2015-2016(2)《高等数学》（Ⅱ）期末复习
基础题
1．求下列微分方程的通解或特解：
(1) 09=+''y y ，9)0(,1)0(='=y y ； (2)690y y y ''++=，(0)1,(0)1y y '== (3) 22y y x '''+=； （4）2323e x y y y '''-+=； （5）2433e x y y y x '''-+= ． 2．设函数44224z x y x y =++，求
11
,,x y z z
dz x y
==????．
3．设2
2
(,e )x
y z f xy -=，其中f 具有一阶连续偏导数，求
,z z x y
????． 4．设(),z f x y =是由方程323z xyz a -=所确定的隐函数，求
,z z x y
????． 5．设3
e cos x
z y x y -=+，求2,,.z z z
x y x y
???????．
6．设(,)z z x y =由方程20z e z xy +--=所确定的隐函数，求
z x ??，z y ??． 7．设22(,sin )z f x y x =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求
??z x ，??z
y
，d z ． 8．设23e x y z +=，而2sin ,x t y t ==，求
d d t z
t
=．
9．设(,)z z x y =由方程xyz x y z =++所确定，求
z x ??，z
y
??，d z ． 10．设(,arctan )z f x y x y =+，其中f 具有一阶连续偏导数，求
??z x ，??z
y
． 11．设函数y x z xy x y =+-，求d z ，2z
x y
???．
12．设2cos z u v =，222u x y =+，v xy =，求??z x ，??z
y
． 13．求函数226810z x x y y =--++的极值．
14．求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值．
15．一平面过原点且与平面132=++z y x 与156=+-z y x 垂直，求该平面方程． 16．求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和23=-y x 平行的直线方程． 17．求空间曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程及法平面方程． 18．求曲面222169x y z ++=在点0(3,4,12)M 处的切平面方程和法线方程． 19．求函数2
2
1ln()4z x y x y
=
+---的定义域，并画出定义域的图形．
20．计算积分d d D
I xy x y =??，其中D 是由曲线1xy =,直线,3y x x ==所围成的闭区域.
21．计算D
I ydxdy =??,其中D 由221,0x y y x y +===及所围成的在第一象限内的闭区域．
22．计算22(1)d D
I x y σ=++??，其中D 是由圆周229x y +=及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域．
23．计算积分2(32)d D
I x y σ=+??，其中平面区域D 是由,1y x x ==与x 轴围成的.
24．设平面薄片所占的闭区域D 由22
4x y +=所围成,它的面密度为22
(,)x y x y e μ--=,求该
薄片的质量． 25．判定级数1!
5
n
n n ∞
=∑
的敛散性． 26．判断级数13!n
n n n n ∞
=?∑的敛散性．
27．判断级数1
2(1)
5n n
n n ∞
=+∑的敛散性 28．判定级数21533
n n n ∞
=??
+ ???∑的敛散性．
29．判定级数()
1
11
1(1)
n n n n ∞
-=-+∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
30．判定级数1
(1)3
n
n n n
∞
=-∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
提高题
1．设函数(,)z z x y =由方程222z x y z yf y ??
++= ???
所确定，其中f 可导．证明：
222()22z z
x y z xy xz x y
??--+=??． 2．设(,)z z x y =由(,)0F x z y z ++=所确定，其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数，求证 1z z x y
??+=-??．
3．设()f x 在闭区间[0,1]上连续，且 1 0
()d f x x A =?，证明： 1 1
2
1d ()()d 2
x
x f x f y y A =
??． 4．已知级数1
n n a ∞=∑与1
n n b ∞=∑都收敛，且(1,2,3,)n n n a c b n ≤≤= ，证明：级数1
n n c ∞
=∑收敛。
5．设函数(),z f x y =在点()1,1处可微，且()1,1
1f =，()
1,12f
x ?=?，
()
1,13f y ?=?，
()()(),,x f x f x x ?=，求
()3
1d d x x x
?=． 6．已知()x ?在[)0,+∞上连续，且
() 0
d n
x x n ?≤?，又()1
d n n
D
a n x
y ?σ-=??，其中
(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ ()1,2,3,n = ，试证明级数21
n n a ∞
=∑收敛．
7．设10u >，11u ≠，2
n+11(1)2n n u u u =+，1,2,n = 。试讨论级数1
n n u ∞
=∑的敛散性．
8．已知级数12011n n n n n a a a a a a ∞+=-??+- ???
∑收敛，且12111, n n n a a a a a +-===+，(2,3,)n = ，
试判断1
n n a ∞
=∑的敛散性．
9．设(,)f x y 在闭区域22{(,)|,0}D x y x y y x =+≤≥上连续，且
228
(,)1(,)d πD
f x y x y f x y σ=---
??，求(,)f x y