1．（2015?重庆模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且f（x）≥0恒成立，则
的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2015?遵义校级一模）已知二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
3．（2015?河南二模）若方程（x﹣1）4+mx﹣m﹣2=0各个实根x1，x2，…，x k（k≤4，k∈N*）所对应的点，（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取
值范围是（）
A．（﹣1，7）B．（﹣∞，﹣7）∪（﹣1，+∞）C．（﹣7，1）D．（﹣∞，1）∪（7，+∞）
4．（2015?河池一模）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f （x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，4）C．（6，+∞）D．（7，+∞）
5．（2015?杭州校级模拟）设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（）
A．1 B．2 C．10 D．
6．（2015?青岛模拟）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，+∞）
7．（2015?宿州三模）若函数f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，2]是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A．B． C．D．（﹣∞，
0]∪[1，+∞）
8．（2015?市中区校级四模）若函数y=|﹣x2+4x﹣3|的图象C与直线y=kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线的交点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2015?南充一模）函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是增函数，则实数a 的范围是（）
A．a≤﹣3 B．a≤5 C．a≥3 D．a≥5
10．（2015?呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0?A则实数b的取值范围是（）
A．0≤b≤4 B．b≤0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b＜0或b≥4
11．（2015秋?阜阳校级期末）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0
12．（2015秋?河南期末）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）
A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7
13．（2015秋?赤峰期末）若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a 的取值范围是（）
A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥3
14．（2015?黄山一模）己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2]B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）15．（2015春?西夏区校级期末）对任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是（）
A．x＜1或x＞2 B．1＜x＜2 C．x＜1或x＞3 D．1＜x＜3
16．（2015秋?淄博校级期末）若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范
围是（）
A．（﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）17．（2015春?南安市校级期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）
A．[1，+∞）B．[0.2}C．[1，2]D．（﹣∞，2]
18．（2015秋?河池期末）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）
A．（0，4）B．[4，9）C．[1，9）D．[1，4]
19．（2015春?重庆期末）若函数f（x）=x2+mx+m（m∈R）在（﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（4，+∞）D．[4，+∞）
20．（2015秋?福建期末）不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≤
21．（2015秋?广西期末）如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间上是减函数，
那么实数a的取值范围是（）
A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
22．（2015秋?东城区期末）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]
23．（2015秋?宁城县期末）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的两个零点分别为α，β，（α＜β）则（）
A．a＜α＜b＜βB．α＜a＜b＜βC．a＜α＜β＜b D．α＜a＜β＜b
24．（2015秋?大庆校级期末）已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1
25．（2015春?龙海市校级期末）若函数f（x）=（m﹣2）x2+（m2﹣1）x+1是偶函数，则在区间（﹣∞，0]上，f（x）是（）
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．可能是增函数，也可能是常数函数
26．（2015春?九江校级期末）已知抛物线y=a（x﹣1）2+h（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（4，0）两点，则x1为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
27．（2015春?南昌校级期末）设函数f（x）=﹣2x2+4x在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值所组成的集合为（）
A．[0，3]B．[0，4]C．[﹣1，3] D．[1，4]
28．（2015秋?毕节市校级期末）已知f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，则f（x）在区间（﹣4，2）上为（）
A．增函数B．减函数C．先递增再递减 D．先递减再递增
29．（2015春?安溪县校级期末）已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．a≤5 B．a≥5 C．a≤﹣7 D．a≥﹣7
30．（2015秋?青海校级期末）设x1，x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根，则（）A．|x1|＞2，|x2|＞2 B．|x1+x2|＞4 C．|x1|=4，|x2|=1 D．|x1+x2|＜4
2016年08月19日举止文雅的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2015?重庆模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且f（x）≥0恒成立，则
的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可得a＞0，b2﹣4ac≤0，c≥，故≥=，利用基本不等式求出式子的最小值．
【解答】解：由题意可得a＞0，b2﹣4ac≤0，∴4ac≥b2，c≥．
∴≥==≥．
故≥3，当且仅当b=c=4a＞0 时，等号成立，
取得最小值3．
故选C．
【点评】本题主要考二次函数的性质，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．
2．（2015?遵义校级一模）已知二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
【分析】由已知条件即可得到二次函数f（x）的对称轴为x=2，二次项系数又大于0，从而知道二次函数图象上的点和x=2的距离越大，函数值越大，从而得到|1﹣2x2﹣2|＜|1+2x ﹣x2|，通过整理及完全平方式即可得到关于x的一元二次方程，解方程即得实数a的取值范围．
【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）知，二次函数f（x）的对称轴为x=2；
∵二次项系数为正数，∴二次函数图象的点与对称轴x=2的距离越大时，对应的函数值越大；
∴由f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2）得|1﹣2x2﹣2|＜|1+2x﹣x2﹣2|；
即2x2+1＜（x﹣1）2；
解得﹣2＜x＜0；
∴实数x的取值范围是（﹣2，0）．
故选C．
【点评】考查由f（x）=f（4﹣x）即可知道f（x）的图象关于x=2对称，开口向上的二次函数图象上的点与对称轴的距离和对应函数值大小的关系，以及完全平方式的运用，解一元二次不等式．
3．（2015?河南二模）若方程（x﹣1）4+mx﹣m﹣2=0各个实根x1，x2，…，x k（k≤4，k∈N*）所对应的点，（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取
值范围是（）
A．（﹣1，7）B．（﹣∞，﹣7）∪（﹣1，+∞）C．（﹣7，1）D．（﹣∞，1）∪（7，+∞）
【分析】原方程等价于（x﹣1）3+m=，原方程的实根是曲线y=（x﹣1）3+m与曲线y=的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m＞0与m＜0讨论，可得答案．
【解答】解：方程的根显然x≠1，原方程等价于（x﹣1）3+m=，
原方程的实根是曲线y=（x﹣1）3+m与曲线y=的交点的横坐标，
而曲线y=（x﹣1）3+m是由曲线y=（x﹣1）3向上或向下平移|m|个单位而得到的，
若交点（xi，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=交点为：（﹣1，﹣1），（2，2）；
所以结合图象可得，
由（2﹣1）3+m=2，解得：m=1，
由（﹣1﹣1）3+m=﹣1，解得：m=7
∴m＜1或m＞7，
故选：D．
【点评】本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质
4．（2015?河池一模）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f （x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，4）C．（6，+∞）D．（7，+∞）
【分析】通过讨论a=0，a＞0，a＜0结合函数的单调性从而得到a的范围．
【解答】解：a=0时，g（x）=0，不存在g（x0）＜0，
a＜0时，由g（x）=ax﹣2a单调递减且过点（2，0），
当x＞2时g（x）=ax﹣2a＜0，而x＞2时f（x）＞7﹣a＞0，不存在f（x0）＜0，
a＞0时，由g（x）=ax﹣2a单调递增且过点（2，0）知：
当x＜2时g（x）=ax﹣2a＜0，则命题转化为不等式x2﹣ax+a+3＜0在（﹣∞，2）上有解，若＜2即0＜a＜4，此时需满足f（）=﹣+a+3＜0，解得a＞6（舍）或a＜﹣2（舍），当≥2即a≥4时，此时需满足f（2）=7﹣a＜0，解得a＞7，
综上可得实数a的取值范围是（7，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题．
5．（2015?杭州校级模拟）设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（）
A．1 B．2 C．10 D．
【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2=0，根据直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，得一不等式，对式子进行恰当变形后，利用函数的单调性可求得a2+b2的最小值．
【解答】解：把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2=0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即≥，
∴a2+b2≥=≥，
因为x﹣2+在x∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=﹣，b=﹣时取等号，故a2+b2的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，能力要求较高．
6．（2015?青岛模拟）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，+∞）
【分析】由题意得到函数的对称轴，结合二次项系数大于0，从而求出函数的递减区间．【解答】解：若二次函数的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，
∴对称轴x==﹣1，
∵a＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求出函数的对称轴是解答本题的关键，本题是一道基础题．
7．（2015?宿州三模）若函数f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，2]是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A．B． C．D．（﹣∞，
0]∪[1，+∞）
【分析】首先要根据a的取值进行分类讨论，当a=0时函数为一次函数，当a≠0时函数为二次函数，然后再根据它们的单调性进行求解．
【解答】解：当a=0时函数f（x）=﹣2x+1在区间[1，2]是单调减函数；
当a≠0时函数为二次函数，其对称轴x=，
由题意得或，
解得a＜0或a≥1或，
∴或a≥1，
故选：A．
【点评】本题重点考查分类讨论的思想，以及对一次函数和二次函数单调性的理解．
8．（2015?市中区校级四模）若函数y=|﹣x2+4x﹣3|的图象C与直线y=kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线的交点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直线y=kx过点M（2，1），求出y=，画出图象y=，函数y=|﹣x2+4x﹣3|，
即可得出交点个数．
【解答】解：∵直线y=kx过点M（2，1），
∴1=2k，
k=，
∴y=，
∵函数y=|﹣x2+4x﹣3|
∴作图如下：
曲线C与该直线的交点的个数为4
故选：D
【点评】本题考查了函数的图象解决问题，画出图象，即可判断交点，难度不大，属于容易题．
9．（2015?南充一模）函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是增函数，则实数a 的范围是（）
A．a≤﹣3 B．a≤5 C．a≥3 D．a≥5
【分析】结合二次函数的性质做出判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是增函数，
所以≥4，即a≥5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于容易题．
10．（2015?呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0?A则实数b的取值范围是（）
A．0≤b≤4 B．b≤0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b＜0或b≥4
【分析】根据已知条件容易求出c=0，并判断出f（x）有非零实根，从而解f（x）=0即可得到A={0，﹣b}．而由f（f（x））=0得到x（x+b）（x2+bx+b）=0，显然0，﹣b是方程的
实根，从而判断出方程x2+bx+b=0有实根，并且实根为，从而得到△≥0
并b≠0，这样解不等式即得实数b的取值范围．
【解答】解：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合；
由f（f（x））=0，可得（x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0；
∴f（x）=x2+bx；
存在x0∈B，x0?A；
∴f（f（x0））=0，而f（x0）≠0；
∴x0≠0；
∴说明f（x）=0有非零实根；
∴解f（x）=0得x=0，或﹣b，b≠0；
∴A={0，﹣b}；
f（f（x））=（x2+bx）2+b（x2+bx）=x（x+b）（x2+bx+b）；
∵存在x0∈B，x0≠A；
∴方程x2+bx+b=0有解；
∴△=b2﹣4b≥0；
又b≠0；
∴解得b＜0，或b≥4；
∴实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4}．
故选：D．
【点评】考查描述法表示集合，知道集合A表示函数f（x）的零点组成的集合，提取公因式解高次方程的方法，一元二次方程有无解和判别式△取值的关系．
11．（2015秋?阜阳校级期末）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0
【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
【点评】此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．
12．（2015秋?河南期末）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）
A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7
【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．
【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函
数，可得≥4，，得a≥9．
故选A．
【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．
13．（2015秋?赤峰期末）若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a 的取值范围是（）
A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥3
【分析】本题中的函数是一个二次函数，由于其在（﹣∞，4]上是递减的，可以得出此区间应该在对称轴的左侧，由此关系得到参数a的不等式，解之即得参数的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴是x=1﹣a
又函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，
∴4≤1﹣a
∴a≤﹣3
故选B
【点评】本题的考点是二次函数的性质，考查由二次函数的性质得到相关参数的不等式，求解析式中的参数的取值范围，属于二次函数的基础考查题．
14．（2015?黄山一模）己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2]B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）【分析】不论t为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对t分类讨论，即t=0、t=2、t＞2，t＜﹣2 讨论f（x）与g（x）的值的正负，排除即可得出答案．
【解答】解：函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．
△=16﹣4×（2﹣t）×1=8+4t，
①当t=0时，f（x）=0，△＞0，g（x）有正有负，不符合题意，故排除C．
②当t=2时，f（x）=2x，g（x）=﹣4x+1，符合题意，
③当t＞2时，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．f（x）=tx，当x取﹣∞时，f（x0）与g（x0）都为负值，不符合题意，故排除D
④当t＜﹣2时，△＜0，∴g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l＞0恒成立，符合题意，故B不正确，故选：A
【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，排除转化思想，是中档题．
15．（2015春?西夏区校级期末）对任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是（）
A．x＜1或x＞2 B．1＜x＜2 C．x＜1或x＞3 D．1＜x＜3
【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．
【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，
只需，
∴，
∴x＜1或x＞3．
故选C．
【点评】此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．
16．（2015秋?淄博校级期末）若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范
围是（）
A．（﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
【分析】分k=0和k≠0两种情况讨论，综合得出k的范围即可．
【解答】解：①k=0时，﹣≥0解集为空，
②k≠0时，
由题意得：，
解得：﹣3＜k＜0，
综合①②得：﹣3＜k≤0．
故选：C．
【点评】本题考察了二次函数的性质，一元二次不等式和二次函数的关系，是一道基础题．
17．（2015春?南安市校级期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）
A．[1，+∞）B．[0.2}C．[1，2]D．（﹣∞，2]
【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解a的取值范围．
【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．
18．（2015秋?河池期末）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）
A．（0，4）B．[4，9）C．[1，9）D．[1，4]
【分析】判断出在区间[3，5）上单调递增，得出即即可．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4，对称轴x=2，
在区间[3，5）上单调递增
∵在区间[3，5）上有零点，
∴
即
解得：1≤m＜9，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题．
19．（2015春?重庆期末）若函数f（x）=x2+mx+m（m∈R）在（﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（4，+∞）D．[4，+∞）
【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性，得到不等式，解出即可．
【解答】解：∵对称轴x=﹣，
若函数f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数，
则：﹣≤﹣2，
∴m≥4，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，对称轴问题，是一道基础题．
20．（2015秋?福建期末）不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≤
【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．
【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，
设t=，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴≤≤1，即≤≤3，
∴≤t≤3，
则+=t+，
∵t+≥2=2，
当且仅当t=，即t=时取等号，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关
键，要求熟练掌握函数f（x）=x+，a＞0图象的单调性以及应用．
21．（2015秋?广西期末）如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间上是减函数，
那么实数a的取值范围是（）
A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
【分析】求出函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴x=，令≥1，即可解出a 的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴x=，
∵函数在区间（，1）上是减函数，
∴（，1）在对称轴的左侧，
∴≥1，得a≥3．
故选D．
【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．
22．（2015秋?东城区期末）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]
【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣（x+1）?a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，构造函数g（x）=x2﹣x﹣1，求出它的值域，得到a的范围即可
【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程a﹣x2=﹣（x+1）?a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，
令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，
由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，
故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，
故a∈[﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a=x2﹣x ﹣1在区间[1，2]上有解．
23．（2015秋?宁城县期末）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的两个零点分别为α，β，（α＜β）则（）
A．a＜α＜b＜βB．α＜a＜b＜βC．a＜α＜β＜b D．α＜a＜β＜b
【分析】可设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），从而得到a，b是函数g（x）的两个零点，可看出f（x）的图象是由g（x）的图象向下平移2个单位得到，从而便可得出α＜a＜b＜β．
【解答】解：设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则a，b是g（x）的两个零点；
函数f（x）的图象可以看成g（x）图象向下平移2个单位得到，且a＜b，α＜β，如图所示：
∴α＜a＜b＜β．
故选B．
【点评】考查函数零点的概念，以及沿y轴方向的平移变换，要熟悉二次函数的图象．
24．（2015秋?大庆校级期末）已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1
【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．
【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，
得a2﹣2a﹣3=0，解得：a=﹣1（舍）或a=3．
再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．
则a+b=3+0=3．
故选：A．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，函数是偶函数或奇函数，其定义域关于原点对称，是基础题．
25．（2015春?龙海市校级期末）若函数f（x）=（m﹣2）x2+（m2﹣1）x+1是偶函数，则在区间（﹣∞，0]上，f（x）是（）
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．可能是增函数，也可能是常数函数
【分析】根据函数f（x）=（m﹣2）x2+（m2﹣1）x+1是偶函数，可得m2﹣1=0，进而分析函数f（x）=（m﹣2）x2+（m2﹣1）x+1的图象形状，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（m2﹣1）x+1是偶函数，
m2﹣1=0，即m=±1．
将m=±1代入函数中，
得二次项系数m﹣2＜0，
所以f（x）的图象是开口朝下，且以y轴为对称轴的抛物线，
所以f（x）在（﹣∞，0]上为增函数．
答案：A
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶及二次函数的图象和性质，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档．
26．（2015春?九江校级期末）已知抛物线y=a（x﹣1）2+h（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（4，0）两点，则x1为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据抛物线的顶点式方程知对称轴x=1=，据此可以求得x1的值．
【解答】解：∵抛物线的解析式是：y=a（x﹣1）2+h（a≠0），
∴该抛物线的对称轴x=1．
又∵抛物线y=a（x﹣1）2+h（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（4，0）两点，
∴1=，
解得，x1=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧在于利用对称轴方程的定义和顶点式解析式的y=a（x﹣1）2+h（a≠0）的顶点（1，h）来求x1的值．
27．（2015春?南昌校级期末）设函数f（x）=﹣2x2+4x在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值所组成的集合为（）
A．[0，3]B．[0，4]C．[﹣1，3] D．[1，4]
【分析】首先求出二次函数的对称轴并且求出此时的函数值，通过与函数的值域的比较得到对称轴在定义域内，结合二次函数的性质得到n与m的范围，进而得到答案．
【解答】解：由题意可得：函数f（x）=﹣2x2+4x的对称轴为x=1，
故当x=1时，函数取得最大值为2．
因为函数的值域是[﹣6，2]，令﹣2x2+4x=﹣6，可得x=﹣1，或x=3．
所以，﹣1≤m≤1，1≤n≤3，
所以，0≤m+n≤4．
即m+n的取值所组成的集合为[0，4]，
故选：B
【点评】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象与其性质，属于中档题．
28．（2015秋?毕节市校级期末）已知f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，则f（x）在区间（﹣4，2）上为（）
A．增函数B．减函数C．先递增再递减 D．先递减再递增
【分析】由f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入可求m，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：因为f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），
所以（m﹣1）x2﹣3mx+3=（m﹣1）x2+3mx+3，
即3m=0，所以m=0，
即f（x）=﹣x2+3，
由二次函数的性质可知，
f（x）=﹣x2+3在区间（﹣4，0）上单调递增，在（0，2）递减，
故选：C．
【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，二次函数在闭区间上单调性及最值求解．
29．（2015春?安溪县校级期末）已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．a≤5 B．a≥5 C．a≤﹣7 D．a≥﹣7
【分析】由函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=（a﹣1）为对称轴的抛物线，此时在对称轴左侧的区间为函数的递减区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4的图象是开口方向朝上，以x=（a﹣1）
为对称轴的抛物线，
若函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4在区间（﹣∞，4）上是减函数，
则（a﹣1）≥4，
解得a≤﹣7．
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．
30．（2015秋?青海校级期末）设x1，x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根，则（）A．|x1|＞2，|x2|＞2 B．|x1+x2|＞4 C．|x1|=4，|x2|=1 D．|x1+x2|＜4
【分析】先有根的判别式得到p的范围，再根据韦达定理即可求出答案．
【解答】解：由方程有两个不等实根知△=p2﹣16＞0，故|p|＞4，又x1+x2=﹣p，所以|x1+x2|＞4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的问题，属于基础题．
考点卡片
1．函数单调性的性质
【知识点的认识】
所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性．它是求函数值域或者比较大小的常用工具．
【解题方法点拨】
定义法、导数法、性质法
①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）．那么就说f（x）在这个区间上是增函数．
②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单调性）若f'（x）＞0则f（x）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个孤立的点的导函数为0仍为递增函数）．
③性质法：n个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数
【命题方向】函数单调性的应用．
作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函数来求解．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2=8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．函数的图象
【知识点的认识】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）?y=f（x﹣a）；
y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）?y=f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y=f（x）y=f（ωx）；
y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）?y=Af（x）．
（3）对称变换：
y=f（x）关于x轴对称?y=﹣f（x）；
y=f（x）关于y轴对称?y=f（﹣x）；
y=f（x）关于原点对称?y=﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边?y=f（|x|）；y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）=x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：又题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
?a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．二次函数的性质
【知识点的认识】
其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
【解题方法点拨】
以y=ax2+bx+c为例：
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=﹣；最值为：f（﹣）；判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个
交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1?x2=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）2+c；
例题：y=2x2+x﹣3
那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣，最小值为f（﹣）=﹣，；△=1+24=25＞0，故方程2x2+x﹣3=0有两个根，其满足x1+x2=﹣；x1?x2=﹣；
另外，方程可以写成（y+）=2（x+）2，当沿x轴向右，在向下平移时，就变
成y=2x2；
【命题方向】
重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运用韦达定理．
6．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f （x）在（a，b）上有唯一的零点．
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
导数与函数的零点 考点一 判断零点的个数 【例1】 (2020·潍坊检测)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R . (1)证明ln x ≤x －1； (2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数. (1)证明 令g (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则g (1)＝0， g ′(x )＝1 x －1＝1－x x ， 可得x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减. ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1. (2)解 f ′(x )＝1 x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x >0. 令－2x 20＋ax 0＋1＝0，解得 x 0＝a ＋a 2＋8 4 (负值舍去)， 在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减. ∴f (x )max ＝f (x 0). 当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1. 当a >1时，f (1)＝a －1>0， f ????12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12 ＝－????12a －122 －14<0， f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2 ????a －122 －12 <0. ∴函数f (x )在区间????12a ，1和区间(1，2a )上各有一个零点. 综上可得：当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a >1时，函数f (x )有两个零点. 规律方法 1.利用导数求函数的零点常用方法：
§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么． 函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即： 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例 1】已知函数 f ( x) x33ax 1,a0 求 f ( x) 的单调区间； 若 f (x) 在x 1 处取得极值，直线y=m 与y f (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间 [0,2]上是增函数，若方程 f ( x) m (m 0) 在区间 [ 8 , 8]上有四个不同的根，则 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足，所以，所以,由为奇函数，所以函数图象关于直 线对称且，由知，所以函数是以8 为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间 [-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以． y f(x)=m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数h( x) f ( f ( x))c的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令f (x) d ，则 h(x) f (d ) c 第一步：先判断 f (d ) c 的零点个数情况 第二步：再判断 f ( x) d 的零点个数情况 【例 2】已知函数 f (x) x33x 设 h(x) f ( f ( x)) c ，其中 c [ 2 ，2] ，求函数 y h(x) 的零点个数 1 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 f ( x) x33ax 29a2 x(a 0) .若方程 f ' ( x) 121nx 6ax 9a2 a 在[l,2]恰好有两 个相异的实根, 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n2 ≈: 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（ 1）要求证一个函数存在零点，只须要用“ 函数零点的存在性定理” 即可证明。 即： 如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是一条连续不断曲线，并且 f ( a) f (b)0 ，则函数 f (x) 在区间a， b上至少有一个零点。即存在一点x0a， b，使得 f (x0)0 ， 这个 x0也就是方程 f (x)0 的根. （2）要求证一个函数“ 有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“ 函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为： 如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是单调函数，并且 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在区间 a， b 上至多有一个零点。 【例 3】设函数f ( x) x39 x26x a ． 2 （ 1）对于任意实数x，f(x) m 恒成立，求 m 的最大值； （ 2）若方程 f ( x) 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系 x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5) 导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020 导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-= 1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t 第16讲-导数与函数的零点 一、 经典例题 考点一 判断零点的个数 【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数． 解 (1)∵ f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2 ，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值 当0 函数极值与导数（基础） 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2?? -- ?? ?内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32?? - ??? 内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12 x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______ 6、函数x x x f ln 1 )(+= 的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值： (1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21 2)(2-+= x x x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． (1)．试求常数a 、b 、c 的值； (2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是． 3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t 方程根的个数 图像法 1. 已知函数?（x ）=2 -x e x （1）求?（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞ （2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况 2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 利用单调性 1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。 （1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f （2）若函数)()(x xf x g =在区间?? ? ??∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3 -=x x f 仅有一个实数根 2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线 （1）求l 的方程 1+-=x y （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 2 1=a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区 间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (] 2,1 分离参数求值域 1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数 （1）求k 的值 2 1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥ 21 人教版高中数学精品资料 高中数学 1.3.2函数的极值与导数练习 新人 教A 版选修2-2 一、选择题 1．(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 [答案] B [解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3 在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2 ，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立． 故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2．函数y ＝14x 4－13x 3 的极值点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] y ′＝x 3 －x 2 ＝x 2 (x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表 3．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3 的极大值点坐标为(b ，c )，则 ad 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 [答案] A [解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3 的极大值点， ∴c ＝3b －b 3 ，且0＝3－3b 2， ∴? ?? ?? b ＝1， c ＝2，或? ?? ?? b ＝－1， c ＝－2.∴a d ＝2. 4．已知f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－16 D ．a <－1或a >2 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根， ∴Δ＝4a 2 －12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 5．已知函数f (x )＝x 3 －px 2 －qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B ．0，4 27 C ．－4 27，0 D ．0，－4 27 [答案] A [解析] f ′(x )＝3x 2 －2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得， ? ?? ?? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得? ?? ?? p ＝2， q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2 ＋x . 由f ′(x )＝3x 2 －4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1， 易得当x ＝13时f (x )取极大值4 27. 当x ＝1时f (x )取极小值0. 6．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 高中数学：利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 (2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间； (3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2x －2x ，∴f ′(1)＝0， 又f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0. (2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2(x －a )(x ＋a )x ， ∵x ＞0，a ＞0， ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数． (3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)． 讨论函数f (x )的零点情况如下： ①当a 2(2ln a －1)＜0，即0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点； ②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1＜a ＝e ＜e 2， ∴f (x )在(1，e 2)内有一个零点； ③当a 2(2ln a －1)＞0，即a ＞e 时， 由于f (1)＝－1＜0，f (a )＝a 2(2ln a －1)＞0，f (e 2)＝2a 2lne 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)， 当2a －e 2＜0，即 e ＜a ＜e 22时，1＜e ＜a ＜e 22＜e 2，f (e 2)＜0， 由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )内有唯一零点x 1，在(a ， 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求的单调区间； （2）若在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根？ 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(31)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-= （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若函数)(x f y =在R 上恰有5个零点，求实数a 的取值范围。函数的极值与导数教学设计一等奖
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