F E
D C
B A 2019中考分类汇编 解直角三角形
一、选择题:
2.(2019年天津)?60sin 2的值等于
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 【答案】B
【解析】锐角三角函数计算,?60sin 2=2×2
3
=3,故选A.
2.(2019年厦门)如图1,在△ACB 中,∠C =90°,则BC
AB 等于
A .sin A
B . sin B
C .tan A
D . tan B A 【解析】本题考查了锐角三角函数的定义。即在直角三角形中,锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦。,锐角A 的邻边与斜边的比叫做锐角A 的余弦。,锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切。根据定义可知BC
AB 是锐角A 的正弦或锐角B 的
余弦,结合选项知选A.
10.(2019重庆B )如图,AB 是垂直于水平面的建筑物,为测量AB 的高度,小红从建筑底端B 点出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC=BC ,在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 的高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)i =1︰2.4,那么建筑物AB 的高度约为( )(参考数据sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°
≈0.51)
A 、65.8米;
B 、71.8米;
C 、73.8米;
D 、119.8米. 提示:作DG ⊥BC 于G ,延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52,i =1︰2.4,易得DG=20,CG=48,所以BH=DE+DG=20.8,EH=BC+CG=100,所以AH=51.答案B.
10.(2019年重庆A )(4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i =1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD .测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC =26米,在距山脚点A 水平距离6米的点E 处,测得古树顶端D 的仰角∠AED =48°(古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上,古树CD 与直线AE 垂直),则古树CD 的高度约为( ) (参考数据:sin48°≈0.73,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
图1 C
B
A
A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米
【分析】如图,根据已知条件得到=1:2.4=,设CF=5k,AF=12k,根据勾股定理得到AC==13k=26,求得AF=10,CF=24,得到EF=6+24=30,根据三角函数的定义即可得到结论.
【解答】解:如图,∵=1:2.4=,
∴设CF=5k,AF=12k,
∴AC==13k=26,
∴k=2,
∴AF=10,CF=24,
∵AE=6,
∴EF=6+24=30,
∵∠DEF=48°,
∴tan48°===1.11,
∴DF=33.3,
∴CD=33.3﹣10=23.3,
答:古树CD的高度约为23.3米,
故选:C.
8.(2019浙江温州)(4分)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为()
A.米B.米C.米D.米【分析】根据题意作出合适的辅助线,然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长.【解答】解:作AD⊥BC于点D,
则BD=0.3=,
∵cosα=,
∴sinα=,
解得,AB=米,
故选:B.
6.(2019浙江金华丽水)(3分)如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的位置表述正确的是()
A.在南偏东75°方向处B.在5km处
C.在南偏东15°方向5km处D.在南偏东75°方向5km处
【分析】根据方向角的定义即可得到结论.
【解答】解:由图可得,目标A在南偏东75°方向5km处,
故选:D.
【点评】此题主要考查了方向角,正确理解方向角的意义是解题关键.
2(2019长沙)如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile 的小岛
A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的
B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是
A .
303 n mile B .60 n mile C .120 n mile D .
(30303)+ n mile
3.(2019河北)(3分)如图,从点C 观测点D 的仰角是( )
A .∠DAB
B .∠DCE
C .∠DCA
D .∠ADC
【分析】根据仰角的定义进行解答便可.
【解答】解:∵从点C 观测点D 的视线是CD ,水平线是CE , ∴从点C 观测点D 的仰角是∠DCE , 故选:B .
8.(2019苏州)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度,将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上,若测角仪的高度为1.5m ,测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ,则教学楼的高度是( ) A .55.5m
B .54m
C .19.5m
D .18m
8.【分析】考察30o 角的三角函数值,中等偏易题目 【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ,
在Rt ADE V 中,tan30AE
DE
=o 3
18318m AE ∴=?
= 30°
C
D 183
DE BC ==30°
A
E
18 1.519.5m AB ∴=+=
故选C
9.(2019四川凉山州)(4分)如图,在△ABC 中,CA =CB =4,cos C =,则sin B 的值为( )
A .
B .
C .
D .
【分析】过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D ,在Rt △ACD 中可求出AD ,CD 的长,在Rt △ABD 中,利用勾股定理可求出AB 的长,再利用正弦的定义可求出sin B 的值. 【解答】解:过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D ,如图所示. 在Rt △ACD 中,CD =CA ?cos C =1, ∴AD =
=
;
在Rt △ABD 中,BD =CB ﹣CD =3,AD =,
∴AB ==2,
∴sin B ==
.
故选:D .
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理,通过解直角三角形及勾股定理,求出AD ,AB 的长是解题的关键.
3.(2019广州)(3分)如图,有一斜坡AB ,坡顶B 离地面的高度BC 为30m ,斜坡的倾斜角是∠BAC ,若tan ∠BAC =,则此斜坡的水平距离AC 为( )
A.75m B.50m C.30m D.12m
【分析】根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数即可求得AC的长,本题得以解决.
【解答】解:∵∠BCA=90°,tan∠BAC=,BC=30m,
∴tan∠BAC=,
解得,AC=75,
故选:A.
9.(2019浙江杭州)(3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于()
A.a sin x+b sin x B.a cos x+b cos x
C.a sin x+b cos x D.a cos x+b sin x
【分析】根据题意,作出合适的辅助线,然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离,本题得以解决.
【解答】解:作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,
∴∠EAB=x,
∴∠FBA=x,
∵AB=a,AD=b,
∴FO=FB+BO=a?cos x+b?sin x,
故选:D.
8.(2019浙江金华丽水)(3分)如图,矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m,∠BAC =∠α,则下列结论错误的是()
A.∠BDC=∠αB.BC=m?tanαC.AO=D.BD=
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=DC,再解直角三角形求出即可.
【解答】解:A、∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴AO=OB=CO=DO,
∴∠DBC=∠ACB,
∴由三角形内角和定理得:∠BAC=∠BDC=∠α,故本选项不符合题意;
B、在Rt△ABC中,tanα=,
即BBC=m?tanα,故本选项不符合题意;
C、在Rt△ABC中,AC=,即AO=,故本选项符合题意;
D、∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB=m,
∵∠BAC=∠BDC=α,
∴在Rt△DCB中,BD=,故本选项不符合题意;
故选:C.
8.(2019山东泰安)(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,
然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为()km.
A.30+30B.30+10C.10+30D.30
【分析】根据题意得,∠CAB=65°﹣20°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=30,过B作BE⊥AC于E,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:根据题意得,∠CAB=65°﹣20°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=30,过B作BE⊥AC于E,
∴∠AEB=∠CEB=90°,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,AB=30,
∴AE=BE=AB=30km,
在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,
∴CE=BE=10km,
∴AC=AE+CE=30+10,
∴A,C两港之间的距离为(30+10)km,
故选:B.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,方向角问题,三角形的内角和,是基础知识比较简单.
3.(2019山东威海)((3分)如图,一个人从山脚下的A点出发,沿山坡小路AB走到山顶B点.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度,下列按键顺序正确的是()
A.B.
C.D.
【分析】在△ABC中,通过解直角三角形可得出sin A=,则AB=,即可得出结论.
【解答】解:在△ABC中,sin A=sin20°=,
∴AB==,
∴按键顺序为:2÷sin20=
故选:A.
11.(2019湖北宜昌)(3分)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为()
A.B.C.D.
【分析】过C作CD⊥AB于D,首先根据勾股定理求出AC,然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值.
【解答】解:如图,过C作CD⊥AB于D,则∠ADC=90°,
∴AC===5.
∴sin∠BAC==.
故选:D.
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.11.(2019广西南宁)(3分)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C 处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)()
A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米
【分析】过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,设DF=x,根据锐角三角函数的定义表示OF的长度,然后列出方程求出x的值即可求出答案.
【解答】解:过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,
设DF=x,
∵tan65°=,
∴OF=x tan65°,
∴BD=3+x,
∵tan35°=,
∴OF=(3+x)tan35°,
∴2.1x=0.7(3+x),
∴x=1.5,
∴OF=1.5×2.1=3.15,
∴OE=3.15+1.5=4.65,
故选:C.