知识要点
几何计数
图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。 2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。 3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。 4、图形计数基本公式：
①一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： ()
1122
n n n ++++=
L L 条。 ②两条共端点的射线确定一个角（大于0?、小于180?）
，假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0?、小于180?）的个数为(1)
2n n -条。
③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。
④一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形）
，那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+?L L 。 四、五、六年级
（三、四、五、六年级）
（四、五年级）
图形剪拼（一、二年级）（一、二年级）几何求值组合问题数学计算图形变幻认识图形平面几何图形计数
图形规律
数线段
【例 1】 数一数：图中线段的总条数。
F
E
D
C
B
A
【分析】（方法一）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，
由1个基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条； 由2个基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条； 由3个基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条； 由4个基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条； 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条； 总数5432115++++=条。
（方法二）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），
以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条； 以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条； 以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条； 以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条； 以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条； 总数5432115++++=条。
数量变化规律
图形组合规律
图形规律
数正方形
数长方形
数三角形
数线段
图形计数
【例 2】 如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段
的长度之和是多少厘米？
3厘米
3厘米
3厘米
3厘米
【分析】长3厘米的线段有4条；长6厘米的线段有3条；长9厘米的线段有2条；长12厘米的线段有1条；
图中一共有432110+++=条线段。
这些线段的长度之和是34639212160?+?+?+?=厘米。
【例 3】 数一数，图中有多少条线段？
【分析】横着的线段有()112318++++=条；
斜着的线段有()()122123218+?+++?=条； 图中有81826+=条线段。
【例 4】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级第11题）在图所示的线段中，至少包
含“☆”和“△”中的一个的线段有_______条。
△
☆
【分析】包含“☆”的线段有2612?=条；包含“△”的线段有5315?=条；
同时包含“☆”和“△”的线段有236?=条；
所以至少包含“☆”和“△”中的一个的线段有1215621+-=条。
数角
【例 5】 数一数，图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？
F E
D C B
A
O
O
A
B C D E
F
【分析】（方法一）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：
由1个基本角构成的角有：AOB ∠、BOC ∠、COD ∠、DOE ∠、EOF ∠共5个； 由2个基本角构成的角有：AOC ∠、BOD ∠、COE ∠、DOF ∠共4个；
由3个基本角构成的角有：AOD ∠、BOE ∠、COF ∠共3个； 由4个基本角构成的角有：AOE ∠、BOF ∠共2个； 由5个基本角构成的角有：AOF ∠共1个； 角总数5432115++++=个。
（方法二）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：
以OA 边为公共边的角有：AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠、AOF ∠共5个； 以OB 边为公共边的角有：BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠、BOF ∠共4个； 以OC 边为公共边的角有：COD ∠、COE ∠、COF ∠共3个； 以OD 边为公共边的角有：DOE ∠、DOF ∠共2个； 以OE 边为公共边的角有：EOF ∠只1个； 角总数5432115++++=个。
（方法三）在图中添加一条线，如图所示，此时以O 为顶点的三角形有多少个，就有多少个角， 所以角的个数为1234515++++=个。
【例 6】 在图中，所有角的和为150o ，且αβγ∠=∠=∠，求α∠的度数。
γ
βα
【分析】我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：
由1个基本角构成的角有：α∠、β∠、γ∠；
由2个基本角构成的角有：()αβ∠+∠、()βγ∠+∠； 由3个基本角构成的角有：()αβγ∠+∠+∠； 所有角的度数和应该等于10150α∠=o ，所以15α∠=o
数长方形
【例 7】 数一数，下面三个图中各有多少个长方形？
图3
图2
图1
D
C
B
A
A
B C
D
D
C
B A
【分析】先来看图1，AB 边上包含着的10条线段中的每一条，都可与线段AD 对应，
惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有10110?=个长方形。
这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图2有10330
?=个长方形。
最后看图3，与上面的思路相同，由于AD边上有3216
++=条线段，所以图3中共有10660
?=个长方形。
【例 8】数图形，图是由33个小正方形拼成的图形，其中共有多少个长方形？
图三
图二
图一
【分析】如图一所示，有()()
1234567123168
++++++?++=个长方形；
如图二所示，有()()
1212345678108
+?+++++++=个长方形；
如图三所示，有()()
1212318
+?++=个长方形；
如图四所示，含小正方形1的有3515
?=个长方形，含小正方形2的有3412
?=个小正方形；
原图有168108181512285
+-++=个长方形。
【例 9】
的有1
个，二个长方形合成的有2
个，三个长方形合成的有
2个，四个长方形合成的有1个，共有12216
+++=（个）的一列中共有336318
?=（个）。【例 10】
的长方形共有6的长方形有4个，那么整个图的长方形个数为：6424
?=（个）。
【小结】网格状图形中包含某一小格的长方形个数等于该小格所在行中包含该小格的的长方形个数与该小格所在列中包含该小格的长方形个数的乘积。
【例 11】在下图中，包含“*”号的长方形（包含正方形）共有多少个？
【分析】按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；包含15小块的有2个。
所以共有1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39（个）
【例 12】（1995年第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体口试备用题第6题）由35个单位小正方形组成的长方形中，如下图所示有两个“★”。问：包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？
★
★
【分析】把含有两个“★”的横行看成一行，则横行中含有两个“★”的有两个“★”的有236
?=种；
把含有两个“★”的数列看成一行，则数列中含有两个“★”的有两个“★”的有3412
?=种；
包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）共有61272
?=个。
【例 13】图中有很多长方形。其中有多少个长方形包含阴影部分？（一个或两个都算）
A
B
【分析】如所示，分别考虑只包含阴影部分A，只包含阴影部分B，同时包含阴影部分A、B的情况。
①只包含阴影部分A：
横向的线段有236
?=条；
?=条；纵向的线段有236
只包含阴影部分A的长方形有6636
?=个；
②只包含阴影部分B：
横向的线段有236
?=条；纵向的线段有414
?=条；
只包含阴影部分A的长方形有4624
?=个；
③同时包含阴影部分A、B：
横向的线段有212
?=条；
?=条；纵向的线段有224
同时包含阴影部分A、B的长方形有248
?=个；
所以有3624852
+-=个长方形包含阴影部分。
数正方形
【例 14】数一数：下图中有几个正方形？
【分析】边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个。
即43322120
?+?+?=个。
【例 15】如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形。用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形。
数一数，图中共有多少个菱形？
【分析】图中共有4433221130
?+?+?+?=个菱形。
【例 16】（超常班、超常3班、超常2班、超常1班）数一数：图中有几个正方形？
【分析】我们可以把原图分为两个区域，粗线内和粗线外，
粗线内有554433221155
?=个，
?+?+?+?+?=个，粗线外有8432
两个区域合起来还存在4416
?=个，
所以图中共有553216103
++=个。
【例 17】（2004年11月第五届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第一（5）题）如图所示，一个相邻横、竖五排距离相等的25个点的图形，最多能画出以这些“?”为顶点的正方形
___个。
如图一所示，以网格线为边的正方形称之为网格正方形；
以格点为顶点的正方形称之为格点正方形。
如图二所示，面积为111
?=个，
?=的网格正方形有4416
面积为111
?=个格点，
?=的网格正方形的边上有144
所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有1个；
如图三所示，面积为224
?=个，
?=的网格正方形有339
面积为224
?=个格点，
?=的网格正方形的边上有248
所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有2个；
如图四所示，面积为339
?=的网格正方形有224
?=个，
面积为339
?=个格点，
?=的网格正方形的边上有3412
所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有3个；
如图五所示，面积为4416
?=的网格正方形有111
?=个，
面积为4416
?=个格点，
?=的网格正方形的边上有4416
所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有4个。
综上所述，一共有44133222311450
??+??+??+??=个格点正方形。
图二
图一
图四
图五
图三
【例 18】如图所示由18个11
?的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。那么，以网格的格点“?”为顶点的正方形一共有________个。
【分析】如图所示，以“?”为顶点的正方形有54143232321470
??+??+??+??=个；
在图中，以左上角的“?”为顶点的正方形有4个，以左下角的“?”为顶点的正方形有4个，
以左上角的“?”和左下角的“?”为顶点的正方形有1个，
原图中，以网格的格点“?”为顶点的正方形一共有7044163
--+=个。
数三角形
【例 19】
（西南位育中学小升初试题）数一数，图中有多少个三角形？
C
B A
【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A ，且必有一条边在BC 上，
所以三角形的个数应该等于BC 边上的线段数。
BC 边上线段数为12345621+++++=，所以共有21个三角形。
【例 20】 数一数，图中三角形共有几个？
D
C
B
A
【分析】包含顶点B 的三角形，底边在CD 或AC 上，这样的三角形有()12345230++++?=个，
不包含顶点B 的三角形，必然包含顶点C ，这样的三角形有5个， 所以共有30535+=个三角形。
【例 21】
数一数，图中有多少个三角形？
C
B
A
【分析】包含顶点A 的三角形有()12345460++++?=个，
不包含顶点A 的三角形有()123530++?=个， 所以三角形共有603090+=个。
【例 22】 图中有多少个三角形？
H
G D
C
B
A
【分析】ADH ?中包含3216++=个三角形；ADG ?，ABC ?中也包含6个三角形；DHG ?中包含3个三
角形；所以图中总共有666321+++=个三角形。
【例 23】 如图，图中共有多少个三角形？
【分析】先看顶点朝上的三角形，顶点朝上的三角形有()()()112123123420+++++++++=个，
顶点向下的三角形有()11237+++=个，所以共有20727+=个三角形。
【例 24】
图中有多少个三角形？
图2
图1
【分析】如图1所示，由1个三角形构成的三角形有8个；由2个三角形构成的三角形有4个；
由4个单位三角形构成的三角形有4个，图1中共有84416++=个三角形。 图2中，和粗线有关的三角形有7个；所以共有三角形16723+=个。
【例 25】 （华育中学小升初试题）图中有多少个三角形？
【分析】由单个三角形组成的三角形有8个，由两个三角形构成的三角形有5个，
由三个三角形构成的三角形有6个，由四个三角形组成的三角形有2个， 由五个三角形组成的三角形有2个，由八个三角形组成的三角形有1个， 所以三角形共有85622124+++++=个。
【例 26】 （2009年3月15日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第7题）图中共有
_______个三角形。
B 1B 2
B 3
B 4
B 5A 5
A 4
A 3A 2
A 1
【分析】①与122A A B ?相同的三角形有5个；②与112A B B ?相同的三角形有5个；
③与121A A B ?相同的三角形有10个；④与123A A A ?相同的三角形有5个； ⑤与134A A A ?相同的三角形有5个；⑥与135A A B ?相同的三角形有5个； 综上所述，图中共有551055535+++++=个三角形。
【例 27】
图中有多少个三角形？
【分析】填上虚线，图中有35个三角形；
和虚线有关的三角形有6个； 所以有35629-=个三角形。
【例 28】 图中有多少个三角形？
【分析】不算粗线，图中有35个三角形；
和粗线有关的三角形有6212?=个； 所以有351247+=个三角形。
【例 29】图中有多少个三角形？
【分析】如图1和图2所示，各有35个三角形；
图1
图2
图1和图2叠加时，如图3、图4、图5所示，两个图形多出来3515
?=个三角形；
图3
图4
图5
所以原图有3521585
?+=个三角形。
【例 30】（2007年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第13题）如图，连接一个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？
【分析】⑴图中的等边三角形按照面积分有3种类型：
①如图1所示，六边形的每个顶点是某个小等边三角形的顶点，
而且每个小三角形有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，
所以图1中，有6个小等边三角形；
②如图2所示，六边形的每一条边是某个中等边三角形的一条边，
而且每个中等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，
所以图2中，有6个中等边三角形；
所以图中的等边三角形有66214++=个。
⑵图中的非等边等腰三角形按照面积分有3种类型：
①如图4所示，每个小非等边等腰三角形均以六边形的一条边为其长边， 并且六边形的每一条边只惟一对应一个小非等边等腰三角形， 所以图4中，有6个小非等边等腰三角形；
②如图5所示，每个中非等边等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径弦， 并且以非直径的弦为长边的中非等边等腰三角形有2个， 所以图5中，有12个中非等边等腰三角形；
③如图6所示，每个大非等边等腰三角形的长边都是六边形的一条直径， 并且以直径为长边的大非等边等腰三角形有2个， 所以图6中，有6个大非等边等腰三角形；
所以图中的非等边等腰三角形有612624++=个
综上所述，图中共有142438+=个等腰三角形（包括等边三角形）。
图6
图5图4图3图2图1
【例 31】 一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例
如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图中，共有多少个不同的曲边形？
【分析】如图17~所示，各有5个不同的曲边形；
如图8所示，有1个不同的曲边形；
所以在图中，共有75136?+=个不同的曲边形。
图5图6图7图8
图4
图3图2图1
【例 32】 一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例
如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图中，共有多少个不同的曲边形？
【分析】如图115~所示，各有5个不同的曲边形；
如图16所示，有2个不同的曲边形； 如图17所示，有1个不同的曲边形；
所以在图中，共有1542163?++=个不同的曲边形。
图13图14图15图16图17
图7图8图9图10图11图12
图6
图5图4图3图2图1
一课一练
【练习1】 数一数，图中有多少条线段？
【分析】横着的线段一共有()123212++?=条，竖着的线段有2条，所以一共有12214+=条。
【练习2】 数一数，图中共有多少条线段？
【分析】共有()1234515++++=条线段。
【分析】水平方向有()1239+?=条线段，竖直方向有()1239+?=条线段，
两条对角线上有()1226+?=条线段，所以共有99624++=条线段。
【练习4】 如图，数一数，图中共有多少个长方形？
【分析】如图1所示，粗线内有()()5432132190++++?++=个长方形；
如图2所示，粗线内有()()2165432163+?+++++=个长方形； 如图3所示，粗线内有()()2132118+?++=个长方形； 图中共有906318135+-=个长方形。
图3
图2图1
【练习5】 如图，数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）
【分析】图中共有()()()3214321121117++++++-++-=个长方形。
【练习6】图中有多少个正方形？
【分析】有7个正方形。
【练习7】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级第12题）数一数，图中共有_______个正方形。
【分析】由1个小正方形组成的正方形有14个；由4个小正方形组成的正方形有7个；
由9个小正方形组成的正方形有2个；所以图中共有147223
++=个正方形。
【练习8】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级决赛第7题）图中共有_______个正方形。
【分析】设最小的正方形的边长为1，
边长为1的正方形有2个，边长为2的正方形有6个，边长为4的正方形有5个，
边长为8的正方形有2个，边长为12的正方形有1个，边长为16的正方形有1个，
图中共有26521117
+++++=个正方形。
【练习9】图中有多少个三角形？
【分析】共有5个三角形。
【练习10】 图中有多少个三角形？
【分析】共有5个三角形。
【练习11】 （2007年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级第10题）如图所示，图中共有_______
个三角形。
【分析】由1个三角形有13个；
由4个三角形有4个；
图中共有13417+=个三角形。
【练习12】 （2008年中国台湾省小学数学竞赛选拔赛决赛（一）第2题）图1中共有27个三角形：16个
小三角形、7个边长为2单位的三角形（包括一个倒立的）、3个边长为3单位的三角形、1个边长为4单位的三角形。请问图2中共有多少个三角形？
图2
图1
【分析】边长为1的三角形有()()12345123425++++++++=个；
边长为2的三角形有()()12341213+++++=个； 边长为3的三角形有1236++=个； 边长为4的三角形有123+=个； 边长为5的三角形有1个；
所以图2中共有251363148++++=个三角形。
补充
【补充1】 图中有多少个长方形？
【分析】如图一、二所示各有()()12341230+++?+=个长方形；
如图三所示，图一、图二共同构成的长方形有4312?= 所以图中长方形总数为30+30+12=72个。
图3
图2图1
【补充2】 数图形，如图共有多少个长方形？
E 4E 3E 2E 1D 8D 7D 6D 5D 4D 3
D 2D
1C 5C 6C 7
C 8C 4
C 3C 2
C 1B 4
B 3B 2
B 1A 4
A 3
A 1A 2
【分析】如图一、二所示各有()()12312336++?++=个长方形；
其中长方形1234E E E E 被计算过2次；
如图三所示，阴影部分新增顶点不都是相同字母且不含1E 、2E 、3E 、4E 的248?=个长方形； 原图有36361879+-+=个长方形。
图三
图二
图一
4
653
4C C C A C 3A B 1D 8
D 7B 4
D 6D 5
B 3
D 4D 3
B 2
D 2D 1
E 1E 4E 3
E 2E 2
E 3
E 4E 1A 1C 8C 7A 4A 3
C 5C 6C 4C 3A 2
C 2C 1
【补充3】 （2008年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛第9题）图中共有_______个三角形。
图4
图3图2图1
【分析】添线法。如图1所示，有()12343434+++?+=个三角形；
如图2、图3所示，由粗线新产生的的三角形各有13个； 如图4所示，同时由两条粗线产生的三角形有4个； 所以图中总共有34132464+?+=个三角形。
【补充4】 （2006年3月8日第十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第14题）图中有
_______个正方形，有_______个三角形。
【分析】以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；
面积为1的正方形的个数：36；面积为2的正方形的个数：4；面积为4的正方形的个数：25； 面积为9的正方形的个数：16；面积为16的正方形的个数：9；面积为25的正方形的个数：4； 面积为36的正方形的个数：1。
所以共有364251694195++++++=个正方形。
（方法一）以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；
面积为
1
2
的三角形有72个；面积为1的三角形有37个；面积为2的三角形有30个； 面积为4的三角形有4个；面积为
9
的三角形有10个；面积为8的三角形有2个；