一、填空题（共21分 每小题3分）
1．曲线???=+=0
12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．
2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．
4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．
5．设周期函数在一个周期的表达式为???≤<+≤<-=,
0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π
+．
6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =．
7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．
二、解答题（共18分 每小题6分）
1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0
2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11
11121=--=k j i n (4分)
所求平面方程为 032=++z y x (6分)
2．将积分???Ω
v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面
)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．
解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
3．计算二重积分??+-=D y x y x e
I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D
解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??--=-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202
d 221r
e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）
1．设v
ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x
v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分)
)2(223xy x y e x ue y e y
v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)
2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y
z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z
-=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分)
xy
e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分
?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有
向弧段．
解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林
公式 ????+--=+-OA D
L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-?
=022 (7分) 4．设曲线积分
?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．
解： 由x
Q y P ??=?? 得 )()(x f x f e x '=+， 即x e x f x f =-')()( (3分)
所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x +?=??---?
)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x
． (7分) 5．判断级数∑∞
=12
)!2()!(n n n 的敛散性．
解： 因为 )!
2()!()!22(])!1[(lim lim 22
1n n n n u u n n n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim 2
+++=∞→n n n n 14
1<= (6分) 故该级数收敛． (7分)
四、（7分）计算曲面积分??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球 面2
21z y x --=的上侧．
解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得
??∑++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑+∑++=1
d d d d d d y x z x z y z y x
??∑++-1
d d d d d d y x z x z y z y x (4分)
0d 3-=???Ω
v (6分)
3
4213π??=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的接三角形中，求其面积为最大的三角形．
解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，
且面积为)sin sin (sin 2
12z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)
由 ???????=++=+==+==+=π
λλλ20
cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z y x (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 32
32=?． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)
六、（8分）求级数∑∞
=1n n n x 的收敛域，并求其和函数．
解： 1)1(lim lim 1
=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；
当1=x 时， 级数为调和级数，发散．
故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)
设和为)(x S ，即∑∞
==1)(n n
n x x S ，求导得
∑∞=-='11)(n n x x S x
-=
11， (6分) 再积分得 ?'=
x x x S x S 0d )()( x x
x d 110?-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式
???+=y x x y
t t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )( 对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．
解：等式两边对y 求偏导得
)(d )()(1y f x t t f y x f x x
+=? (2分) 上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有
?+=x
x t t f x xf 13d )()(． (3分)
由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得
3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>=
'x x x f ． 故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．
因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分)
八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
解1：由线性微分方程解的结构定理知x e
2与x e -是对应齐次方程的两个线性无 关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为
)(2x f y y y =-'-'' 将x xe y =代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
解2：由线性微分方程解的结构定理知x e
2与x e -是对应齐次方程的两个线性无 关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y
-++=221是所 求微分方程的通解，从而有
x x x x e C e C xe e y --++='2212， x x x x e C e C xe e y -+++=''22142
消去21,C C ，得所求的微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
06高数B 一、填空题（共30分 每小题3分）
1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．
2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．
3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则???Ω
v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是
???-221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ ． 5. 设L 是圆周22x x y -=
，取正向，则曲线积分=+-?L y x x y d d π
2． 6. 幂级数∑∞=--1
1)1(n n
n n x 的收敛半径1=R ． 7．设级数∑∞
=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 8．设周期函数在一个周期的表达式为???≤<≤<-=,
0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅 里叶级数在π=x 处收敛于2π
．
9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为 C xy =．
10．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．
二、解答题（共42分 每小题６分）
1．求过点)1,2,1(且垂直于直线???=+-+=-+-0
3202z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11
11121=--=k j i n (4分)
所求平面方程为 032=++z y x (2分)
2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求x
z ??． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)
则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分)