主成分和聚类分析应用于淮南矿区地下水水质评价
作者：蒋群， 许光泉， 梁修雨， JIANG Qun， XU Guang-quan， LIANG Xiu-yu
作者单位：安徽理工大学资源与环境工程系,安徽淮南,232001
刊名：
能源环境保护
英文刊名：ENERGY ENVIRONMENTAL PROTECTION
年，卷(期)：2007,21(2)
被引用次数：7次
参考文献(6条)
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本文读者也读过(10条)
1.吕晋.邬红娟.林济东.崔博.卢媛媛.LU Jin.WU Hong-juan.LIN Ji-dong.Cui Bo.LU Yuan-yuan主成分及聚类分析在水生态系统区划中的应用[期刊论文]-武汉大学学报（理学版）2005,51(4)
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7.茅于轼在印度思考中国[期刊论文]-中国民营科技与经济2007(8)
8.张晓伟.沈冰.黄领梅.孟彩侠.李淼主成分分析法在地下水水质综合评价中的应用[会议论文]-2006
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引证文献(7条)
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3.陈飞龙.李松林.石娇娇.曹丹.刘绪庆洪泽湖断面水质状况评价及分析[期刊论文]-中国西部科技 2009(25)
4.徐浙峰.冯梅盐河水质的统计分析评价和插值预测[期刊论文]-黑龙江环境通报 2008(2)
5.刘楠.王玉杰.储小院.王云琦.吴云.陈林缙云山不同土地利用类型暴雨径流水质研究[期刊论文]-安徽农业科学2009(12)
6.蒋同斌废黄河水质多元化的统计分析[期刊论文]-数学的实践与认识 2011(23)
7.周广峰.刘欣主成分分析法在水环境质量评价中的应用进展[期刊论文]-环境科学导刊 2011(1)
引用本文格式：蒋群.许光泉.梁修雨.JIANG Qun.XU Guang-quan.LIANG Xiu-yu主成分和聚类分析应用于淮南矿区地下水水质评价[期刊论文]-能源环境保护 2007(2)
北京建筑工程学院 理学院信息与计算科学专业实验报告 课程名称《数据分析》实验名称《主成分分析和聚类分析》实验地点：基础楼C-423日期__2016.5.5_____ 姓名张丽芝班级信131 学号201307010108___指导教师王恒友成绩 【实验目的】 （1）熟悉利用主成分分析进行数据分析，能够使用SPSS软件完成数据的主成分分析； （2）熟悉利用聚类分析进行数据分析，能够运用主成分分析的结果，做进一步分析，如聚类分析、回归分析等，能够使用SPSS软件完成该任务。 【实验要求】 根据各个题目的具体要求，分别运用SPSS软件完成实验任务。 【实验内容】 1、表4.9（数据见exercise4_5.txt）给出了1991年我国30个省市、城镇居民的月平均消 费数据，所考察的八个指标如下：（单位均为元/人） X1: 人均粮食支出；X2：人均副食支出； X3: 人均烟酒茶支出；X4: 人均其他副食支出； X5:人均衣着商品支出；X6: 人均日用品支出； X7: 人均燃料支出；X8: 人均非商品支出。 （1）求样本相关系数矩阵R。 （2）从R出发做主成分分析，求出各主成分的贡献率及前两个主成分的累积贡献率； 2、（1）对题1中的数据，按照原有的八个指标，对30个省份进行聚类，给出分为3
类的聚类结果。 （2）利用题1得到的前2个主成分指标，分别按最短距离法（最近邻居距离）、最长距离法（最远邻居距离）、类平均距离法（组间平均距离）、重心距离法；其中距离均采用欧式平方距离，对样本进行谱系聚类分析，并画出谱系聚类图；给出分为3类的聚类结果。并与（1）的结果进行比较 【实验步骤】（此部分主要包括实验过程、方法、结果、对结果的分析、结论等） 1 1） 2） 表:方差贡献率和累计贡献率
主成分分析的操作过程 原始数据如下（部分） 调用因子分析模块（Analyze―Dimension Reduction―Factor），将需要参与分析的各个原始变量放入变量框，如下图所示：
单击Descriptives按钮，打开Descriptives次对话框，勾选KMO and Bartlett’s test of sphericity选项（Initial solution选项为系统默认勾选的，保持默认即可），如下图所示，然后点击Continue按钮，回到主对话框： 其他的次对话框都保持不变（此时在Extract次对话框中，SPSS已经默认将提取公因子的方法设置为主成分分析法），在主对话框中点OK按钮，执行因子分析，得到的主要结果如下面几张表。 ①KMO和Bartlett球形检验结果：
KMO为0.635>0.6，说明数据适合做因子分析；Bartlett球形检验的显著性P值为 0.000<0.05，亦说明数据适合做因子分析。 ②公因子方差表，其展示了变量的共同度，Extraction下面各个共同度的值都大于0.5，说明提取的主成分对于原始变量的解释程度比较高。本表在主成分分析中用处不大，此处列出来仅供参考。 ③总方差分解表如下表。由下表可以看出，提取了特征值大于1的两个主成分，两个主成分的方差贡献率分别是55.449%和29.771%，累积方差贡献率是85.220%；两个特征值分别是3.327和1.786。 ④因子截荷矩阵如下：
根据数理统计的相关知识，主成分分析的变换矩阵亦即主成分载荷矩阵U 与因子载荷矩阵A 以及特征值λ的数学关系如下面这个公式： λi i i A U = 故可以由这二者通过计算变量来求得主成分载荷矩阵U 。 新建一个SPSS 数据文件，将因子载荷矩阵中的各个载荷值复制进去，如下图所示： 计算变量（Transform-Compute Variables ）的公式分别如下二张图所示：
主成分分析 起源及发展 主成分分析是1901年Pearson对非随机变量引入的，1933年Hotelling将此方法推广到随机向量的情形，主成分分析和聚类分析有很大的不同，它有严格的数学理论作基础。 原理 在用统计分析方法研究多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。主成分分析是对于原先提出的所有变量，将重复的变量（关系紧密的变量）删去多余，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。 设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统 计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上用来降维的一种方法。 应用学科 主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用，是一种常用的多变量分析方法。 评价步骤 1）对原始数据进行标准化处理 假设进行主成分分析的指标变量有m个：,,…,，共有n个评价对象，第i个评价对象的第j个指标的取值为。将各指标值转换成标准化指标，有 ，（i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m）
其中， , ，即为第j个指标的样本均值和样本标准差。对应地，称 ，（j =1,2,…,m） 为标准化指标变量。 2）计算相关系数矩阵R 相关系数矩阵, 有 , （i,j =1,2,…,m） 式中，=，是第i个指标与第j个指标的相关系数。 3）计算特征值和特征向量 计算相关系数矩阵R的特征值，及对应的特征向量，其中，由特征向量组成m个新的指标变量: ? 式中是第1主成分，是第2主成分，…，是第m 主成分。 4）选择个主成分，计算综合评价值 ① 计算特征值的信息贡献率和累积贡献率。称
主成分分析：利用降维（线性变换)的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分),用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分必须保留原始变量90%以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分。 求解主成分的方法：从协方差阵出发（协方差阵已知），从相关阵出发（相关阵R已知）。（实际研究中，总体协方差阵与相关阵是未知的，必须通过样本数据来估计） 注意事项：1. 由协方差阵出发与由相关阵出发求解主成分所得结果不一致时，要恰当的选取某一种方法； 2. 对于度量单位或是取值范围在同量级的数据，可直接求协方差阵；对于度量单位不同的指标或是取值范围彼此差异非常大的指标，应考虑将数据标准化，再由协方差阵求主成分； 3.主成分分析不要求数据来源于正态分布； 4. 在选取初始变量进入分析时应该特别注意原始变量是否存在多重共线性的问题（最小特征根接近于零，说明存在多重共线性问题）。 优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大部分信息。其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。 缺点：当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。命名清晰性低。 聚类分析：将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化。 。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 常用聚类方法：系统聚类法，K-均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，加入法。 注意事项：1. 系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K-均值法只能对记录进行分类；2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类；
主成分分析の操作過程 原始數據如下（部分） 調用因子分析模塊（Analyze―Dimension Reduction―Factor），將需要參與分析の各個原始變量放入變量框，如下圖所示：
單擊Descriptives按鈕，打開Descriptives次對話框，勾選KMO and Bartlett’s test of sphericity選項（Initial solution選項為系統默認勾選の，保持默認即可），如下圖所示，然後點擊Continue按鈕，回到主對話框： 其他の次對話框都保持不變（此時在Extract次對話框中，SPSS已經默認將提取公因子の方法設置為主成分分析法），在主對話框中點OK按鈕，執行因子分析，得到の主要結果如下面幾張表。 ①KMO和Bartlett球形檢驗結果：
KMO為0.635>0.6，說明數據適合做因子分析；Bartlett球形檢驗の顯著性P值為0.000<0.05，亦說明數據適合做因子分析。 ②公因子方差表，其展示了變量の共同度，Extraction下面各個共同度の值都大於0.5，說明提取の主成分對於原始變量の解釋程度比較高。本表在主成分分析中用處不大，此處列出來僅供參考。 ③總方差分解表如下表。由下表可以看出，提取了特征值大於1の兩個主成分，兩個主成分の方差貢獻率分別是55.449%和29.771%，累積方差貢獻率是85.220%；兩個特征值分別是3.327和1.786。 ④因子截荷矩陣如下：
根據數理統計の相關知識，主成分分析の變換矩陣亦即主成分載荷矩陣U 與因子載荷矩陣A 以及特征值λの數學關系如下面這個公式： λ i i i A U = 故可以由這二者通過計算變量來求得主成分載荷矩陣U 。 新建一個SPSS 數據文件，將因子載荷矩陣中の各個載荷值複制進去，如下圖所示： 計算變量（Transform-Compute Variables ）の公式分別如下二張圖所示：
主元分析(PCA)理论分析及应用 什么是PCA? PCA是Principal component analysis的缩写，中文翻译为主元分析/主成分分析。它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。因此应用极其广泛，从神经科学到计算机图形学都有它的用武之地。被誉为应用线形代数最价值的结果之一。 在以下的章节中，不仅有对PCA的比较直观的解释，同时也配有较为深入的分析。首先将从一个简单的例子开始说明PCA应用的场合以及想法的由来，进行一个比较直观的解释；然后加入数学的严格推导，引入线形代数，进行问题的求解。随后将揭示PCA与SVD(Singular Value Decomposition)之间的联系以及如何将之应用于真实世界。最后将分析PCA理论模型的假设条件以及针对这些条件可能进行的改进。 一个简单的模型 在实验科学中我常遇到的情况是，使用大量的变量代表可能变化的因素，例如光谱、电压、速度等等。但是由于实验环境和观测手段的限制，实验数据往往变得极其的复杂、混乱和冗余的。如何对数据进行分析，取得隐藏在数据背后的变量关系，是一个很困难的问题。在神经科学、气象学、海洋学等等学科实验中，假设的变量个数可能非常之多，但是真正的影响因素以及它们之间的关系可能又是非常之简单的。 下面的模型取自一个物理学中的实验。它看上去比较简单，但足以说明问题。如图表 1所示。这是一个理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿轴拉开一定的距离然后释放。
主成分分析、聚类分 析比较
主成分分析、聚类分析的比较与应用
主成分分析、聚类 分析的比较与应用 摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且 举例说明了两者在实际问题中的应用。 关键词：spss、主成分分析、聚类分析 一、基本概念 主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。 因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。 其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 二、基本思想的异同 （一）共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析
法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。在诸多主成分Zi中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因子是每个原始变量独自具有的因子。 对新产生的主成分变量及因子变量计算其得分，就可以将主成分得分或因子得分代替原始变量进行进一步的分析，因为主成分变量及因子变量比原始变量少了许多，所以起到了降维的作用，为我们处理数据降低了难度。 聚类分析的基本思想是: 采用多变量的统计值，定量地确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用，按它们亲疏差异程度，归入不同的分类中一元，使分类更具客观实际并能反映事物的内在必然联系。也就是说，聚类分析是把研究对象视作多维空间中的许多点，并合理地分成若干类，因此它是一种根据变量域之间的相似性而逐步归群成类的方法，它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。聚类分析是通过一个大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法，是多元统计分析方法，分析的结果为群集。对向量聚类后，我们对数据的处理难度也自然降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。 (二) 不同之处 主成分分析是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差一协方差结构的分析方法，也就是求出少数几个主成分(变量) ，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。它是一种数学变换方法，即把给定的一组变量通过线性变换，转换为一组不相关的变量(两两相关系数为0 ，或样本向量彼此相互垂直的随机变量) ，在这种变换中，保持变量的总方差(方差之和) 不变，同时具有最大方差，称为第一主成分；具有次大方差，称为第二主成分。依次类推。若共有p 个变量，实际应用中一般不是找p 个主成分，而是找出m
注意事项：1. 系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K-均值法只能对记录进行分类； 2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类； 3. 对变量的多元正态性，方差齐性等要求较高。应用领域：细分市场，消费行为划分，设计抽样方案等 优点：聚类分析模型的优点就是直观，结论形式简明。 缺点：在样本量较大时，要获得聚类结论有一定困难。由于相似系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联系的指标，而实践中有时尽管从被试反映所得出的数据中发现他们之间有紧密 的关系，但事物之间却无任何内在联系，此时，如果根据距离或相似系数得出聚类分析的结果，显然是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。 因子分析：利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子。（因子
分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系），就是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 求解因子载荷的方法：主成分法，主轴因子法，极大似然法，最小二乘法，a因子提取法。 注意事项：5. 因子分析中各个公共因子之间不相关，特殊因子之间不相关，公共因子和特殊因子之间不相关。 应用领域：解决共线性问题，评价问卷的结构效度，寻找变量间潜在的结构，内在结构证实。 优点:第一它不是对原有变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子，化简数据；第二，它通过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清晰性高。 缺点:在计算因子得分时，采用的是最小二乘法，此法有时可能会失效。 判别分析：从已知的各种分类情况中总结规律（训练出判别函数），当新样品进入时，判断其与判别函数之间的相似程度（概率最大，距离最
一、主成分分析基本原理 概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。 原理：假定有n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵， 记原变量指标为x 1，x 2，…，x p ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z 1，z 2，z 3，… ，z m (m ≤p)，则 系数l ij 的确定原则： ①z i 与z j （i ≠j ；i ，j=1，2，…，m ）相互无关； ②z 1是x 1，x 2，…，x P 的一切线性组合中方差最大者，z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x P 的所有线性组合中方差最大者； z m 是与z 1，z 2，……，z m －1都不相关的x 1，x 2，…x P ， 的所有线性组合中方差最大者。 新变量指标z 1，z 2，…，z m 分别称为原变量指标x 1，x 2，…，x P 的第1，第2，…，第m 主成分。 从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量x j （j=1，2 ，…， p ）在诸主成分z i （i=1，2，…，m ）上的荷载 l ij （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。 ?????? ? ???????=np n n p p x x x x x x x x x X 2 1 2222111211 ?? ??? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111............
主成分分析、聚类分析的比较与应用
主成分分析、聚类 分析的比较与应用 摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且 举例说明了两者在实际问题中的应用。 关键词：spss、主成分分析、聚类分析 一、基本概念 主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 二、基本思想的异同 （一）共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过
泛珠三角区域物流发展水平综合评价研究 资料来源：吴晓燕. 泛珠三角区域物流发展水平综合评价研究 泛珠三角区域是我国最主要的经济发达地区之一，也是现代物流最为强劲的“增长极”，具有优越的地理、交通与经济区位优势。但是区域内有发达省份，也有不发达省份，有沿海的省份，也有内陆省份，有东部省份，也有西部省份，彼此之间存在不同的优势和劣势。因此对泛珠三角区域物流发展水平进行评估与分析，有利于明确广东、福建、江西、广西、海南、湖南、四川、云南、贵州九省(区)的区域物流发展现状及差异，找出区域间的优势互补项目，为区域内物流资源有效利用和合理共享、促进区域物流一体化发展提供方向和依据。 评价区域物流综合发展水平是一项很复杂的工作。选择并构建区域物流发展水平综合评价指标体系是评价的关键。因此选择指标构建评价指标体系，必须以综合评价目的为依据，对所要考察的事物进行认真分析，寻找出影响评价对象的因素，从中选出若干主要因素，构建成综合评价指标体系。在多指标综合评价中，如果指标选择不当，再好的综合评价方法也会出现差错，甚至完全失败。 区域物流发展水平评价指标体系实际上就是利用具体的指标将区域物流所包括的功能、区域物流的内涵、特征具体化、层次化的统计描述和综合评价。为了合理评估区域物流发展综合水平，我们主要选取6个一级评价指标，20个次级评价指标对其进行评估，具体结构如下表：
表1 区域物流发展水平评价指标体系 1、社会经济发展类 经济发展是区域物流发展的基础保障，一个地区雄厚的经济基础有利于该物流的加速发展。一般来说，区域物流发展水平与区域的经济发展水平成正比。因此，我们考虑GDP和人均GDP两个次级指标，他们综合反映了物流发展的社会经济基础。 2、生产、消费流通类 从物流需求源考虑，农业、制造业等产业中的物流需求主要是生产资料的位移、储存和流通加工等，这类产业的物流需求与各行业的产量产值存在正比关系，物流需求是商品需求的派生物，与消费品销售，生产资料市场直接相关，商品市场的规模直接决定物流需求的大
4实证过程与结果 4.1主成分与聚类分析 首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析，得到：提取Y1、Y2、Y3和Y4四个主成分，其累积贡献率已经达到，超过80%，代表所有环境污染指标的绝大部分信息。Y1偏向于解释工业氢氧化物排放量，Y2偏向于解释生活烟尘排放量，Y3偏向于解释生活废水排放量，Y4偏向于解释工业二氧化硫排放量。 然后，根据主成分分析结果，用Z=0.43226*Y1+0.21911*Y2+0.10380*Y3+ 0.06519*Y4计算综合得分，见下表1。 表1环境污染地区的主成分综合得分表 序号地区Z 排名序号地区Z 排名 1 北京0.863 5 17 武汉-0.116 13 2 天津 1.088 4 18 长沙-0.841 28 3 石家庄0.455 6 19 广州-0.373 19 4 太原0.209 8 20 南宁-0.519 24 5 呼和浩特-0.052 12 21 海口-1.29 31 6 沈阳-0.273 1 7 22 重庆 2.767 1 7 长春-0.257 16 23 成都-0.451 20 8 哈尔滨 2.489 2 24 贵阳-0.331 18 9 上海 1.979 3 25 昆明-0.552 26 10 南京-0.232 15 26 拉萨-1.275 30 11 杭州0.175 9 27 西安0.357 7 12 合肥-0.5 21 28 兰州-0.514 23 13 福州-0.525 25 29 西宁0.004 11 14 南昌-0.949 29 30 银川-0.702 27 15 济南0.022 10 31 乌鲁木齐-0.502 22 16 郑州-0.152 14 最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析，将31个地区分为5类，如表2。
spss进行主成分分析及得分分析 1 将数据录入spss 1. 2 数据标准化：打开数据后选择分析→描述统计→描述，对数据进行标准化，选中将标准化得分另存为变量： 2.3 进行主成分分析：选择分析→降维→因子分析，
3.4设置描述性，抽取，得分和选项：
4.5 查看主成分分析和分析： 相关矩阵表明，各项指标之间具有强相关性。比如指标GDP总量与财政收入、固定资产投资总额、第二产业增加值、第三产业增加值、工业增加值的相关系数较大。这说明他们之间指标信息之间存在重叠，适合采用主成分分析法。（下表非完整呈现）
5.6 由Total Variance Explained（主成分特征根和贡献率）可知，特征根λ1=9.092，特征根λ2=1.150前两个主成分的累计方差贡献率达93.107%，即涵盖了大部分信息。这表明前两个主成分能够代表最初的11个指标来分析河南各个城市经济综合实力的发展水平，故提取前两个指标即可。主成分，分别记作F1、F2。 6.7
指标X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9、X10在第一主成分上有较高载荷，相关性强。第一主成分集中反映了总体的经济总量。X11在第二主成分上有较高载荷，相关性强。第二主成分反映了人均的经济量水平。但是要注意： 这个主成分载荷矩阵并不是主成分的特征向量，也就是说并不是主成分1和主成分2的系数，主成分系数的求法是：各自主成分载荷向量除以各自主成分特征值的算术平方根。
7.8 成分得分系数矩阵（因子得分系数）列出了强两个特征根对应的特征向量，即各主要成分解析表达式中的标准化变量的系数向量。故各主要成分解析表达式分别为：F1=0.32ZX11+0.33ZX12+0.31ZX13+0.31ZX14+0.32ZX15+0.32ZX16+0.32ZX17+0.32ZX18+0. 32ZX19+0.21ZX110+0.15ZX111 F2=8.46ZX21+0.02ZX22-0.02ZX23-0.20ZX24-0.23Z25-0.04ZX26-0.15ZX27-0.02ZX28+0.10Z X29+0.47ZX210+0.78ZX211 8.9 主成分的得分是相应的因子得分乘以相应的方差的算术平方根。即：主成分1得分=因子1得分乘以9.092的算术平方根主成分2得分=因子2得分乘以1.150的算术平方根例如郑州：主成分因子=FAC1_1*9.092的算术平方根=3.59386*9.092的算术平方根=10.83，将各指标的标准化数据带入个主成分解析表达式中，分别计算出2个主成分得分（F1、F2），再以个主成分的贡献率为全书对主成分得分进行加权平均，即：H=（82.672*F1+10.497*F2）/93.124，求得主成分综合得分。
数值实验03：奇异值分解与主成分分析 选作问题（研究性的） 6、 假设数据源是一系列的图像，每幅图像都是一个矩阵。分别用经典的主成分分析方法和奇异值分解方法计算特征脸。注意数据的中心化与归一化处理的影响。 （1）奇异值分解：是一个能够适用于任意矩阵的一种分解方法： A m*n U m*mm*n V n*n T U为M*M 方阵（ U里面的正交向量称为左奇异向量）， 是一个M*N的矩阵（除了对角线的元素都是 0，对角线上的元素称为奇异值）， V T是一个N*N 的方（V 里面正交的向量称为右奇异向量）。 我们将一个矩阵 A的转置乘以 A，并对 A T A 求特征值 （A T A）v i=λi v i 则v就为右奇异向量，且奇异值i ，左奇异值u i= 就为奇异值，u就为奇异向量。奇异值 跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，部分奇异值分解： A mn U m r rr V T rn （r是一个远小于 m、n的数） 给定一幅 M*N大小的图像，将它表示成 M*N*1 维向量，向量中元素为像素点的 灰度，按行存储，则如下公式分别表示第 i 张图片和 n 张图片的平均值： 令 M*N*n 矩阵 X 为： 即中心化，将坐标原点移动到平均值位置。设Q XX T,则Q是一个MN * MN 矩阵：
Q 被称为协方差矩阵。 那么X中每一个元素x j可以表达成： 其中e i是非零特征值对应的特征向量，对于 M*N 图像，e1,e2,...,en 是M*N*1 维相互正交的向量。尺度g ji 是x j在空间中的坐标。为了降维，可以对特征值设定阈值或按照其他准则，寻找协方差矩阵Q中前 k个特征向量。Q为 M*N*M*N,通常很庞大。考虑矩阵 P X T X Q 的大小为 M*N*M*N,而P的大小为 n*n，N 为训练样本图像数量，通常n< 4实证过程与结果 主成分与聚类分析 首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析，得到： 提取Y 1、Y 2 、Y 3 和Y 4 四个主成分，其累积贡献率已经达到，超过80%，代表 所有环境污染指标的绝大部分信息。Y 1偏向于解释工业氢氧化物排放量，Y 2 偏向 于解释生活烟尘排放量，Y 3偏向于解释生活废水排放量，Y 4 偏向于解释工业二氧 化硫排放量。 然后，根据主成分分析结果，用Z=*Y 1+*Y 2 +*Y 3 + *Y 4 计算综合得分，见下表1。 表1 环境污染地区的主成分综合得分表 序号地区Z排名序号地区Z排名1北京517武汉13 2天津418长沙28 3石家庄619广州19 4太原820南宁24 5呼和浩特1221海口31 6沈阳1722重庆1 7长春1623成都20 8哈尔滨224贵阳18 9上海325昆明26 10南京1526拉萨30 11杭州927西安7 12合肥2128兰州23 13福州2529西宁11 14南昌2930银川27 15济南1031乌鲁木齐22 16郑州14 最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析，将31个地区分为5类，如表2。 表2 各地区污染分类 分类污染情况地区 1轻度污染海口、拉萨 2比较轻度污染合肥、乌鲁木齐、福州、南宁、兰州、，昆明、成都、银川、南昌、长沙、沈阳、长春、南京、广州、贵阳、郑州、武汉、济南、西宁、呼和浩特 3污染情况一般太原、杭州、石家庄、西安 4污染比较严重北京、天津 5污染十分严重上海、哈尔滨、重庆 主成分分析和聚类分析在SPSS中的操作过程 打开SPSS，“文件-打开-数据”，选中excel，如下图结果。 首先将变量标准化，“分析-描述统计-描述”，将变量全部选入对话框，点上“将标准化得分另存为变量（Z）”，结果如下。 怎样用SPSS进行主成分分析 怎样用SPSS进行主成分分析 一、基本概念与原理 主成分分析（principal component analysis） 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。又称主分量分析。在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。但是，在用统计分析方法研究这个多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。主成分分析是对于原先提出的所有变量，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。 （1）主成分分析的原理及基本思想。 原理：设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的总和变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法。 基本思想：主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来 实验三我国各地区城镇居民消费性支出的 主成分分析和聚类分析 （王学民编写） 一、实验目的 1.掌握如何使用SAS软件来进行主成分分析和聚类分析； 2.看懂和理解SAS输出的结果，并学会以此来作出分析； 3.掌握对实际数据如何来进行主成分分析； 4.对同一组数据使用五种系统聚类方法及k均值法，学会对各种聚类效果的比较，获取重要经验； 5.掌握使用主成分进行聚类 二、实验内容 数据集sasuser.examp633中含有1999年全国31个省、直辖市和自治区的城镇居民家庭平均每人全年消费性支出的八个主要变量数据。对这些数据进行主成分分析，可将这31个地区的前两个主成分得分标示于平面坐标系内，对各地区作直观的比较分析。对同样的数据使用五种系统聚类方法及k均值法聚类，并对聚类效果作比较。最后，对主成分的图形聚类和正规聚类的效果进行比较。 实验1 进行主成分分析，根据前两个主成分得分所作的散点图对31个地区进行比较分析。 实验2 分别使用最长距离法、中间距离法、两种类平均法、离差平方和法和k均值法进行聚类分析，并比较其聚类效果。 实验3 主成分聚类，并与上述正规的聚类方法进行比较 三、实验要求 1.用SAS软件的交互式数据分析菜单系统完成主成分分析； 2.完成五种系统聚类方法及k均值法，比较其聚类效果； 3.根据前两个主成分得分的散点图作直观的聚类，并与上述正规的聚类方法进行比较。 四、实验指导 1.进行主成分分析 在inshigt中打开数据集sasuser.examp633，见图1。选菜单过程如下： 在图1中选分析?多元（Y X）?在变量框中选x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8(见图2)?Y?选输出?选主分量分析，主分量选项（见图3）?在图4中作图中的选择（主成分个数缺省时为“自动”选项，此时只输出特征值大于1的主成分）?确定?确定?确定 图1 图2 浅析主成分分析法的原理 张小丽 (武汉大学遥感信息工程学院,湖北武汉,430079) 【摘要】图像特征是图像分析的重要依据，获取图像特征信息的操作称为特征提取。它作为模式识别，图像理解或信息量压缩的基础是很重要的。在目前的遥感图像处理研究中，多利用光谱特征。主成分分析也称为K-L变换，是在统计特征基础上的多维（如多波段）正交线性变换，也是遥感数字图像处理中最常用的一种变换算法。本文就对光谱特征提取的主成分分析方法分析其原理，具体步骤及优缺点。 【关键词】遥感图像；特征提取；光谱特征；主成分分析 1 引言 以计算机自动分类为研究方向的遥感图像解译技术的一般工作流程是图像预处理、特征提取、特征选择、分类处理。在这三项工作中，特征提取、特征选择是保证遥感图像分类精度的关键。 遥感图像模式的特征主要表现为光谱特征、纹理特征以及形状特征三种。特征提取分为光谱特征提取、纹理特征提取，形状特征提取。光谱特征提取和纹理特征提取分别对应于影像要素级序中的初级和第二级影像要素，目前应用较多的是光谱特征提取。光谱特征提取常采用K-T变换、K-L变换。 2 光谱特征 光谱特征是图像中目标物的颜色及灰度或者波段间的亮度比等。光谱特征通过原始波段的点运算获得。光谱特征的特点是，它对应于每个像元，但与像元的排列等空间结构无关。光谱特征是一种地物区别于另一种地物的本质特征，是组成地物成分、结构等属性的反映，正常情况下不同地物具有不同的光谱特征（在一些特殊情况下会出现同物异谱、同谱异物现象），因此根据地物光谱特征可以对遥感图像进行特征提取。在遥感图像的所有信息中最直接应用的是地物的光谱信息，地物光谱特性可通过光谱特征曲线来表达。遥感图像中每个像素的亮度值代表的是该像素中地物的平均辐射值，它随地物的成分、纹理、状态、表面特征及所使用电磁波波段的不同而变化。 3 K-L变换（主成分分析） 3.1原理 K-L变换即主成分分析。主成分变换具有方差浓聚、重新分配、数据量压缩的作用，并且可更准确、特征地揭示多波段数据结构内部的遥感信息。 主成分分析是着眼于变量之间的相互关系，尽可能不丢失信息地用几个综合性指标汇集多个变量的测量值而进行描述的方法。把P个变量（P维）的测量值汇集于m个（m维）主成分。在多光谱图像中，由于各波段的数据间存在相关的情况很多，通过采用主成分分析可以把图像中所含的大部分信息用假想的少数波段显示出来，几乎不丢失信息但数据量大大减少。 主成分分析在SPSS中的操作应用(2) SPSS在调用Factor Analyze过程进行分析时，SPSS会自动对原始数据进行标准化处理，所以在得到计算结果后指的变量都是指经过标准化处理后的变量，但SPSS不会直接给出标准化后的数据，如需要得到标准化数据，则需调用Descriptives过程进行计算。 图表 3 相关系数矩阵 图表 4 方差分解主成分提取分析表 主成分分析在SPSS中的操作应用(3) 图表 5 初始因子载荷矩阵 从图表3可知GDP与工业增加值，第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投资、社会消费品零售总额、地方财政收入这几个指标存在着极其显著的关系，与海关出口总额存在着显著关系。可见许多变量之间直接的相关性比较强，证明他们存在信息上的重叠。 主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于1的前m个主成分。注：特征值在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标，如果特征值小于1，说明该主成分的解释力度还不如直接引入一个原变量的平均解释力度大，因此一般可以用特征值大于1作为纳入标准。通过图表4（方差分解主成分提取分析）可知，提取2个主成分，即m=2，从图表5（初始因子载荷矩阵）可知GDP、工业增加值、第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投资、社会消费品零售总额、海关出口总额、地方财政收入在第一主成分上有较高载荷，说明第一主成分基本反映了这些指标的信息；人均GDP和农业增加值指标在第二主成分上有较高载荷，说明第二主成分基本反映了人均GDP和农业增加值两个指标的信息。所以提取两个主成分是可以基本反映全部指标的信息，所以决定用两个新变量来代替原来的十个变量。但这两个新变量的表达还不能从输出窗口中直接得到，因为“Component Matrix”是指初始因子载荷矩阵，每一个载荷量表示主成分与对应变量的相关系数。 用图表5（主成分载荷矩阵）中的数据除以主成分相对应的特征值开平方根便得到两个主成分中每个指标所对应的系数[2]。将初始因子载荷矩阵中的两列数据输入（可用复制粘贴的方法）到数据编辑窗口（为变量B1、B2），然后利用“TransformàCompute Variable”，在Compute Variable对话框中输入 “A1=B1/SQR(7.22)” [注：第二主成分SQR后的括号中填1.235]，即可得到特征向量A1(见图表6)。同理，可得到特征向量A2。将得到的特征向量与标准化后的数据相乘，然后就可以得出主成分表达式[注：因本例只是为了说明如何在SPSS进行主成分分析，故在此不对提取的主成分进行命名，有兴趣的读者可自行命名]： F1=0.353ZX1+0.042ZX2-0.041ZX3+0.364ZX4+0.367ZX5+0.366ZX6+0.352ZX7+0.364ZX 4实证过程与结果 4、1主成分与聚类分析 首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析,得到: 提取Y1、Y2、Y3与Y4四个主成分,其累积贡献率已经达到,超过80%,代表所有环境污染指标的绝大部分信息。Y1偏向于解释工业氢氧化物排放量,Y2偏向于解释生活烟尘排放量,Y3偏向于解释生活废水排放量,Y4偏向于解释工业二氧化硫排放量。 然后,根据主成分分析结果,用Z=0、43226*Y1+0、21911*Y2+0、10380*Y3+ 0、06519*Y4计算综合得分,见下表1。 表1 环境污染地区的主成分综合得分表 序号地区Z 排名序号地区Z 排名 1 北京0、863 5 17 武汉-0、116 13 2 天津1、088 4 18 长沙-0、841 28 3 石家庄0、455 6 19 广州-0、373 19 4 太原0、209 8 20 南宁-0、519 24 5 呼与浩特-0、052 12 21 海口-1、29 31 6 沈阳-0、273 1 7 22 重庆2、767 1 7 长春-0、257 16 23 成都-0、451 20 8 哈尔滨2、489 2 24 贵阳-0、331 18 9 上海1、979 3 25 昆明-0、552 26 10 南京-0、232 15 26 拉萨-1、275 30 11 杭州0、175 9 27 西安0、357 7 12 合肥-0、5 21 28 兰州-0、514 23 13 福州-0、525 25 29 西宁0、004 11 14 南昌-0、949 29 30 银川-0、702 27 15 济南0、022 10 31 乌鲁木齐-0、502 22 16 郑州-0、152 14 最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析,将31个地区分为5类,如表2。 表2 各地区污染分类 分类污染情况地区主成分和聚类分析
用SPSS进行详细的主成分分析步骤
聚类分析与主成分分析SAS的程序
主成分分析
主成分分析在SPSS中的操作应用(详细步骤
主成分和聚类分析
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