导数(1)
一、 知识梳理:(阅读选修教材2-2第18页—第22页)
1、 导数及有关概念:
函数的平均变化率:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ?时,则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?,如果0→?x 时,y ?与x ?的比x y ??(也叫函数的平均变化率)有极限即x
y ??无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0x x y =',即
0000()()()lim x f x x f x f x x
?→+?-'=? 在定义式中,设x x x ?+=0,则0x x x -=?,当x ?趋近于0时,x 趋近于0x ,因此,导数的定义式可写成
000000
()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义: 导数0000()()()lim x f x x f x f x x
?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化..
的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率. 即0()k f x =', 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的,后者A 必为切点,前者未必是切点.
因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-
3.导函数(导数):
如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数()f x ',从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数..,也可记作y ',即()f x '=y '=
x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim
00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.
函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='
就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值,即0x x y ='
=0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '
4.可导与连续的关系:如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数,则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导;如果函数)(x f y =在点0x 处可导,那么函数)(x f y =在点0x 处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.
5.求函数()y f x =的导数的一般步骤:
()1求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=
? ()2求平均变化率x
x f x x f x y ?-?+=??)()(; ()3取极限,得导数y '=()f x '=x
y x ??→?0lim 6.几种常见函数的导数:
0'=C (C 为常数);1)'(-=n n nx x (Q n ∈);
x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=;
1(ln )x x '=
; 1(log )log a a x e x '=, ()x x e e '= ; ()ln x x a a a '=
7.求导法则:
法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'.
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=
法则3: '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
二、 题型探究:
【探究一】. 导数的几何意义
例1:已知曲线 .
(1)、求曲线在点P (2,4)处的切线方程;
(y=4x-4)
(2)、求过点P(2,4)的曲线的切线方程;(y=x+2,y=4x-4)
(3)、求过点P(0,0)的曲线的切线方程;(y=x)
(4)、求斜率为1的曲线的切线方程。
(y=x+2;y=x+)
数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②
人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) 课型:新授课 教学目标: (1)了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; (2)理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; (3)掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8月15日8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学
(一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。 3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数; (2)我国的小河流; (3)非负奇数; (4)方程 的解; (5)某校2007级新生; (6)血压很高的人; (7)著名的数学家; (8)平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9)全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; (1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作:a∈A (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作:a A 例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A 4 A,等等。 6.集合与元素的字母表示:集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示,集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 7.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集),记作N; 正整数集,记作N*或N+;
简易逻辑 二.教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四 种命题及其互相关系;反证法在证明过程中的应用. 三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题; 2.由真值表判断复合命题的真假; 3.四种命题间的关系. (二)主要方法: 1.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系,解题时注意类比; 2.通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等; 3.有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该写成“若p ,则q ”的形式; 4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾. (三)例题分析: 例1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2)“23≤” 解:(1)这个命题是“p 且q ”形式,:p 菱形的对角线相互垂直;:q 菱形的对角线相互平分, ∵p 为真命题,q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题. (2)这个命题是“p 或q ”形式,:p 23<;:q 23=, ∵p 为真命题,q 是假命题 ∴p 或q 为真命题. 注:判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成它的简单命题的真假,再由真值表判断复合命题的真假. 例2.分别写出命题“若220x y +=,则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题. 解:否命题为:若220x y +≠,则,x y 不全为零 逆命题:若,x y 全为零,则220x y += 逆否命题:若,x y 不全为零,则220x y +≠ 注:写四种命题时应先分清题设和结论. 例3.命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论. 解:方法一:原命题是真命题, ∵0m >,∴140m ?=+>, 因而方程20x x m +-=有实根,故原命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”是真命题; 又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题. 方法二:原命题“若0m >,则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若2 0x x m +-=无实根,则0m ≤”.∵20x x m +-=无实根 ∴140m ?=+<即104 m <- ≤,故原命题的逆否命题是真命题. 例4.(考点6智能训练14题)已知命题p :方程210x mx ++=有两个不相等的实负根,命题q :