专题一：求函数值域十六法

求函数值域方法

求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识

1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。

3． 函数值域的求法

（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数()1y x =≥的值域。 )

+∞

例2：求函数y = [)1,+∞

例3：求函数1y =

的值域。

0≥11≥，

∴函数1y =

的值域为[1,)+∞。

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2

()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2

2

42(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2

1(2)9x ≤-≤ ∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44??

????

例3：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,

8??

-∞ ???

（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例1：求函数1212

x

x

y -=+的值域。 解：由1212

x x

y -=+解得121x

y y -=+， ∵20x

>，∴

101y

y

->+，∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(≠++=c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，

值域为?

??

???≠

c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

，采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125

x

y x -=

+的值域。 解：∵177(25)112222525225

x x y x x x -++

-===-++++，

∵7

2025

x ≠+，∴1

2y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

（6）、换元法：

运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例1

：求函数2y x =

解：令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22151()24

y t t t =-++=--+ ∵当12t =

，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =5

(,]4

-∞。

（7）、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从而

求得原函数的值域，形如21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 例1：求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231

x x y x x -+=-+变形得2

(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴2

(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥， 解得1113y ≤≤

，又1y ≠，∴1113

y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3

y y <≤

（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1

：求函数y x =

解：∵当x 增大时，12x -随x

的增大而减少，x 的增大而增大，

∴函数y x =1

(,]2

-∞上是增函数。

∴1122

y ≤

-=，

∴函数y x =1

(,]2

-∞。 例2．求函数x

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则

()()()()

2

12121211x x x x x x x f x f --=

-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，

当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；

当1021<<

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例3：求函数()x x x f -++=11的值域。 分析与解答：因为110

10

1≤≤-???

?≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。现构造

相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。()21max =

=g g ，

()21m in -=-=g g ，()2≤?x g ，()202≤≤x g ，

又()()422

=+x g x f

，所以：()422

≤≤

x f

，()22≤≤x f 。

（9）、基本不等式法

利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.

例1 求函数12

++=

x x y 的值域.

解答:

211

11

2

≥+

+==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2 求函数

1

2

22+++=

x x x y 的值域.

解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:

22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)

将上面等式的左边展开, 有:

)()1(2c b x b x ++++,

故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1

11

1

)1)(1()1(++++++

+==

x x x x x y ;

ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 01

1>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .

ⅱ)当1-+-x , 01

1>-+x , 此时有

211)1(11)1(11)1)(1(-≤??

????

+-+--=+++=++++=

x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .

综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞?--∞∈y . 不等式法

利用基本不等式

，求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例3. 求函数

的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立 故原函数的值域为：

例4. 求函数

的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例1：求函数221

1

x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+，

∵1y ≠，∴2

1

1

y x y +=-

-（x R ∈，1y ≠）， ∴1

01

y y +-

≥-，∴11y -≤<， ∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

例2．求函数1

21

2--=x x y 的值域

[解析]：函数的有界性

由121

2--=x x y 得112--=y y x

1101

1

,022-<>?>--∴

>y y y y 或 例3：求函数2cos 1

3cos 2

x y x +=

-的值域。

[)1,3,5??-∞?+∞ ???

例4：求函数2sin 2sin x

y x

-=

+的值域。

1,33??????

（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值

域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。

例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。

解：∵22|3||5|822x y x x x -+??

=++-=??-?

(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，

∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，

由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞

以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例2

：求函数y =

的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为()f x =

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位

正方形。设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +

。

由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。当A 、K 、C 三点共 线时取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。 例3．如例4求函数x x y -++=11的值域。

分析与解答：令x u +=1，x v -=1，则0,0≥≥v u ，22

2=+v u ，y v u =+，

原问题转化为 ：当直线y v u =+与圆22

2

=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直

线的截距的取值范围。

由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时，2m in =y ；

当直线与圆相切时，()

2222

max ==

==OC OD y 。

所以：值域为22≤≤y

例4. 求函数

的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点到点

的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角

形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

（12）、复合函数法：对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从而求出()y f u =的值域的方法。

例1、求函数1

33+=x x

y 的值域

（复合函数法）设t x

=+13 ，

则()11

11

31113113>-=+-=+-+=t t y x x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t

()01原函数的值域为∴

例2：求函数212

log (253)y x x =-++的值域。 49,8??

+∞????

（13）、非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数2

16x y -=的值域。 (2)求函数1

3

22+-=x x y 的值域。

解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x

故 所求函数的值域为 []40，∈y 。

(2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ， 当1≠y 时，

y y x -+=

132， 02≥x ，013

≥-+∴y

y ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ， 故 所求函数的值域为 ）

，13[-∈y 。 （不等式性质法）

例2：求下列函数的值域：

（1）y=262x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）y=6

2sin 1

x -

（4） （2）y=13()4(1)2x x -+≤-； （3）y=2

211log ()()42

x x +>

（14）、导数法

若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.

例1： 求函数x x x f 3)(3

-=在)1,5(-内的值域.

分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2

-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .

,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .

所以, 函数f 的值域为)140,2(-.

（15）、“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合采用“平方开方法”的函数特征

设()f x （x D ∈）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： （1）()f x 的值总是非负，即对于任意的x D ∈，()0f x ≥恒成立；

（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即12()()()f x f x f x =+（x D ∈）； （3）()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+（x D ∈，c 为常数），

其中，新函数()g x （x D ∈）的值域比较容易求得.

2.“平方开方法”的运算步骤

若函数()f x （x D ∈）具备了上述的三个特征，则可以将()f x 先平方、再开方，从而得到()f x （x D ∈，c 为常数）.然后，利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的值域.例如()[,]g x u v ∈，则显然

()f x ∈.

3.应用“平方开方法”四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1 求函数()f x =[,]x a b ∈，a b <）的值域.

解：首先，当[,]x a b ∈时，()0f x ≥；

其次，()f x 是函数1()f x =2()f x 的和；

最后，2()f x b a b a =-+-+

可见，函数()f x 满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、开方得

()f x =[,]x a b ∈）.这里，()g x =[,]x a b ∈）.对()

g x

根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域为[0,]b a -.于是，()f x 的值域

为]

. 例2

求函数()f x =（[,]a b

x k k

∈，a b <，0k >）的值域.

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、

开方得()f x =[,]a b

x k k ∈）.

这里，()g x =（[,]a b

x k k

∈）.对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域仍为[0,]b a -.于是，()

f x

的值域也仍为.

例3 求函数()|sin ||cos |f x x x =+（x R ∈）的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x

平方、开方得()f x =x R ∈）.这里，()|sin 2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,1].于是，()f x

的值域为.

例4 求函数()|sin cos ||sin cos |f x x x x x =++-（x R ∈）的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、

开方得()f x =x R ∈）.这里，()2|cos2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,2].于是，()f x

的值域为.

例5 求函数x x y -+-=

53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

（16）. 一一映射法

原理：因为

在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，

就可以求另一个变量范围。

例1. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

多种方法综合运用

例1 求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当

时，

此时都存在，故函数的值域为

例3.求函数 )0(2≤=x y x

的值域

解：（图象法）如图，值域为(]1,0

例4.求函数x

x y 2231+-?

?

?

??= 的值域

解：（复合函数法）令1)1(22

2+--=+-=x x x t ，则)1(31≤??

? ??=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为??

????+∞,31

例5.求函数2

1x x y -+=的值域 解：（三角代换法） 11≤≤-x

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[

][]

2

,12

,1)4

sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π

θθθθθy

小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设

)0,cos (2

2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤

≤-

=a a 或设 （2）若题目中含有122=+b a

则可设θ

θsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有2

1x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有2

1x +，则可设θtan =x ，其中

2

θπ

<-

（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ， 则可设θθ22sin ,cos r y r x ==

其中??

?

?

?∈2,

0πθ 例6、求函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一：（逆求法）110112

<≤-∴≥-+=

y y

y

x

[)11-∴原函数的值域为 解法二：（复合函数法）设t x =+12

，

则 )1(211212≥-=+-=t t x y

(]1,11

12201-∴<≤-∴≤<

∴≥原函数值域为y t

t 解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2

=++?+-y x x y 1） 1=y 时 不成立

2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y

11<≤-∴y

综合1）、2）值域}11|{<≤-y y

解法四：（三角代换法）∴∈R

x 设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ，则

()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 122-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θ y

∴原函数的值域为}11|{<≤-y y

小结：已知分式函数)0(2

22

2≠+++++=d a f

ex dx c bx ax y ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

2

)(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；

如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(≠+

=x x

a

x y 的单调性去解。 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

高三三角函数专题复习(题型全面)

三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

求三角函数的值域(或最值)的方法

求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．

y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．

∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是

函数的最值与值域

函数的最值与值域 求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习) [)(][] 0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(. )(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x x 值与值域小求下列函数的最大例1

二.拓展问题 (一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1 122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y 4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+ x a x a x 5. 的最小值求44422+++ +x a x 6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2 212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ?= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629 S ≤<

(二)基于二次函数 1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）. (1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间； (2) 求函数)(x g 的值域； (3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数. 2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值 反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=

函数的值域和最值教案

函数的值域和最值教案 【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域． 【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用 【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及 注意点． 【教学过程】 第一课时 〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===． 错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件． 正解：由2 1919 x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行； 2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用． 〖例2〗 求下列函数的值域： ⑴ 121 21 x x y ++=+； 法一：（直接法）1212(21)11 2212121 x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1 0121 x < <+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出 的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域 解：由原函数式可得： 3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：33(,)(,)55 -∞?+∞

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

三角函数专题：三角函数的值域

高考复习专题 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? sin 22t ?∴∈-??? () f x ?∴∈? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++

函数之复合函数之求最值值域

- 3 - 函数之 复合函数之 求最值、值域 1．函数y =(log x )2 －log x 2 ＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ． 2.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为 . 3.求函数y ＝5 2x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 4.函数的值域为 A. B. C. D. 5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2 3 1 -x ; (2)y ＝4x +2x+1 +1. 6.已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1 -9x 的最大值和最小值 7.设 ，求函数 的最大值和最小值． 8.已知函数 （ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围． 9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（ 41）x-1-4·（2 1）x +2的最大值和最小值 10.函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 11.若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222 ?-=+的最大值和最小值。 12.已知[]3,2x ∈-，求11 ()142 x x f x = -+的最小值与最大值。 13.若函数3234+?-=x x y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。 本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 答案 1. 2.( 22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］ 3.解析：设t ＝x 5 1 ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3． 4 14 1()() 2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞??()1,+∞)1,+∞??84 25 ≤≤y

函数的值域与最值

函数的值域与最值 一、基础知识回顾 1. 已知{}{} 12|,log |2+====x y y B x y x A ，则() ∞+= ?，1B A 2.下列函数的值域为()+∞,0的有 4 个 （1）1212+-=x x y （2）21 -=x y （3）x y ?? ? ??=21（4）x y 2log 2=（5）x x y sin 1sin +=（6）x y tan = 3.求函数212++-=x x y ）（值域为?? ? ???230， 11222++-+=x x x x y ）（的值域为?? ? ???135-， 4.已知：)0)(3sin()(>+ =w wx x f π 在]2,0[上恰有一个最大值1和最小值-1，则w 的取值范围是?? ? ???12 13127π π， 5.已知：x,y 为实数，022 2 =-+x y x ，则2 2 2x y s +=的值域为 [0,4] 6.关于x 的方程02 7 2cos 21cos 4=-+- m x x 有实数解，则m 的取值范围是 [0,8] 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m 与f(x),g(x)的图象分别交于 M ，N 两点，则MN 长度的最大值为2 8.函数x y 2 1log =的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a 的最小值是 4 3 9.若函数()10,4log ≠>?? ? ??-+ =a a x a x y a 且的值域为R ，则a 的范围是()(]4110，，Y 10.在△ABC 中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC 的值域为?? ? ??121， 二．例题精讲 例1.求下列函数的值域 2sin 11+= x y ）（ 2sin 1sin )2(+-=x x y )80sin()20sin()3(ο ο+++=x x y ?? ????131， [-2,0] [] 33-， )32lg()4(2--=x x y x y sin lg 2)5(= 3sin 2sin )6(2--=x x y R (0,1] {0} )1)(cos 1(sin )7(++=x x y [)()3,11,01 2 2)8(2?∈-+-= x x x x y 且 ?? ????+22230， (][)+∞-∞-,22,Y

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

三角函数求值域专题

三角函数求值域专题 求三角函数值域及最值的常用方法： （1） 一次函数型：或利用为：=+=x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a ， 利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式， （1）：5)12 3sin(2+- -=π x y ，x x y cos sin = （2）x x y cos 3sin 4-= （3）.函数在区间上的最小值为 1 ． （4）函数且的值域是___(,1][1,)-∞-?+∞ （2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用： 如： （1） x x y 2cos sin += （2）函数的最大值等于 4 3 ． （3）.当时，函数的最小值为 4 ． （4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ． （5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____． （3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解； 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知

函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：

高中数学讲义微专题27 三角函数的值域

微专题27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()22sin cos a b a b ααα?+=++，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。