高考不定期考查内容:定积分专项问题只需要这一篇文章!

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定积分相关问题

1. 定积分的几何意义:

() b

a

f x dx ⎰

实际上表示的是 0()

x a

x b y y f x =⎧⎪=⎪

=⎪⎪=⎩这四条线围成的曲边梯形的面积或曲边梯形面积的相反 数,特别注意,定积分计算的结果,是一个可正可负可以为零的常数。

f (x )称为被积函数, b , a 称为积分的上、下限, dx 称为被积元素,也就是指对谁积分的意思。

2. 常用到的运算公式:

[() ()]() () ;

() () ;

() () () ,();

() 0, () 0;

() (), () () ;

b

b

b

a a

a

b

b

a a

b

c b

a

a

c

b a

b

b

a

a

f x g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx f x dx f x dx f x dx a c b f x f x dx f x g x f x dx g x dx ±=±==+<<>>>>⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

尤其是第三个性质,多用于分段函数和含有绝对值的函数求定积分,一定要注意掌握运用。

高考考察定积分,多是要考察定积分的计算,定积分的计算有两种方法,一是利用公式,也就是定积分基本公式(也叫 牛顿莱布尼茨公式) ,即

() () |() ()

b

b a

a

f x dx F x F b F a ==-⎰

, F (x )是 f (x )的一个原函数,也就是 F (x )求导后,得

到 f (x ) , F(X)不是唯一的。这个公式法需要考生要特别熟悉导数中我们所学的求导公式。二是利用定积分的几何意义, 此时的 f (x )已经无法找寻原函数,也就意味着不需要再找原函数,而是要考虑定积分的几何意义,需要画出图像,也 就是本专项所讲的第一个性质,这种问题中的被积函数一般都与不完整圆相关,例如被积函数所表示的是半圆或四分之 圆等。 3. 求

() a

a

f x dx -⎰

,需要对 () f x 的奇偶性进行判断,当 () f x 为奇函数时, () a

a

f x dx -⎰=0,当 () f x 为 , 偶函数时,

() a

a

f x dx -⎰

=20

() a f x dx ⎰。

下述习题包含各种类型。 1. 若

=T

dx x 0

29,则常数 T 的值为(

) 。

2. 直线 x y 4=与曲线 3

x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) 。

3. 曲线 x y =,直线 2-=x y 及 y 轴所围成的图形面积为( ) 。

4. 若 ⎰

+=1

2

) (2

) (dx x f x x f ,则 ⎰1

) (dx x f =(

) 。

5. 设 ⎪⎩⎪

⎨⎧≤+>=⎰a

x dt t x x x x f 0

2

0, 30, lg ) (, 若 f(f(1))=1,则 a=( ) 。

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