）2/s rad ；(2) 棒转到水平位置时的角加速度为（ 15 ）2/s rad 。（210m /s g =） 7、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω（减小）。 (看成一个系统，所受的合外力矩为0，角动量守恒) 8一根长为l ，质量为m 的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时细棒的角加速度应为（ l g 23 ）。 9、某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动的角速度( 变大 ) 10、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为32ML 。一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为2v ，则此时棒的角速度应为（ ML m 2v 3 ）。（子弹问题：动量守恒，角动量守恒） v 21 v 俯视图

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别（1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A )

大物下册-第九章练习题

1 第9章静电场习题一选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2 q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、 B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变习题9-3图

2 (C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ，即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1

线性代数学习指导第四章线性空间

第五章线性空间一、内容提要 ⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭, 且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间. 线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量. 设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注向量组12,, ,n ααα是V 的一组基?12,, ,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V 中的任一向量α可由12,, ,n ααα线性表示. 向量组12,, ,s ααα生成的空间L (12,, ,s ααα)的一组基就是12,, ,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,, ,s ααα的秩. 定义3 设12,, ,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若 1122n n x x x αααα=++ + 则称数12,, ,n x x x 为向量α 在基12,, ,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x . 向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式. 定义4 设12,, ,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,, ,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1) 称C 为由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ?)( ,即

线性代数第四章练习题集答案解析

第四章二次型练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵（1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-；（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。（2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ，所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：

（1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11；（2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。（2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。（1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+；（2）),,(321x x x f =322122x x x x -；（3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。

大物复习题(1)

2015-16-2课堂练习50题 1. 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是多少？(c表示真空中光速) 参考答案：v = (4/5) c． 2. 已知电子的静能为0.51 MeV，若电子的动能为0.25 MeV，则它所增加的质量?m与静止质量m0的比值近似为多少？参考答案：0.5 3. 静止时边长为50 cm的立方体，当它沿着与它的一个棱边平行的方向相对于地面以匀速度 2.4×108 m·s-1运动时，在地面上测得它的体积是多少？参考答案：0.075 m3 4. 一列高速火车以速度u驶过车站时，固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间的距离为1 m，则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？参考答案： m c u2) / ( 1 /1- 5. 一电子以0.99 c的速率运动(电子静止质量为9.11×10-31 kg，则电子的总能量是多少焦耳？，电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？参考答案：5.8×10-13J ；8.04×10-2 6. 牛郎星距离地球约16光年，宇宙飞船若以多少速度的匀速度飞行，将用4年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时间)抵达牛郎星．参考答案：2.91×108 m·s-1； 7. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t时刻波形曲线如图所示．试分别指出图中A，B，C各质点在

该时刻的运动方向．A_____________；B _____________ ；C ______________ ．参考答案：向下；向上；向上 8. 一声波在空气中的波长是0.25 m，传播速度是340 m/s，当它进入另一介质时，波长变成了0.37 m，它在该介质中传播速度为多少？参考答案：503 m/s 9.波长为λ的平行单色光垂直地照射到劈形膜上，劈形膜的折射率为n，第二条明纹与第五条明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？参考答案：3λ / (2n) 10. He－Ne激光器发出λ=632.8 nm (1nm=10-9 m)的平行光束，垂直照射到一单缝上，在距单缝3 m远的屏上观察夫琅禾费衍射图样，测得两个第二级暗纹间的距离是10 cm，则单缝的宽度a=？参考答案：7.6×10-2 mm 11. 假设某一介质对于空气的临界角是45°，则光从空气射向此介质时的布儒斯特角是多少？参考答案：54.7° 12. 一束平行的自然光，以60°角入射到平玻璃表面上．若反射光束是完全偏振的，则透射光束的折射角是多少？玻璃的折射率为多少！参考答案：30?；1.73 附图表示一束自然光入射到两种媒质交界平面上产生反射光和折射光．按图中所示的各光的偏振状态，反射光是什么偏振光；折射光是什么偏振光；这时的入射角i0称为什么角．参考答案：线偏振光；部分偏振光；儒斯特角

线性代数第四章总结

总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =）向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==）二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21=

大学电路分析第四章课后习题答案

4-2．5μF 电容的端电压如图示。（1）绘出电流波形图。（2）确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式： 10 0μs 1μs 10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t ≤≤??≤≤? =? -+≤≤??≤? 式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。电容伏安关系的微分形式： 50 0μs 1μs 0 1μs 3μs ()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t <

【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.1 4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0) (2) AB? ?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上 C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。 4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u

上的投影． ? 解：. p rju ?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r 。 3 ＝23 2 4-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z ） p rjx AB?(2?x0)?4 p rjy AB?(?1? y)??4 p rjz AB?(7?z0)?7 解得： x ??2y?3z0?0 4-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位

线性代数第四章复习题答案

第四章复习题答案一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１２３，，均不是零向量 B 、ααα１２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出（2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα 均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα 线性相关 B 、若向量组12,s ααα 线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠ k ，则向量组12,s ααα 线性无关 D 、若向量组12,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出不是任意二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠= 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，，则四阶行列式12312αααββ+= ，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123,,n αααα 线性相关，则1α可有23n ααα ，线性表示。（ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。（ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。（ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关（ √ ） 5、向量组12,,m ααα 线性相关，则向量组12,,,m αααβ 也线性相关。（√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示（√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的（√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解（√ ）三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。解：设12345(,,,,)A ααααα=

大物习题答案

习题六 6—1 一轻弹簧在60N得拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧得下端,并使之静止,再把物体向下拉10cm,然后释放并开始计时。求:(1)物体得振动方程;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体得拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它运动到上方5cm处所需要得最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系设振动方程为x=cos(7、07t+φ) t=0时, x=0、1 0、1=0、1cosφφ=0 故振动方程为x=0、1cos(7、07t)(m) (2)设此时弹簧对物体作用力为F,则: F＝k(Δx)=k(x0 +x) =mg/k=40/200=0、2(m) 其中x 因而有F= 200(0、2-0、05)=30(N) (3)设第一次越过平衡位置时刻为t1,则: 0=0、1cos(7、07t1 ) t1 =0、5π/7、07 第一次运动到上方5cm处时刻为t2,则 -0、05=0、1cos(7、07t2) t2=2π/(3×7、07) 故所需最短时间为: Δt=t2 -t1 =0、074s 6—2 一质点在x轴上作谐振动,选取该质点向右运动通过点A时作为计时起点(t＝0),经过2s后质点第一次经过点B,再经2s后,质点第二经过点B,若已知该质点在A、B两点具有相同得速率,且AB=10cm,求:(1)质点得振动方程:(1)质点在A点处得速率。 [解] 由旋转矢量图与可知s (1) 以得中点为坐标原点,x轴指向右方。 t=0时, t=2s时, 由以上二式得因为在A点质点得速度大于零,所以所以,运动方程为: (2)速度为: 当t=2s时 6—3 一质量为M得物体在光滑水平面上作谐振动,振幅为12cm,在距平衡位置6cm处,速度为24,求:(1)周期T; (2)速度为12时得位移。 [解] (1) 设振动方程为以、、代入,得: 利用则

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解由已知: ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 21332123 11542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 201 3514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z ,

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)???? ??123)321(; 解 ??? ? ??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).

八年级物理下册第一章经典练习题大整合

同步练习一、基础演练： 1、运动员用网拍击球时,球和网拍都变了形,这表明了两点：一是力可以使物体发生﹍﹍﹍﹍，二是力的作用是﹍﹍﹍﹍的。球被击后,运动方向和速度大小都发生了变化，表明力还可以使物体的﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍发生改变，从不同方向击球时，球飞出的角度不同,说明﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍能影响力的作用效果。 2、用手拍桌子，桌子受到手施加给它的力，同时手也感到痛，这是因为手受到了﹍﹍﹍﹍的作用力。大量的事实表明：物体间力的作用是﹍﹍﹍﹍﹍的。 3、一本书放在水平桌面上，书受到桌面的﹍﹍﹍﹍力；这个力的施力物体是﹍﹍﹍﹍，受力物体是﹍﹍﹍﹍。同时这本书对桌面产生﹍﹍﹍﹍，这个力的施力物体是﹍﹍﹍﹍，受力物体是﹍﹍﹍﹍。 4 、力的作用效果：力可以改变﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，力可以使物体发生﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。物体运动状态的改变，是指物体运动﹍﹍﹍﹍﹍的改变或运动﹍﹍﹍﹍﹍的改变或它们同时改变，要改变物体的运动状态，就必须对物体﹍﹍﹍﹍﹍。 5、在图5所指出的四个力中，使受力物体运动状态发生改变的是（）。 6、关于力的概念，下列哪句话是错误的（） A．没有物体就没有力B．有受力物体时，一定有施力物体 C．有施力物体时，却不一定有受力物体D．只有一个物体时，不会有力 7、下列情况中运动状态没有发生改变的是（） A．汽车起动B．汽车拐弯 C．汽车减速上坡D．汽车在平直的公路上匀速直线行驶 8、关于力的作用效果，下列说法错误的是（） { A．可以改变物体速度的大小B．可以改变物体的形状 C．可以改变物体的运动方向D．可以改变物体的状态 9、一个物体沿圆形轨道运动，在相等时间内通过的路程相等，则物体的运动状态（） A．不断改变B．始终不变 C．有时改变，有时不改变D．无法确定 ~ 图5 人对跳板的压力手对弓的拉力手对弹簧的拉力磁铁对小铁球的吸引力 A B C【 D

线性代数第四章自测题

第四章（×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. 5.若齐次线性方程组0AX = 只有零解，则A 的列向量组线性无关. 6．等价的向量组具有相同的秩. （）设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同．（） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一．（） 5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α?? ? ?= ? ???，22102m α?? ? ?= ? ???，3 3123m α?? ? ?= ? ??? 总是线性无关．（） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n T n x x x R x x x x x x x 满足，则V 是向量空间. （） 7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （） .A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关 9．已知43?的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （） .A 1； .B 2； .C 4； .D 3. 10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则（） .A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；

大物复习题1

一．选择题 1. 一质点在力F = 5m (5 - 2t ) (SI)的作用下，t =0时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为[ ] (A) 50 m ·s -1． . (B) 25 m ·s -1． (C) 0． (D) -50 m ·s -1．答案：（C ） 2. 一个作直线运动的物体，其速度v 与时间t 的关系曲线如图所示。设时刻t 1至t 2间外力作功为W 1，时刻t 2至t 3间外力作功为W 2，时刻t 3至t 4间外力作功为W 3 ，则[ ] (A) W 1＞0，W 2＜0，W 3＜0 (B) W 1＞0，W 2＜0，W 3＞0 (C) W 1＝0，W 2＜0，W 3＞0 (D) W 1＝0，W 2＜0，W 3＜0 答案：（C ） 3．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？[ ] (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大．答案：（A ） 4. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：[ ] ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。答案：()D 5. 当一个带电导体达到静电平衡时：[ ] ()A 表面上电荷密度较大处电势较高； ()B 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零； ()C 导体内部的电势比导体表面的电势高； ()D 表面曲率较大处电势较高。答案： ()B 6. 正方形的两对角上，各置电荷Q ，在其余两对角上各置电荷q ，若Q 所受合力为零，则Q 与q 的大小关系为[ ] ()A Q =-； ()B Q =； ()C 4Q q =-； ()D 2Q q =- 。答案：()A 7. 两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为[ ]

大物下册-第九章练习题

第9章静电场习题一选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2 q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球 A 、 B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 q O S T P

(C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于 OP =OT ，即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1

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