第40届IMO试题

第40届

1. 试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；对任何两个S中不同的点A,B，AB的垂直平分线是S的一个对称轴。

2. 设n ≥ 2是一个给定的整数，是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x1, ... , xn如下不等式成立：

∑i

并判断何时等号成立。

3. 给定一个n×n的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的，但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当它们被标记之后，棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。

4. 试找出所有的正整数对(n,p)，使得p是素数，n ≤ 2p并且(p-1)n+1可被np-1整除。

5. 圆Γ有两个内切圆Γ1 ,Γ2，切点分别是M,N，Γ1经过Γ2的圆心。Γ1,Γ2的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线MA,MB分别交Γ1分别于E,F。求证：EF于Γ2相切。

6. 试找出所有的函数f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1对所有x,y ∈R都成立。其中R表示实数集。