第一章 质点运动学
1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。
解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。
1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m /s 102=g 。
解：此沟的宽度为m 345m 10
60sin 302sin 22
0=?
?==g R θv
1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。
解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得2=x m ，7=y m
s t 1=故时质点的位置矢量为j i r 72+=（m ）
由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为
m /s 2d d ==
t x x v ，m /s 4d d t t
x
y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为0d d ==t
a x
x v ，2m /s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2。 1–6 一质点作半径R =1.0m 的圆周运动，其运动方程为t t 323
+=θ，θ以rad 计，t 以s 计。则当
t =2s 时，质点的角位置为________；角速度为_________；角加速度为_________；切向加速度为__________；
法向加速度为__________。
解： t =2s 时，质点的角位置为 =?+?=23223
θ22rad
由t t 323
+=θ得任意时刻的角速度大小为 36d d 2+==t t
θω
t =2s 时角速度为 =+?=3262ω27rad/s
任意时刻的角速度大小为 t t
12d d ==
ω
α t =2s 时角加速度为 212?=α=24rad/s 2
t =2s 时切向加速度为 =??==2120.1t αR a 24m/s 2 t =2s 时法向加速度为 =?==22n 270.1ωR a 729m/s 2；
1–8 一个质点作圆周运动时，下列说法中正确的是[ ]。
A ．切向加速度一定改变，法向加速度也改变
B ．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变
C ．切向加速度可能不变，法向加速度不变
D ．切向加速度一定改变，法向加速度不变
解：无论质点是作匀速圆周运动或是作变速圆周运动，法向加速度a n 都是变化的，因此至少其方向在不断变化。而切向加速度a t 是否变化，要视具体情况而定。质点作匀速圆周运动时，其切向加速度为零，保持不变；当质点作匀变速圆周运动时，a t 值为不为零的恒量，但方向变化；当质点作一般的变速圆周运动时，a t 值为不为零变量，方向同样发生变化。由此可见，应选（B ）。
1–10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 2
2bt at +=（其中a 、b 为常量），则该质点作[ ]。 A ．匀速直线运动 B ．变速直线运动 C ．抛物线运动 D ．一般曲线运动
解：由j i r 22bt at +=可计算出质点的速度为j i bt at 22+=v ，加速度为j i b a 22+=a 。因质点的速度变化，加速度的大小和方向都不变，故质点应作变速直线运动。故选（B ）。
1–18 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为3
2254t t .x -=（SI ）。试求：（1）第2s 内的平
均速度；（2）第2s 末的瞬时速度；（3）第2s 内的路程。
解：（1）将t =1s 代入32254t t .x -=得第1s 末的位置为m 5.225.41=-=x 将t =2s 代入3
2254t t .x -=得第2s 末的位置为 m 0.22225.4322=?-?=x
则第2s 内质点的位移为 0.5m 2.5m -m 0.212-==-=?x x x 第2s 内的平均速度 -0.5m /s 1
0.5=-=??=
t x v 式中负号表示平均速的方向沿x 轴负方向。 （2）质点在任意时刻的速度为 269d d t t t
x
-==
v 将s 2=t 代入上式得第2s 末的瞬时速度为 m /s 626292-=?-?=v 式中负号表示瞬时速度的方向沿x 轴负方向。
（3）由069d d 2=-==
t t t
x
v 得质点停止运动的时刻为s 5.1=t 。由此计算得第1s 末到1.5s 末的时间内质点走过的路程为231
(1.5)(1) 4.5 1.52 1.5 2.50.875m s x x =-=?-?-=
第1.5s 末到第2s 末的时间内质点走过的路程为
22
3
2
3
(2)(1.5)
4.5222 4.5 1.52 1.5 1.375m
s x x =-=?-?-?+?=-
则第2s 内的质点走过的路程为120.875 1.375 2.25m s s s =+
=+=
1–20 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即
2d d v v K t
-=，
式中K 为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 Kx -=e 0v v
其中0v 是发动机关闭时的速度。
证明：由
2d d v v K t -=得2d d d d d d v v v v K x t x x -== 即x K d d -=v v
上式积分为
??-=x
x K 0
d d 0
v v v
v
得Kx -=e 0v v
1–22 长为l 的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A 下滑速度为匀速v ，如图1-4所示。当下端
B 离墙角距离为x （x 解：建立如图所示的坐标系。设A 端离地高度为y 。?AOB 为直角三 角形，有222l y x =+ 方程两边对t 求导得0d d 2d d 2=+t y y t x x 所以B 端水平速度为t y x y t x d d d d -=v x y =v x x l 22-= B 端水平方向加速度为 v 2 2 2d /d d /d d d x t x y t y x t x -= 23 2 v x l -= 1–23 质点作半径为m 3=R 的圆周运动，切向加速度为2t m s 3-=a ，在0=t 时质点的速度为零。试求：（1）s 1=t 时的速度与加速度；（2）第2s 内质点所通过的路程。 解：（1）按定义t a d d t v = ，得 t a d d t =v ，两端积分，并利用初始条件，可得? ??==t t t a t a 0t 0t 0d d d v v 图1-4 t t a 3t ==v 当s 1=t 时，质点的速度为m /s 3=v ，方向沿圆周的切线方向。 任意时刻质点的法线加速度的大小为：222 2n m /s 39t R t R a ===v 任意时刻质点加速度的大小为242 n 2t m /s 99t a a a +=+= 任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有22 t n 3 3tan t t a a ===θ 当s 1=t 时有24m /s 23199=?+= a ，1tan =θ 注意到0t >a 。所以得?=45θ （2）按定义t s d d = v ，得t s d d v =，两端积分可得? ??==t t t s d 3d d v 故得经t 时间后质点沿圆周走过的路程为C t s += 2 2 3 其中C 为积分常数。则第2s 内质点走过的路程为：m 5.4)12 3 ()22 3()1()2(22=+?-+?=-=?C C s s s 1–24 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T 。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v 。求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少？ 解：依题意，设飞机沿如图1-5所示的ABCD 矩形路径运动，设矩形每边长为l ，如无风时，依题意有 v l T 4= （1） 当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB 运动时的速度为 v v v k V +=+，飞机从A 飞到B 所花时间为 v v k l t += 1 （2） 飞机沿CD 运动时的速度为v v v k V -=-，飞机从C 飞到D 所花时间为 v v k l t -= 2（3） 飞机沿BC 运动和沿DA 运动所花的时间是相同的，为了使飞机沿矩形线运动，飞机相对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角，使得飞机速度时的速度v 在水平方向的分量等于v k -，故飞机沿BC 运动和沿 DA 运动的速度大小为222v v k -，飞机在BC 和DA 上所花的总时间为2 22 32v v k l t -= 综上，飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间，即周期为 2223212v v v v v v k l k l k l t t t T -+-++= ++=' （5） 利用（1）式，（5）式变为) 1(4)4() 1(4)11(222k k T k k T T --≈ --+= ' 飞机在有风时的周期与无风时的周期相比，周期增加值为43) 1(4) 4(222T k T k k T T T T = ---≈'-=? 图1-5 V
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