导数背景下的恒成立与存在性问题
“恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。
一、若对x， a f ( x) 恒成立，则只需 a f ( x) max即可；
若对x， a f ( x) 恒成立，则只需 a f (x) min即可；
例 1.已知函数 f (x) ln x a
(0 x 3) ，若以其图象上任意一点P( x0, y0)为切点的切线的斜x
率k 1
恒成立，求实数a的取值范围 . 2
二、若 x，满足不等式 a f (x) ，则只需 a f ( x) min即可；
若 x，满足不等式 a f ( x) ，则只需 a f ( x) max即可；
例 2 ：已知函数 f ( x) ax 22ax ， g( x) e x，若在 (0, ) 上至少存在一个实数x0，使得f ( x0 )g (x0 ) 成立，求实数a 的取值范围.
三、若对x1 , x2，使得不等式 f (x1 ) f ( x2 )a（ a 为常数）恒成立，则只需
f (x)max f ( x) min a 即可
例 3 ：已知函数1x2(a1)x(1)证明：对于x1, x21, a，恒有
f ( x) a ln x a e .
2
f ( x1 ) f ( x2 )1成立 .
四、若 x1 , x2 I ，满足方程 f (x1 )g( x2 ) ，则只需两函数值域交集不空即可.
1 x 1
( x0,
1
)
例 4 ：已知函数
f ( x)362
，函数
g ( x) a sin x 2a 2( a 0), 若
2 x3
1
,1 )6
( x
x 12
x1 , x2 0,1 ，使得 f (x1 )g( x2 ) 成立，试求实数 a 的取值范围.
五、若对x1 1总 x22使得 f ( x1 )g(x2 ) 成立，则只需 f( x ) 值域 g( x ) 值域即可
例 5：已知函数f ( x)4x27
, g( x)x 33a 2 x 2a(a 1) 对x1 0,1 总 x20,1 使得
2x
f ( x1 ) g( x2 ) 成立，试求实数 a 的取值范围.
六、若对x1 1， x22使得不等式 f ( x1 )g(x2 ) 恒成立，则只需 f ( x) max g( x)min即可
例 6：已知两个函数 f ( x)7x 228x c, g(x)2x34x240 x ，若对 x13,3 ，x23,3 ，都有不等式 f ( x1 ) g( x2 ) 恒成立，求实数 c 的取值范围.
七、若对 x1 1， x22满足不等式 f( x1 ) g( x2 )，则只需 f ( x) min g( x) max即可
例 7：已知两个函数 f (x)x33x29 x c, g(x) x22x 1 ，若对x12,6 ， x22,6 ，使得不等式 f ( x1 ) g( x2 )成立，求实数 c 的取值范围.
八、若对x1 1 ，总x2 2 ，使得 f ( x1 )g( x2) 成立，则只需 f ( x)min g( x) min即可
例 8：已知两个函数 f ( x)x 8
2 ln x,g(x)e2 x e 2 x e x e x k ，若对x11,4，总x
x2R ，使得 f ( x1 )g (x2 ) 成立，求实数k 的取值范围.
九、若对x1 1，总x2 2，使得 f ( x1 )g( x2 ) 成立，则只需 f ( x) max g ( x) max即可
例 9：已知两个函数
f (x)
13
1(
x R
),
g x x2
2
x b ，若对
x1( 0,2)
，总ln x x( )
44x
x2 1,2 ，使得 f ( x1 )g( x2 ) 成立，求实数b的取值范围.
1答案： 1.,
2. (2 1 e 2
, ) 2
3. 3.略
4.1 ,
4 2 3
5.1,
3
2
6.195,
7.( ,76)
8. (,2 2 ln 2)
9. ( 5 ,)
2