算术平均数与几何平均数
一、知识点归纳
1、重要不等式
如果R b a ∈,,，那么22b a +≥ab （当且仅b a =时，取“＝” 号）
2、算术平均数与几何平均数
如果b a ,是正数，则
2b a +≥ab ，其中2b a +叫做b a ,的算术平均数，ab 叫做几何平均数
3、定理
①如果b a ,是正数，那么2b a +≥ab （b a +≥ab 2，2)2
(b a +≥ab ）,当且仅当b a =时，取得等号
②定理文字叙述
两个正数的等差中项大于或等于它们的等比中项
两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数
4、已知y x ,都是正数、
①如果积xy 是定值P ，，那么y x =时，和y x +有最小值p 2
②如果和y x +是定值S ，那么，当那么y x =时，和xy 有最大值4
2
S 5、利用2
y x +≥xy ，求最值的条件 ①各项为正；②其和或积为定值；③等号必须取到
二、练习题
1、求函数)1(1
16>-+=x x x y 的最小值 2、已知0,0>>y x ，且满足1223=+y x ，求Igy Igx +的最大值
3、设1->x ，求函数1)2)(5(+++=
x x x y 4、若0,0>>y x ，且83
22
2=+y x ，求226y x +的最大值 5、求函数5
22++=x x y 的最大值 6、求函数x
x y 1+=的值域 7、当b a x ,,10<<为正常数，求x
b x a y -+=12
2的最小值
8、已知3
20<
10、设0>x ，求x
x 133--的最大值 11、已知,1,0=>>xy y x 求y
x y x -+2
2的最小值 12、已知b a ,为正数，且32=ab ，求b a +的最小值
13、设z y x ,,均是正实数，032=+-y x ，求xz
y 2
的最小值 14、若),0(,+∞∈y x ，且满足124++=y x xy ，求xy 的最小值
15、设0>>>c b a ，则222510)
(112c ac b a a ab a +--++的最小值 A 、2 B 、4 C 、52 D 、5
16、、设0>>b a ，则)
(162b a b a -+的最小值 17、设0>>b a ，则)
(8b a b a -+的最小值 18、已知210< x 2121-+的最小值 19、设1,1,,>>∈b a R y x ，若4,2=+==b a b a y x ，则 y x 12+的最大值 解析2：62.3)(y x Ig xy Ig Igy Igx ==+≤??? ???????? ???=??????+?2221261)223(61Ig y x Ig 6Ig = 当且仅当y x 23=时，即3,2==y x ，等号成立 所以Igy Igx +的最大值为6Ig 解析3：[][]1 1)1(.4)1(1)2)(5(+++++=+++= x x x x x x y 5141++++=x x ≥9 当且仅当141+= +x x 时，即1=x ，等号成立 解析4：3122 16316262 22y x y x y x +???=+??=+ ≤2 393312322=++?y x 当且仅当3 122 y x +=时，即242,23==y x ，等号成立 所以226y x +的最大值为2 39 解析5、2122112(225222++ ++++=++=x x x x x x y ＝）≤42221= 当且仅当21 22+=+x x 时，即,2 3-=x ，等号成立 所以函数522++=x x y 的最大值为4 2 15、解析：∵0>>>c b a ， ∴原式＝2222510) (11c ac b a a ab ab ab a a +--+++-+ ＝2)5(1)(1)(c a ab ab b a a b a a -+++-+-≥4 当05,1,1)(=-==-c a ab b a a 时，取等号，即52,22,2=== c b a 时， 所求式的最小值为4
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