初中数学平行线的性质综合练习题
一、单选题
1.给出下列4个命题：
①同旁内角互补；
②相等的角是对顶角；
③等角的补角相等；
④两直线平行，同位角相等.其中，假命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,直线//AB CD ,70,40A C ∠=?∠=? ,则E ∠等于( )
A.30?
B.40?
C.60?
D.70?
3.含30?角的直角三角板与直线12l l 、的位置关系如图所示,已知12//l l ,ACD A ∠=∠ ,则1∠= ( )
A.70?
B.60?
C.40?
D.30?
4.将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则1∠的度数是( )
A. 30?
B. 45?
C.75?
D. 105?
5.如图，CD AB ，点O 在AB 上，OE 平分110BOD OF OE D ∠⊥∠?，，＝，则AOF ∠的度数是（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35° 6.如图,直线,25,45AB CD A C ∠=?∠=?,则P ∠的度数为( )
A.25°
B.45°
C.20°
D.15°
7.如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=?,则2∠的度数是( )
A.30
B.40?
C.50?
D.60?
二、证明题
8.如图,已知,,ABC ADC BF DE ∠=∠分别平分ABC ∠与,13ADC ∠∠=∠,试说明://AB DC .
9.如图，E 为DF 上的点，B 为AC 上的点，//,DF AC C D ∠=∠，求证：21∠=∠．
10.如图，已知//AD BE ，12∠∠＝，求证:A E ∠∠＝.
11.如图，已知//AB CD ，CE ，BE 的交点为E ，现作如下操作:
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ；
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ；
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ；
…；
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为E .
（1）如图1，说明:BEC ABE DCE ∠∠∠＝＋；
（2）如图2，说明:214
BE C BEC ∠∠＝；
（3）猜想:若n E α∠＝度，那么BEC ∠等于多少度？（直接写出结论）
12.完成下面的证明过程:
已知:如图，123D ∠?＝
，57EFD ∠?＝，12∠∠＝. 说明:3B ∠∠＝
解:123D ∠?＝，57EFD ∠?＝（已知），
180D EFD ∴∠∠?＋＝.
AD ∴∥ （ ）
又12∠∠＝（已知），
∴ ∥BC （内错角相等，两直线平行）
EF ∴∥ （ ）
3B ∴∠∠＝（两直线平行，同位角相等）
13.如图,在三角形ABC 中,点,D F 在边BC 上,点E 在边AB 上,点G 在边AC 上,
//,1180AD EF FEA ∠+∠=?.
求证: .CDG B ∠=∠
14.如图,已知AD BC ⊥,EF BC ⊥,12∠=∠.
求证: //DG BA .
证明:∵AD BC ⊥,EF BC ⊥ (已知)
∴90EFB ADB ∠=∠=? ( )
∴ // ( )
∴1BAD ∠=∠ ( )
又∵12∠=∠ (已知)
∴ (等量代换)
∴//DG BA . ( )
三、探究题
15、 已知直线l 1∥l 2,且l 3、l 4和l 1、l 2分别交于A 、B 和C 、D 两点,(如图)点P 在AB 上.设∠ADP=∠1,∠DPC=∠2,∠BCP=∠3
(1)探究∠1、∠2、∠3之间的关系,下面给出推导过程请你填写理由.
解:过点P 作PE∥l 1
∵PE∥l 1(已作)
∴∠1=∠DPE(_________)
∵PE∥l 1,l 1∥l 2(已知)
∴PE∥l 2(_________)
∴∠3=∠EPC(_________)
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3(_________)
(2)如果点P 在A 、B 两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化?
(3)如果点P 在A 、B 两点外侧运动时,猜想∠1、∠2、∠3之间的关系(点P 和A 、B 不重合).
四、解答题
16.如图，//CD AB ，点O 在AB 上，OE 平分110BOD OF OE D ∠⊥∠=?,,.
（1）求DOE ∠的度数；
（2）OF 平分AOD ∠吗？请说明理由.
17.一天李小虎同学用《几何画板》画图,他先画了两条平行线AB ，CD ,然后在平行线间画了一点E ,连接BE ,CE 后(如图(1)所示),他用鼠标左键点住点E ,拖动后,分别得到图(2)(3)(4),这时突然想B ∠,D ∠与BED ∠之间的度数有没有某种联系呢?接着李小虎同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系.
(1)你能探讨出图(1)至(4)中的B ∠,D ∠与BED ∠之间的关系吗?
(2)请从所得的四个关系中,选一个说明它成立的理由.
18.如图，点D F ，在线段AB 上，点E G ，分别在线段BC 和AC 上，//CD EF ，12∠=∠．
（1）判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由；
（2）若DG 是ADC ∠的平分线，385∠=?，且:9:10DCE DCG ∠∠=，试说明AB 与CD 有怎样的位置关系？
19.回答下列问题：
（1）已知ABC ∠,射线//ED AB ,如图,1过点E 作DEF ABC ∠=∠,说明//BC EF 的理由．
（2）如图,2已知ABC ∠,射线//ED AB ,180ABC DEF ∠+∠=?,判断直线BC 与直线EF 的位置关系，并说明理由．
（3）根据以上探究，你发现了一个什么结论？请你写出来．
五、填空题
20.如图，//,AB CD EF 分别与,AB CD 交于点,B F .若30130E EFC ∠=?∠=?，，则A ∠=_________.
21.一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于点,A CD 平行于地面AE ，若150BCD ∠=?，则ABC ∠=__________度.
22.如图，//,AB CD EF 分别与,AB CD 交于点,B F 若30130E EFC ∠=?∠=?，，则A ∠=______.
23.如图，已知//,30AD BC B ∠=?，DB 平分ADE ∠，则DEC ∠=______.
24.已知直线//a b ，//b c ，则直线a ，c 的位置关系是 。
25.如图，已知//,100DE BC ABC ∠=?，点F 在射线BA 上，且120EDF ∠=?，则DFB ∠的度数为 ．
26.如图所示，1100,3110,2100∠=?∠=?∠=?，则4∠的度数为 ．
参考答案
1.答案：B
解析：
2.答案：A
解析：如图,
∵//AB CD ,70A ∠=? ,
∴170A ∠=∠=?,
∵1,40C E C ∠=∠+∠∠=?,
∴1704030E E ∠=∠-∠=?-?=?.
故选A.
3.答案：B 解析：∵30ACD A ∠=∠=?，
∴60CDB A ACD ∠=∠+∠=?，
∵12//l l ，
∴160CDB ∠=∠=?，
故选：B.
4.答案：C
解析：
5.答案：D
解析：
6.答案：C
解析：AB CD ,
45A P C ∴∠+∠=∠=?,
20P C A ∴∠=∠-∠=?.
故选C.
7.答案：C
解析：如图,标注3∠,因为3∠为三角形的外角,所以1302030503∠+?=?+?=?=∠,又因为两直线平行,同位角相等,所以2350∠=∠=?.
故选C.
8.答案：证明：∵BF DE 、分别平分ABC ∠和ADC ∠
∴21?22ABC ADC ∠=∠∠=∠， (角平分线的性质)
∴12∠=∠（等量代换）
∵13∠=∠（已知）
∴23∠=∠（等量代换）
∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）
解析：
9.答案：证明：//DF AC ，
C CEF ∴∠=∠，
又C D CEF D ∠=∠∴∠=∠，，
//34BD CE ∴∴∠=∠，， 又
3241∠=∠∠=∠，， 21∴∠=∠．
解析：
10.答案：证明://AD BE （已知）,
3A ∴∠∠＝（两直线平行，同位角相等）.
12∠∠＝（已知）,
//DE AC ∴（内错角相等，两直线平行）.
3E ∴∠∠＝（两直线平行，内错角相等）.
A E ∴∠∠＝等量代换）.
解析：
11.答案：解:（1）如图，过点E 作//EF AB 。
//AB CD ，////AB EF CD .1ABE ∴∠∠＝，2DCE ∠∠＝.12BEC ∠∠∠＝＋，BEC ABE DCE ∴∠∠∠＝＋.
（2）ABE ∠和DCE ∠的平分线的交点为1E ，
∴由（1）可得，111111222
CE B ABE DCE ABE DCE BEC ∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝. 1ABE ∠和1DCE ∠的平分线的交点为2E ，
∴由（1）可得，22211111112224
BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∠∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝＝. （3）2ABE ∠和2DCE ∠的平分线的交点为3E ，
33322211112228
BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝＝. 解析：
12.答案：EF 同旁内角互补,两直线平行 AD BC
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
解析：123D ∠=?,57EFD ∠=? (已知),
180D EFD ∴∠+∠=?,
AD EF ∴∥ (同旁内角互补,两直线平行).
又12∠=∠(已知),
AD BC ∴∥ (内错角相等,两直线平行).
EF BC ∴∥ (如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行) 3B ∴∠=∠ (两直线平行,同位角相等)
13.答案：证明:
∵//AD EF (已知),
23∴∠=∠ (两直线平行,同位角相等)
∵1180,2180FEA FEA ∠+∠=?∠+∠=?∠1,
12∴∠=∠ (同角的补角相等)
13∴∠=∠ (等量代换),
//DG AB ∴ (内错角相等,两直线平行)
CDG B ∴∠=∠ (两直线平行,同位角相等)
解析：
14.答案：证明:∵AD BC ⊥,EF BC ⊥ (已知)
∴90EFB ADB ∠=∠=? (垂直定义)
∴EF //AD (同位角相等,两直线平行)
∴1BAD ∠=∠ (两直线平行,同位角相等)
又∵12∠=∠ (已知)
∴2BAD ∠=∠ (等量代换)
∴//DG BA . (内错角相等,两直线平行)
解析：
答案： 15、
16.答案：（1）55DOE ∠=?；
（2）OF 平分AOD ∠．理由见解析.
解析：(1) //CD AB ,110BOD D ∴∠=∠=?,OE 平分BOD ∠1552
DOE BOD ∴∠=∠=?. (2)OF OE ⊥，90FOE ∴∠=?，905535DOF ∴∠=?-?=?，又18070AOD BOD ∠=?-∠=?，703535AOF ?∴-?∠==?，AOF DOF ∴∠=∠，OF ∴平分AOD ∠.
17.答案：解:1.图(1):BED B D ∠=∠+∠;图(2):360B BED D ∠+∠+∠=?;图
(3):BED D B ∠=∠-∠;图(4):BED B D ∠=∠-∠.
2.选图(3).理由如下:如图所示,过点E 作//EF AB .因为//AB CD 所以//EF CD ,所以D DEF ∠=∠,B BEF ∠=∠ ,因为BED DEF BEF ∠=∠-∠,所以BED D B ∠=∠-∠. 解析：
18.答案：（1）解：//DG BC ,理由如下
//,2CD EF DCE ∴∠=∠
12,1DCE ∠=∠∴∠=∠
//DG BC ∴
（2）AB CD ⊥,理由如下
:9:10DCE DCG ∠∠=
∴设9DCE x ∠=，则10DCG x ∠=
在DCG △中，13180DCG ∠+∠+∠=?
且1DCE ∠=∠，385∠=?
91085180x x ∴++?=?
解得5x =
1945DCE x ∴∠=∠==?
又2124590ADC ∠=∠=??=?
AB CD ∴⊥
解析：
19.答案：解：（1）//ED AB ，B DOC ∴∠=∠，
DEF ABC ∠=∠，DOC DEF ∴∠=∠，
//BC EF ∴；
（2）//ED AB ，B BOE ∴∠=∠，
180ABC DEF ∠+∠=?，
180BOE DEF ∴∠+∠=?，
//BC EF ∴；
（3）由（1）、（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行； 解析：
20.答案：20?
解析：本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理.因为//AB CD ，所以130ABE EFC ∠=∠=?.在ABE 中，180A E ABE ∠+∠+∠=?，所以1801803013020A E ABE ??∠=-∠-∠=-?-=??.
21.答案：120
解析：连接BF ，//BF CD ，//,////CD AE CD BF AE ，
180,180CBF BCD ABF BAE ??∴∠+∠=∠+∠=，
150,90BCD BAE ??∠=∠=，
30,90CBF ABF ??∴∠=∠=，
120ABC ?∴∠=.
22.答案：20?
解析：//AB CD ∵,180ABF EFC ∠+∠=?∴,
130EFC ∠=?∵,
50ABF ∠=?∴,
50A E ABF ∠+∠=∠=?∵,
30,20E A ∠=?∠=?∴。
23.答案：60?
解析：
24.答案：//a c
解析：
25.答案：20?或140?
解析：解：分两种情况：
①如图，延长ED 交AB 于G ，
//,100,DE BC FGD B ∴∠∠=?
又120,12010020EDF DFB ∠=?∴∠=?-?=?； ②如图，过F 作//FG BC ，
////,DE BC FG DE ∴，
180,180D DFG B BFG ∴∠+∠=∠+∠=°°， 又100,120,ABC EDF ∠=?∠=?
80,60,BFG DFG ∴∠=?∠=?
140DFB ∴∠=?，
故答案为：20?或140?．
26.答案：70?
解析：解：1100,2100∠=?∠=?，
12,//AB CD ∴∠=∠∴，
34180∴∠+∠=?，
又3110,470∠=?∴∠=?，
故答案为：70?．