《方程的根与函数的零点》教学设计
一、学情分析 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．
二、设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生．
教学方法：三学一导．
三、教学目标
1.知识与技能：
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；
②培养学生的观察能力；
2.过程与方法：
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；
②让学生归纳整理本节所学知识．
3.情感、态度与价值观：
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
四、教学重点、难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．
五、教学过程设计
1．指导学生进行课前学习
预习教材，完成以下习题：
2．指导学生进行课堂学习
（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1
①方程0322=--x x 与函数322--=x x y
②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y
③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y
图1
[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．
零点概念：对于函数y ＝f （x ）（x ∈D ），把使f （x ）＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f （x ）（x ∈D ）的零点．
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关
系？
生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数y ＝f （x ）的零点与函数y ＝f （x ）的图象与x 轴交点有什么关系
生：经过观察图像与x 轴交点完成解答，得出第二个结论
师：概括总结前两个结论（请学生总结）．
1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数322--=x x y 的零点为x =-1,3
2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．
3）方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点．
师：引导学生仔细体会上述结论．
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程0)(=x f 而得到（代数法）；
可以利用函数)(x f y =的图象找出零点．（几何法）
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：看△
１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力．
（2）零点存在性的探
你能将结论进一步推广到()y f x =吗？
新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？
2()(16)f x x x =-例1：求函数的零点
ln 260x x +-=思考：方程是否有实数根？有几个实数根?
一般地，我们有：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f （a ）·f （b ）<0，那么函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根． 函数y ＝f （x ）在哪几个区间内必有零点？为什么？
探究1：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f （b ）>0时，函数在区间（a ，b ）内没有零点吗?
探究2：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0时，函数在区间（a ，b ）内有零点，但是否只一个零点？
探究3：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a ，b ）内有零点时一定有f （a ）·f （b ）<0 ？
探究4：如果函数y ＝ f （x ）在区间[a ，b ]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a ，b ）内有零点时一定有f （a ）·f （b ）<0 ？
图3（反例）
师：总结两个条件：
1）函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；
2）在区间[a ，b ]上有f （a ）·f （b ）<0．
一个结论：函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]内单调时只有一个零点．
例2．
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理
()++-例2：求函数f(x)=2lg 12的零点个数x x
+=3例3：方程log 3的解所在区间为（）
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
x x -?????? ? ? ???????
1变式训练3：函数f(x)=2的零点所在的区间（）1133A ：（0，）B.,1.1,.,22222x x C D 师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性
说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一
节的用二分法求方程的近似解做准备．
设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备．
（3）探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，
发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况．
生：分组讨论，各抒己见，在探究学习中得到数学能力的提高．
设计意图：
一是为用二分法求方程的近似解做准备．
二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．
（4）课堂小结：
（5）作业回馈
3．指导学生进行课后学习
通过学生的作业反馈，重点辅导没有落实的课标要求．
案例(教学)反思：
本设计根据“三学一导”的教学法，突出了学生的主体作用，有效激发了学生学习的兴趣．同时也遵循了由浅入深、循序渐进的原则，从学生认为较简单的
一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．