浙江大学2012-2013冬学期计算理论重点复习
一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、DFA 的相互转化，CFL和PDA的相互转化，需要书中的题目和证明辅助。
Textbook Summary
1.与自然数集合N等势的集合是可数无穷的，称有穷的or可数无穷的集合是可数的。非
可数的集合称作不可数的。
2.DFA ( K, Σ, s, F, δ) ；NFA（K, Σ，s，F，Δ）
3.每台NFA都有一台等价的DFA（method: find closure）
4.有穷自动机接受的语言类= 正则语言类（正则表达式描述的语言类）
5.正则语言在各种运算下封闭
6.语言是正则的，iff 其等价语言中有有穷个等价类。
7.DFA状态最小化->寻找等价类（初始等价类F & K-F）
8.CFL（V，Σ，R，S）
9.存在非正则的CFL
10.能够生成>=两棵语法分析树的字符串的文法叫做歧义的。
11.PDA M=（K，Σ，Γ，Δ，s，F），Γ为栈符号
12.PDA接受的语言正好是CFL
13.正则语言（xy n z）和CFL（uv n xy n z）的泵定理
14.L={a n b n}∈CFL，L={a n b n c n}?CFL但是是递归的，L={a n,n为素数}不是CFL
15.Chomsky范式（CNF）：若R?(V-Σ)×V2，则称G=（V，Σ，R，S）为Chomsky范式
16.有穷自动机总是停机。
17.CFG到CNF的转化：
1)消除长rules
2)消除空rules（A->e）
3)消除短rules（A->a or A->B）
18.对任意CFL G，都可以在多项式时间构造Chomsky范式G’,使得L(G’)=L(G)-(Σ∪{e})
19.没有chomsky范式能够表示length<2的字符串，所以包含<2的字符串的语言不能转化
到chomsky范式。
20.确定型CFL（确定型PDA接受的语言类）在补下封闭。
21.TM (K，Σ，δ，s，H)，注意字母表Σ不包含←和→
22.若存在TM判定L，则称L是递归的。
23.如果对于所有w属于Σ*，M(w) = f(w)，我们说M计算函数f，若存在TM计算f，则f
称为递归的。
24.半判定语言的TM都不是算法
25.多带、多带头、双向无穷带or多维带的TM，其判定or半判定的任何语言及任何函数，
都分别可用标准TM判定、半判定or计算。
26.非确定型TM：一个格局可在一步里产生多个其他格局，NDTM is no more powerful than original TM
27.若非确定型TM M半判定或者判定语言L，或者计算函数f，则存在标准型TM M’半判定or判定L，or计算函数f。
28.文法是CFG的推广，任何CFG都是文法。G=（V，Σ，R，S）
29.语言被文法生成iff它是r.e.的。
30.所有数值函数都是原始递归的
31.原始递归函数集是递归可枚举的。
32.特殊语言/问题：
H = {“M””w”: M在w上停机}
﹁H = { “M””w”：M是一台在”w”上不停机的TM }
H1 = {“M”：M在“M”上停机}
﹁H1 = { w：要么w不是一台TM的编码，
要么w是M的编码，M是一台在”M”上不停机的TM } H：r.e. ; H1：r.e.；﹁H, ﹁H1：非r.e. ；2-SAT∈P； SAT∈NP
33.没有算法的问题称作不可判定的or不可解的，如TM的停机问题
34.证明不可判定：从通用图灵机U通过递归函数归约到L，如果L是递归的则U是递归的。
i.e.若L1非递归，并存在L1到L2的归约，则L2也非递归。
递归函数是Turing Computable的。
35.语言是图灵可枚举的，iff存在枚举它的图灵机。（M通过空格代开始，周期性的经过特
殊状态q来枚举L，任意顺序且可重复）
36.不可判定语言与递归语言互为补集，与r.e.语言有交集。
37.语言是r.e.，iff它是图灵可枚举的；语言是递归的，iff它是以字典序Turing可枚举的。
38.P在并交连接和补运算下封闭，NP在并、连接运算下封闭。若NP在补下封闭，则NP=P。
39.H = {“M””w”: M在最多2|w|步后停机} ?P
40.所有正则语言和所有CFL都属于P
41.NP：
A.机器角度去定义：被多项式界限非确定型图灵机判定的所有语言的类。
B.基于verifier的定义：NP问题上建立的非确定机包含两步：
1)非确定地猜一个解
2)用一个确定的算法判定该解是否为可行解
判定一个给定猜测值是否满足该问题这两个定义是不矛盾的，因为如果一台非确定TM 在多项式时间内可以判定一个非确定选择的输入是否满足，就是基于verifier 的定义。
（可满足性）的算法称作verifier ，一个问题称作NP 问题当且仅当存在一个多项式时间的verifier 。
P 和NP 的区别：
A problem is in P if we can decide them in polynomial time. It is in NP if we can decide them in polynomial time, if we are given the right certificate . 42. 若存在计算函数f 的多项式界限的图灵机M ，则f 称为多项式时间可计算的。 43. 若τ1是L1->L2的多项式归约，τ2是L2->L3的多项式归约，则τ1·τ2是L1->L3的多项式归约。
44. 证明NP 完全： 法一、按定义：L ?Σ*，若
（a ） L ∈NP ，且
（b ） 对每个语言L’∈NP ，存在从L’到L 的多项式归约
则L 称为NP 完全的。
法二、归约，对于语言L ，
（a ） 若L ∈NP
（b ） 一个NP 完全问题可以在多项式时间规约到L ，i.e. SAT ≤p L 则L 称为NP 完全的。
45. L 是NP 完全语言，则P=NP ，iff L ∈P 46. SAT 是NP-complete ，3-SAT ，最大可满足性也是NP 完全的
47. 覆盖问题，Hamilton 圈（有向无向），旅行商问题，背包问题都是NP-complete 。 48. a*b*c* - {a n b n c n , n ≥ 0} is context-free but not regular
49.L=L1L2，L是CFL，则L1一定是CFL （×）
50.Regular-CFL不一定是CFL，如a*b*c*-anbn包含anbncn
51.2-way PDA(i.e. PDA whose input heads can move both left and right) are more powerful than 1-way PDA
52.Given a PDA M1 and an FA M2, the problem L(M1)?L(M2) is decidable
53.DFA/NFA识别的是exactly正则语言。
54.R.e. 只在补和差下不封闭，CFL在交下也不封闭。
55.非正则语言的*可能是正则语言。比如A:{ w=w R },及所有回文，A*=Σ*，为正则语言
56.典型非正则：w=w R
57.正则语言的子集可能非正则，如a n b n c n,是a*b*c*的子集；又如Σ*是正则语言，H ?Σ*。
58.归约：X到Y的归约可以理解为X到Y问题的映射, reduction可以解释为at least as difficult as… 比如X可以被Y的算法解决，则X is no more difficult than Y, X可以归约到Y，记X≤Y。e.g. x2可以归约到任意两数的乘积。
∴若有A≤r B，
A是不可判定问题->B不可判定 A不递归->B不递归
B可判定->A可判定 B是递归的->A是递归的
59.若X多项式时间归约到Y，Y多项式时间可解，则X多项式时间可解；
若X多项式时间归约到Y，X多项式时间不可解，则Y多项式时间不可解
60.X多项式时间归约到Y，Y多项式时间归约到Z，则X多项式时间归约到Z
61.PRIME（COMPOSITE）多项式时间归约到Factor，但是Factor多项式时间不能归约到PRIME（COMPOSITE）。
62.若A≤P B，B∈NP，则A∈NP。
证明：
A≤P B?存在确定图灵机X，可将A归约到B。
B∈NP?存在一个非确定图灵机N可判定B。
我们希望构造一个新的TM（X*N），是的X*N非确定多项式时间求解A，则A∈NP。Running time of X*N≤1+p(n)
63.若A≤P B，B∈P，则A∈P。
64.若X是NPC的，则X在多项式时间内可解iff P=NP.
65.SAT多项式时间归约到3-SAT(3-SAT是NPC的)
66.证明语言L是R./R.e./Non R.e.
a)Intuitively想想有没有半判定（判定）的TM，有则R.e.(R)。若非R,执行下一步。
b)用能否由R.e.（Non R.e.）语言归约到该语言，能则R.e.而非R（Non R.e）.
严格用归约函数定义f：A≤p B，r1∈A当且仅当f(r1)∈B
e.g.1
e.g.2
注意方向：是从A的实例经过递归函数推向B的实例。
详细介绍：https://www.doczj.com/doc/df16783659.html,/~nakhleh/COMP481/final_review_sp06_sol.pdf
67.递归与μ递归等价
68.PDA中，若每一个格局至多有一个格局接在它后面，则为确定型的。确定型CFL在补下
封闭。
69.M半判定L：w∈L，iff M在w上停机，注意半判定图灵机中不存在“拒绝”状态。只
要不接受w，就不停机。
70.Chomsky hierarchy
71.俩证明：
7.6 证明P在并、交、Kleene*连接和补运算下封闭。
(1) 并：
对任意L1, L2∈P，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。对L1∪L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
1)在w上运行M1，在w上运行M2。
2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”
时间复杂度：设M1为O(n a),M2为O(n b)。令c=max{a,b}。
第一步用时O(n a+n b) ，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c),
所以L1∪L2属于P类，即P在并的运算下封闭。
(2) 连接：
对任意L1, L2属于P 类，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。对L1 L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1,w2,…,w n，
1)对k=0,1,2,…,n重复下列步骤。
2)在w1w2…w k上运行M1，在w k+1w k+2…w n上运行M2。
3)若都接受，则接受。否则继续。
4)若对所有分法都不接受则拒绝。“
时间复杂度：(n+1)×(O(n a)+O(n b))=O(n a+1)+O(n b+1)=O(n c+1)，所以L1 L2属于P类，即P在连接的运算下封闭。
(3)补：对任意L
1属于P 类，设有时间O(n a)判定器M1判定它，对1L构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
(1)在w上运行M1。
(2)若M1接受则拒绝，若M1拒绝则接受。”
时间复杂度为：O(n a)。所以1L属于P类，即P在补的运算下封闭。
7.7 证明NP在并和连接运算下封闭。
(1) 并：
对任意L1, L2∈NP，设分别有n a时间非确定图灵机M1和n b时间非确定图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。
构造判定L1∪L2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1)在w上运行M1，在w上运行M2。
2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+n b)=O(n c)。所以L1∪L2∈NP，即NP在并的运算下封闭。
(2) 连接：
对任意L1, L2∈NP，设分别有n a时间非确定图灵机M1和n b时间非确定图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。
构造判定L1 L2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1)非确定地将分成两段x,y，使得w=xy。
2)在x上运行M1，在y上运行M2。
3)若都接受则接受，否则拒绝。”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时O(n),第二步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c)。所以L1 L2∈NP，即NP在连接运算下封闭。
专题——图灵机可判定性问题
判定以下问题是否可判定：
声明：思路——想证明B问题不可解，
1.从一个不可解问题A入手（如停机问题）
2.创建B的一个实例，从中推出如果能解决B，A也就可以解决了
3.所以B是不可解的
1.一个图灵机有至少481个状态。
我们可以给出这样一个TM N进行enc（M），
a)数M中状态数，直到481.
b)如果达到了481，N就接受，否则拒绝。
2.给定图灵机在空串上走了481步还没停机。
构造2带图灵机N，
a)2nd带: 写481个0
b)1st带在空串上模拟M，每走一步，第2带就删掉一个0
c)如果M在所有0都删掉之后停机，则N接受，否则不接受
3.给定图灵机，判定它是否在一些输入上经过481步还没停机？
a)按字典序找出所有length<=481的串x
b)在每个x上面run M，看是否在481步以内停机
c)是则接受，否则reject
4.给定图灵机，判定在所有输入上是否经过481步还没停机？
a)原因同(3)类似
5.给定图灵机是否接受空串？
设两个语言：L1 = {M|M(e)停机}；H = {
已知H不可判定，只需要找到H->L1的归约即可。令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y的输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。则{“M”,”w“}∈H，iff M’ 在任何串上停机，iff M’在空串停机M‘∈L1。
6.①给定TM M，是否存在在M上停机的串？
②给定TM M，M是否在所有上停机的串？
设L = {M|M(a) where a∈Σ*} ，H = {
令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。{“M”,”w“}∈H，iff M’ 在任何串上停机，iff M’在任何串上停机，iff M’在所有a上停机(a∈Σ*), i.e. M’∈L。
7.给定TM M，is L(M) finite?
设Finite = {L(M) where L(M) is finite}; AH = {
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, 显然f可计算。则{M,w}∈AH ? M halts on w ? M’ accept any y∈Σ* ?f(M,w) is infinite, i.e. M’∈﹁Finite。由于AH归约到﹁Finite，所以﹁Finite非确定，又∵确定性在补下封闭，所以Finite也是非确定的。
8.给定TM M, 带上是否出现过a（a∈Σ）？
设Write_a = {
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”) =M’(“T”,”a”) = Simulate M(w).
若M接受w，在带上写a；否则什么也不写。
则{M,w}∈AH ?M halts on w ?M’在带上写了一个a?f(“M”,“w”)∈Write_a. 所以Write_a非确定。
9.给定M1，M2，它们是否在一个相同串上停机？
设2Halts = {
10.给定M，只要M接受w，M就接受w R
设S = {M| M accepts w R whenever it accept w}; AH = {
递归函数f定义如下，f(M,w) = M’(y), 在M’上模拟M(w).
当M接受w时，create M’ 只接受串1111；当M拒绝w时，create M’只接受串01。
则
判定语言Recursive/Recursive Enumerable / Not R.e.
1.L1 = {M| there exists an input on which M halts in less than |
2.L2 = {M| |L(M)|<4} Not R.e.
a)Reduction from H , 说明是R.e.或非R.e.
b)
3.L3 = {M| |L(M)|>2} R.e. not R
整理人：Rachel Zhang @ https://www.doczj.com/doc/df16783659.html,/abcjennifer 感谢金老师（https://www.doczj.com/doc/df16783659.html,/home.php?mod=space&uid=562030）授课
欢迎阅读 《汽车理论》知识点全总结 第一部分：填空题 第一章．汽车的动力性 1．从获得尽可能高的平均行驶速度的观点出发，汽车的动力性指标主要是：（1）汽车的最高车速Umax（2）汽车的加速时间t（3）汽车的最大爬坡度imax。 2．常用原地起步加速时间和超车加速时间来表明汽车的加速性能。 3．汽车在良好路面的行驶阻力有：滚动阻力，空气阻力，坡道阻力，加速阻力。 4．汽车的驱动力系数是驱动力与径向载荷之比。 2．确定最大传动比时，要考虑三方面的问题：最大爬坡度、附着率及汽车最低稳定车速。 3．确定最小传动比时，要考虑的问题：保证发动机输出功率的充分发挥、足够的后备功率储备、受驾驶性能限制和综合考虑动力性和燃油经济性。 4．某厂生产的货车有两种主传动比供用户选择，对山区使用的汽车，应选择传动比大的主传动比，为的是增大车轮转矩，使爬坡能力有所提高。但在空载行驶时，由于后备功率大，故其燃油经济性较差。 5．在同一道路条件与车速下，虽然发动机发出的功率相同，但变速器使用的档位越低，后备功率越大，发动机的负荷率越低，燃油消耗率越高。 6．单位汽车总质量具有的发动机功率称为比功率，发动机提供的行驶功率与需要的行驶功率之差称为后备功率。 7．变速器各相邻档位速比理论上应按等比分配，为的是充分利用发动机提供的功率，提高汽车的
动力性。 8．增加挡位数会改善汽车的动力性和燃油经济性，这是因为：就动力性而言，挡位数多，增加了发动机发挥最大功率附近高功率的机会，提高了汽车的加速和爬坡能力。就燃油经济性而言，挡位数多，增加了发动机在低燃油消耗率区工作的可能性，降低了油耗。 9．对汽车动力性和燃油经济性有重要影响的动力装置参数有两个，即最小传动比和传动系挡位数。 第四章．汽车的制动性 1．汽车制动性的评价指标是：（1）制动效能，即制动距离与制动减速度（2）制动效能的恒定性，即抗热衰退性能（3）制动时汽车的方向稳定性。 2．制动效能是指：汽车迅速降低车速直至停车的能力，评定指标是制动距离和制动减速度。 汽车的制动距离是指从驾驶员开始操纵制动控制装置（制动踏板）到汽车完全停止住为止汽车驶过的距离，它的值取决于制动踏板力、路面附着条件、车辆载荷和发动机是否结合等因素。 第六章．汽车的平顺性 1．研究平顺性的目的是控制汽车振动系统的动态特性，使乘坐者不舒服的感觉不超过一定界限，平顺性的评价方法有加权加速度均方根值法和振动剂量值两种。 2．“ISO2631”标准用加速度均方根值给出了在1-80Hz摆动频率范围内人体对振动反应的暴露极限、疲劳-降低工效界限、降低舒适界限三种不同的感觉界限。 3．进行舒适性评价的ISO2631-1:1997（E）标准规定的人体座姿受振模型考虑了：座椅支撑面，座椅靠背和脚支撑面共三个输入点12个轴向的振动。 4．悬架系统对车身位移来说，是将高频输入衰减的低通滤波器，对于动挠度来说是将低频输入衰减的高通滤波器。 5．降低车身固有频率，会使车身垂直振动加速度减小，使悬架动饶度增大。 6．作为汽车振动输入的路面不平度，主要用路面功率谱密度来描述其统计特性。
计算方法公式总结 绪论 绝对误差 e x x *=-，x *为准确值，x 为近似值。 绝对误差限 ||||e x x ε*=-≤，ε为正数，称为绝对误差限 相对误差* r x x e e x x * *-== 通常用r x x e e x x *-==表示相对误差 相对误差限||r r e ε≤或||r r e ε≤ 有效数字 一元函数y=f （x ） 绝对误差 '()()()e y f x e x = 相对误差 ''()()()()()()() r r e y f x e x xf x e y e x y y f x =≈= 二元函数y=f （x 1,x 2）
绝对误差 1212 12 12 (,)(,) () f x x f x x e y dx dx x x ?? =+ ?? 相对误差 121122 12 12 (,)(,) ()()() r r r f x x x f x x x e y e x e x x y x y ?? =+ ?? 机器数系 注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8 2. n为计算机字长 3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U
4. 尾数部 120.n s a a a =±，定位部p β 5. 机器数个数 1 12(1)(1)n U L ββ-+--+ 机器数误差限 舍入绝对 1|()|2 n p x fl x ββ--≤ 截断绝对|()|n p x fl x ββ--≤ 舍入相对1|()|1||2 n x fl x x β--≤ 截断相对1|()|||n x fl x x β--≤ 九韶算法 方程求根 ()()()m f x x x g x *=-，()0g x ≠，*x 为f （x ）=0的m 重根。 二分法
《汽车理论》知识点全总结 第一部分：填空题 第一章．汽车的动力性 1．从获得尽可能高的平均行驶速度的观点出发，汽车的动力性指标主要是：（1）汽车的最高车速Umax（2）汽车的加速时间t（3）汽车的最大爬坡度imax。 2．常用原地起步加速时间和超车加速时间来表明汽车的加速性能。 3．汽车在良好路面的行驶阻力有：滚动阻力，空气阻力，坡道阻力，加速阻力。 4．汽车的驱动力系数是驱动力与径向载荷之比。 5．汽车动力因数D=Ψ+δdu/g dt。 6．汽车行驶的总阻力可表示为：∑F=Ff+Fw+Fj+Fi 。其中，主要由轮胎变形所产生的阻力称：滚动阻力。 7．汽车加速时产生的惯性阻力是由：平移质量和旋转质量对应的惯性力组成。 8．附着率是指：汽车直线行驶状况下，充分发挥驱动力作用时要求的最低地面附着系数。 9．汽车行驶时，地面对驱动轮的切向反作用力不应小于滚动阻力、加速阻力与坡道阻力之和，同时也不可能大于驱动轮法向反作用力与附着系数的乘积。 10.车速达到某一临界车速时，滚动阻力迅速增长，此时轮胎发生驻波现象。 第二章．汽车的燃油经济性 1．国际上常用的燃油经济性评价方法主要有两种：即以欧洲为代表的百公里燃油消耗量和以美国为代表的每加仑燃油所行驶的距离。 2．评价汽车燃油经济性的循环工况一般包括：等速行驶，加速、减速和怠速停车多种情况。 3．货车采用拖挂运输可以降低燃油消耗量，主要原因有两个：（1）带挂车后阻力增加，发动机的负荷率增加，使燃油消耗率b下降（2）汽车列车的质量利用系数（即装载质量与整车整备质量之比）较大。 4．从结构方面提高汽车的燃油经济性的措施有：缩减轿车尺寸和减轻质量、提高发动机经济性、适当增加传动系传动比和改善汽车外形与轮胎。 5．发动机的燃油消耗率，一方面取决于发动机的种类、设计制造水品；另一方面又与汽车行驶时发动机的负荷率有关。 6．等速百公里油耗正比于等速行驶时的行驶阻力与燃油消耗率，反比于传动效率。 第三章．汽车动力装置参数的选定 1．汽车动力装置参数系指：发动机的功率和传动系的传动比；它们对汽车的动力性和燃油经济性有很大影响。2．确定最大传动比时，要考虑三方面的问题：最大爬坡度、附着率及汽车最低稳定车速。 3．确定最小传动比时，要考虑的问题：保证发动机输出功率的充分发挥、足够的后备功率储备、受驾驶性能限制和综合考虑动力性和燃油经济性。 4．某厂生产的货车有两种主传动比供用户选择，对山区使用的汽车，应选择传动比大的主传动比，为的是增大车轮转矩，使爬坡能力有所提高。但在空载行驶时，由于后备功率大，故其燃油经济性较差。 5．在同一道路条件与车速下，虽然发动机发出的功率相同，但变速器使用的档位越低，后备功率越大，发动机的负荷率越低，燃油消耗率越高。 6．单位汽车总质量具有的发动机功率称为比功率，发动机提供的行驶功率与需要的行驶功率之差称为后备功率。7．变速器各相邻档位速比理论上应按等比分配，为的是充分利用发动机提供的功率，提高汽车的动力性。 8．增加挡位数会改善汽车的动力性和燃油经济性，这是因为：就动力性而言，挡位数多，增加了发动机发挥最大功率附近高功率的机会，提高了汽车的加速和爬坡能力。就燃油经济性而言，挡位数多，增加了发动机在低燃油消耗率区工作的可能性，降低了油耗。 9．对汽车动力性和燃油经济性有重要影响的动力装置参数有两个，即最小传动比和传动系挡位数。 第四章．汽车的制动性 1．汽车制动性的评价指标是：（1）制动效能，即制动距离与制动减速度（2）制动效能的恒定性，即抗热衰退性能（3）制动时汽车的方向稳定性。
实际成本法→个别计价法，先进先出法，月末一次加权平均法，移动加权平均法 计划成本法→材料成本差异率= 本期购入计划成本 期初计划成本本期购入差异 期初差异++x100% （超支为﹢，节约为-） 发出材料应负担的成本差异＝发出材料的计划成本×本期材料成本差异率 一、库存商品：毛利率法： 售价金额法：商品进销差价率= 本期购入商品售价 期初库存商品售价本期购进商品进销差价 期初库存商品进销差价++ 本期销售商品应分摊的商品进销差价=本期商品销售收入x 商品进销差价率 本期销售商品成本=本期商品销售收入-本期销售商品应分摊的商品进销差价 期末结存商品的成本=期初进价成本+本期购进进价成本-本期销售成本 三、折旧方法：年限平均法、工作量法、双倍余额递减法、年数总和法 双倍余额递减法=固定资产账面价值（不减去净残值）x2/预计使用年限 最后两年→年限平均法 年数总和法折旧率=尚可使用年数/预计使用寿命的年数总和x （原值-净残值）
第七章年金A是指间隔期相等的系列等额收付款（不一定要间隔1年）复利→一笔款项的收付 年金→系列多笔等额款项的收付
年偿债基金：知道终值F ，求年金A →与普通年金终值互为倒数 A ＝F （A/F ，i ，n ） 年资本回收额：知道现值P ，求年金A →与普通年金现值互为倒数 A ＝P （A/P ，i ，n ） （1）一年多次计息时，名义利率与实际利率的换算关系如下： 实际利率i ＝（1＋ m r ）m -1 （r 为名义利率，m 为每年复利计息次数） （2）考虑通货膨胀时，名义利率与实际利率的换算关系如下： 1＋名义利率＝（1＋实际利率）×（1＋通货膨胀率）
一、名词解释 1．汽车的动力性：汽车的动力性系指汽车在良好的路面上直线行驶时由汽车受到的纵向外力决定的、所能达到的平均行驶速度。 3．汽车的燃油经济性：在保证动力性的条件下，汽车以尽量少的燃油消耗量经济行驶的能力，称作汽车的燃油经济性。 4. 汽车百公里燃油消耗量：在一定运行工况下汽车每行驶一百公里所消耗燃油的升数Qs（L/100km）。 5. 汽车的制动性：汽车行驶时能在短距离内停车且维持行驶方向稳定性和在下 长坡时能维持一定车速的能力，成为汽车的制动性。（还包括对已停驶的汽车，特别是在坡道上已停驶的汽车，特别是在坡道上已停驶的汽车，可使其可靠地驻留原地不动的驻车制动性能）。 6．汽车曲线行驶的时域响应：汽车曲线行驶的时域响应系指汽车在转向盘输入或外界侧向干扰输入下的侧向运动响应。 7．地面制动力：汽车制动时受到与行驶方向相反、由地面提供的外力，称为地面制动力。 8. 轮胎的侧偏现象：有侧向弹性的车轮，在侧偏力的作用下滚动时，即使侧偏 力没有达到附着极限，车轮行驶方向亦将偏离车轮平面，这就是弹性轮胎的测偏现象。 9．转向盘力特性：转向盘力随汽车运动状况而变化的规律称为转向盘力特性。 10. 汽车曲线运动引起的侧翻：指汽车在道路（包括侧向坡道）上行驶时，由 于汽车的侧向加速度超过一定限值，使得汽车内侧车轮的垂直反力为零而引起的侧翻。 11．车辆的挂钩牵引力：车辆的土壤推力Fx与土壤阻力Fr之差，称为挂钩牵引力，是表征汽车通过性的主要参数。 12．汽车通过性的几何参数：与间隙失效有关的汽车整车几何尺寸，称为汽车通过性的几何参数。这些参数包括最小离地间隙、纵向通过角、接近角、离去角、最小转弯直径等。 13.汽车侧翻：汽车侧翻是指汽车在行驶过程中绕其纵轴线转动90度或更大的 角度，以至车身与地面相接触的一种极其危险的侧向运动。 9．汽车的通过性（越野性）：汽车的通过性（越野性）是指它能以足够高的平均车速通过各种坏路和无路地带（如松软地面、凹凸不平地面等）及各种障碍（如陡坡、侧坡、壕沟、台阶、灌木丛、水障等）的能力。 10．土壤推力：在驱动力作用下，由地面剪切变形而产生的反力作用在车轮上，称为土壤推力。 1．汽车的后备功率：汽车在良好水平路面上以某一速度等速行驶时，发动机能发出的最大功率与汽车的阻力功率之差，成为汽车在该车速时的后备功率。 3．无级变速器的调节特性：在同一Ψ的道路上，不同车速时，无级变速器应有的ⅰ值连成曲线便得无级变速器的调节特性。 4. 汽车多工况百公里燃油消耗量：（1）循环行驶试验工况，模拟实际汽车运行 状况的试验工况，它规定了车速-时间行驶规范。（2）多工况百公里燃油消耗量，在规定的循环行驶试验工况下，测得的汽车百公里燃油消耗量。 23．线性二自由度汽车模型：是一个两轮摩托车模型。由前后两个有侧向弹性的轮胎支撑于地面、具有侧向及横摆运动二自由度。 24．转向灵敏度：（稳态横摆角速度增益）稳态的横摆角速度与前轮转角之比，
第一章：基本概念 1. 1 2...1 2...1.m m m m n m n x x x x x x x x +++++=±1 2...1 2....m m m m n x x x x x x x +++=± 若1 102 n x x --≤? ，称x 准确到n 位小数，m n x + 及其以前的非零数字称为准确数字。 各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。 2. 1 2...()0.l t f x x x x x β==±? 进制：β，字长：t ，阶码：l ，可表示的总数：12(1)(1)1t U L ββ-?-+?-+ 3.计算机数字表达式误差来源 实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。 4. 数据误差影响的估计： 121 (,,...)n n i i x x x y y x x ??-≤??∑ 121 (,,...)n n i i i y y x x x x x y x y ?δ-?≤?∑ ，小条件数。 解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。 5.算法的稳定性 若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。 第二章：解线性代数方程组的直接法 1.高斯消去法 步骤：消元过程与回代过程。 顺利进行的条件：系数矩阵A 不为零；A 是对称正定矩阵，A 是严格对角占优矩阵。 2.列主元高斯消去法 失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。 解决：在消去过程的第K 步，交换主元。 还有行主元法，全主元法。 3.三角分解法 杜立特尔分解即LU 分解。 用于解方程LY b AX b LUX b UX Y =?=→=→? =? ； 用于求1122...nn A LU L U U u u u ====。 克罗特分解：11()()A LU LDD U LD D U --===，下三角阵和单位上三角阵的乘积。 将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。 对称正定矩阵的乔列斯基分解，T A GG =，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解 AX b =的平方根法。 改进平方根法：利用矩阵的T A LDL =分解。 4.舍入误差对解的影响
备注：各课次内容中：用红色字标记的是重点，加粗且斜体标记的是难点，既用红色标记又加粗斜体标记的既是重点也是难点。 课次1： 内容： 第一章、汽车的动力性 §1-1 汽车的动力性指标 §1-2 汽车的驱动力与行驶阻力 一、汽车驱的驱动力：发动机的外特性，传动系的机械效率，车轮半径，汽车的驱动力图。 课次2： 二、汽车的行驶阻力：滚动阻力及滚动阻力系数，空气阻力及空气阻力系数，上坡阻力，加速阻力。 课次3： 三、汽车的行驶方程式 §1-3 汽车行驶的驱动与附着条件，附着力与附着利用率 课次4： §1-4 汽车的驱动力——行驶阻力平衡：驱动力—行驶阻力平衡图，利用驱动力—行驶阻力平衡图分析汽车的动力性指标。 §1-5 汽车的动力因数与动力特性图：利用动力特性图分析汽车的动力性指标。 课次5： §1-6 汽车的功率平衡：利用功率平衡图分析汽车的动力性指标。 课后习题：汽车动力性习题 试验1：汽车动力性路上试验 课次6： 第二章汽车的燃油经济性 §2-1 汽车燃油经济性的评价指标 §2-2 汽车的燃油经济性计算：汽车发动机的负荷特性与万有特性，汽车稳定行驶时燃油经济性的计算 课次7： §2-2 汽车的燃油经济性计算：汽车的加速、减速与停车怠速的耗油量计算。§2-3 影响汽车燃没油经济性的因素：影响汽车燃油经济性的使用因素，影响汽车燃油经济性的结构因素，提高汽车燃油经济性的途径。 试验2：汽车燃油经济性实验 课次8：
第三章汽车发动机功率与传动系传动比的选择 §3-1 发动机功率的选择 §3-2 传动系最小传动比的确定 课次9： §3-3 传动系最大传动比的确定 §3-4 传动系档数与各档传动比的确定 课后习题：汽车燃油经济性及传动系统参数选择习题 课次10： 第四章汽车的制动性 §4-1 制动性的评价指标 §4-2 制动时车轮的受力：地面制动力、制动器制动力与附着力的关系，滑动率与附着系数的关系。 课次11： §4-3 汽车的制动效能：汽车的制动减速度，制动距离， 汽车制动效能的恒定性 §4-4 制动时汽车的方向稳定性：制动跑偏，制动侧滑。 课次12： §4-5 前后制动器制动力的比例关系： 一、地面对前、后车轮的法向反作用力，前、后制动器制动力的理想分配曲线， 二、具有固定比值的前、后制动器制动力实际分配线，同步附着系数及其选择，制动过程分析 课次13： 三、在附着系数不同的道路上的制动过程分析、利用附着系数与附着效率。 §4-6 制动力调节：制动力调节原理，制动系限压阀、比例阀，防抱制动系统。 课次14： 第七章汽车的通过性 §7-1 汽车通过性概述 §7-2 汽车间隙失效、通过性的几何参数 §7-3 汽车越过台阶、壕沟的能力 课后习题：汽车制动性和通过性习题 课次15： 第五章汽车的操纵稳定性 §5-1概述：操纵稳定性概念，车辆坐标系，刚体运动微分方程。 §5-2轮胎的侧偏特性：轮胎坐标系，轮胎侧偏现象与侧偏特性，
六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083
汽车理论 Editor by D_san 第一章汽车动力性 一名词解释： 1、发动机的使用外特性曲线: 带上全部附件设备，将发动机节气门全开（或高压油泵在最大供油位置），测试发动机转矩，油耗率b和转速n之间的关系。 2、滚动阻力系数：是车轮在一定条件下滚动时所需推力与车轮负荷之比。 3、附着率：驱动轮所受的地面切向力Fx与地面法向反作用力Fz的比值Cφ，它是指汽车直线行驶工况下，充分发挥驱动力所需求的最低的附着系数。 4、动力因数：D=Ft-Fw/G 5、汽车的功率平衡图：若以纵坐标表示功率，横坐标表示车速，将发动机功率Pe，汽车经常遇到的阻力功率对车速的关系曲线绘在坐标图上。 二填空题： 1、地面对轮胎切向反作用力的极限值，称为附着力。 2、驱动力系数为驱动力与径向载荷之比。 3、汽车的加速时间表示汽车的加速能力，它对平均行驶车速有着很大影响。常用原地起步加速时间和超车加速时间来表明汽车的加速能力。 4、汽车的驱动力是驱动汽车的外力，即地面对驱动轮的纵向反作用力。 5、车速达到某一临界车速时，滚动阻力迅速增长，此时轮胎发生驻波现象。 6、汽车直线行驶时受到的空气阻力分为压力阻力与摩擦阻力两部分。压力阻力分为：形状阻力，干扰阻力，内循环阻力和诱导阻力四部分。形状阻力占压力阻力的大部分。 7、汽车的动力性能不只受驱动力的制约，它还受到轮胎与地面间附着条件的限制。 三问答题： 1.如何用弹性轮胎的弹性迟滞现象，分析弹性轮胎在硬路上滚动时，滚动阻力偶矩产生的机理？ P8，一二段，图1-9,1-10. 2.影响汽车动力性的因素有哪些？
发动机发出的扭矩F tq ，变速器的传动比ig ，主减速器传动比i 0，传动系的传动效率ηT ，空气阻力系数C D ，迎风面积A ，活动阻力系数f ，汽车总质量G 等。 四 计算题： 1、后轴驱动的双轴汽车在滚动阻力系数f=0.03的道路上能克服道路的上升坡度角为20度。汽车数据：轴距L=4.2m ，重心至前轴距离a=3.2m ，重心高度hg=1.1m ，车轮滚动半径r=0.46m 。问：此时路面的附着系数值最小应为多少？ 解：Fz 1=G （b/Lcos α-h g /Lsin α）-G ·rf/L`cos α Fz 2= G （a/Lcos α-h g /Lsin α）+G ·rf/L`cos α φ min =C φ2=Fx 2/Fz 2=F f1+Fw+Fi+Fj/Fz 2=（F z1·f+G ·sin α+m ·du/dt ）/Fz 2=（Fz 1·f+G ·sin α）/Fz 2 2、汽车用某一挡位在f =0.03的道路上能克服的最大坡度Imax =20%,若用同一挡位在f =0.02的水平道路上行驶，求此时汽车可能达到的加速度的最大值是多少？（δ=1.15 且忽略空气阻力） 解：α=artan0.2， 汽车能产生的最大驱动力：Ft max =G ·f 1·cos α1+G ·sin α1=G ·f 2+δ·G/g ·du/dt max 上式移项： (du/dt ）max = （f1?cos α1+ ?sin α1-f2）·g/δ= 第三章 汽车动力装置参数的选定 1.汽车比功率：是单位汽车总质量所具有的发动机功率。 2.确定最大传动比时，要考虑最大爬坡度、附着率及汽车最低稳定车速三方面的问题。 3.汽车的燃油经济性常用一定运行工况下汽车行驶百公里的燃油消耗量或一定燃油量能使汽车行驶的里程来衡量。等速行驶工况没有全面反映汽车的实际运行情况，各国都制定了一些典型的循环行驶试验工况来模拟实际汽车运行状况。 4.试分析主传动比i0的大小对汽车后备功率及燃油经济性能的影响？ 根据公式u a =0.377·r n /i o i g 知不同i o 时的汽车功率平衡图中的3条线，i o1(完整版)行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
1. 何为有根区间 给定一个方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上连续，又f(a).f(b)<0,则由连续函数的性质知，方程f(x)=0在（a,b）内至少有一个实根。这时我们称区间[a,b]为方程f(x)=0有根区间 2. 寻找方程的有根区间的常用方法是什么 1.作图法 2.逐步搜索法 3. 作图法寻找有根区间适用于哪种情况 函数f(x)比较简单时适用 4. 对于已知方程，如何利用逐步搜索法在区间内寻找有根区间 从X0=a出发，按照事先选择的步长h=(b-a)/N(N为正整数)，逐点计算Xk==a+kh处的函数值f(Xk)与f(Xk+1)的值异号时，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一个有根区间 5. 逐步搜索法在计算机上实现方便。 6. 对于给定的n次代数方程，如何确定根模的上下界 （1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},则方程的根的绝对值小于a+1； （2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},则方程的根的绝对值大于1/(1+b). 7. 步长h的选择，对于逐步搜索法有何影响 当步长h越小时，找出的有根区间越小，这时以区间内的某个值作为根的近似值就越精确。但h越小，计算量越大 8. 二分法求解方程的根有和优点，有何缺点 优点是算法简单，而且收敛性总能得到保证，缺点是收敛速度慢。 9. 艾特金迭代法与二分法相比，计算收敛速度快，节省时间，并且能求出某些发散的迭代过程的根。 10. 牛顿法的优点是什么，缺点是什么 优点是收敛速度快，节省计算量，误差累积少。 缺点是在计算时它要用到f（x）的导数，当f（x）比较复杂时，计算其导数花费时间多。 11. 弦截法的优点是什么，它与牛顿法相比，收敛速度与计算速度如何 优点是不必计算f'(x),收敛速度也相当快,但比牛顿法慢。从计算速度来看，弦截法比牛顿法快。 12. 弦截法的基本思想是什么（结合图示说明），如何选取弦截法中的不动点 1准备2迭代3控制4迭代准备 13. 何为阶收敛，收敛速度与的大小有何关系 收敛速度的大小与收敛阶数有关系，收敛阶数越大，收敛速度越快。 14. 哪一类问题称为插值问题 由实验或测量得到了某一函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,....,xn处的值y0,y1,...yn,需要构造一个简单函数p(x)作为函数y=f(x)的近似表达式 Y=f(x)约等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),这类问题称为插值问题 15. 常用的插值算法有哪几种，各有什么优缺点 一拉格朗日插值线性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多项式（区间大时误差也较大） 二分段插值1分段线性插值2分段二次插值（优点是公式简单，计算量小，有较好的收敛性和稳定性，并且可以避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难。） 三差商与牛顿插值公式（不需要增加插值接点，不浪费） 四差分与等距节点差值公式（进一步简化插值公式，计算也方便） 五三次样条差值（既能保证曲线连续，又能保证光滑性要求） 16. 线性插值的几何意义是什么（结合图形进行说明） 线性插值的几何意义是利用通过两点的直线去近似代替曲线。 17. 线性拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 是什么关系 与x 在[a,b]时，f''(x)绝对值的最大值有关系|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18. 二次拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 有什么关系 P93与x在[x0,x2]时，f'''(x)对值的最大值有关系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 19. 通过n+1个互异节点且满足插值条件的插值多项式是唯一的 20. 线性插值或二次插值优缺点：简单方便，计算量小。缺点是精度较低；
概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0 第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共 有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限） 的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法 设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法 一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一 点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。 事先估计: 事后估计 局部收敛性判定定理： 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子 弦割法： 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 计算方法学习心得 在研究生一年级的上半学期，我们安排了计算方法的课程，通过课堂授课、网上学习、学术报告以及课堂监督等方式的引导，我们对计算方法有了全新的认识。 我们知道,数学是一门重要的基础学科。离开了数学，科技便无法发展。而在数学这门学科中，数值计算方法有着其不可取代的重要地位。 在授课的过程中，首先利用前几讲课的时间对计算方法的基础进行补充，考虑到有部分专业的学生在本科时期没有接触过计算方法这门课程；计算方法主要研究实际问题，当今社会计算机高速的发展，为人们使用数值计算方法解决科学技术中的各种数学问题提供了有力的硬件条件。要将关于数值计算的实际问题借助于计算机来解决，那么实际的上机操作就显得十分重要。因此，老师在平时课堂授课的同时，也推广网上学习，通过课堂掌握知识、网上复习内容双重方式学习，更有利于我们掌握知识，另外对于我们上机操作也具有十分重要的指导意义。 通过网上看教学视频，一方面我们对课上学习的内用加深了印象，另一方面由于课堂上时间有限，对于某些知识，我们在听课时不是很清楚，似懂非懂，在网上学习的帮助下，我们可以在课后及时对这些知识进行进一步的消化，对于我们吸收知识也是一种很好的方式。此外，网上学习具有可重复性的优点，这是课堂上所不具有的特点，在课堂上不懂的知识，在网上可以反复学习，在网上学习中遇到 的问题也能够反馈到课堂。所以课堂授课与网上学习相辅相成，各有优点，弥补了各自的不足之处。 当然课程的学术报告也十分重要，学是一码事，应用却是另一码事，很多课程中，我们学会了，遇到问题却不会解决，所以课程学术报告此时起了关键作用。学术报告是基于每组学生各自的专业设置的，这样做一方面检验学生应用计算方法的能力，另一方面也是为了引导学生将计算方法与本专业联系起来，学会应用学过的知识对现象进行描述、建模以及采用编程的方法处理数据等。 本学期的计算方法课程相当充实，在老师课上精心的授课、学生课下利用网上资源认真复习、对课程学术报告的完成以及课堂监督下，同学们都受益匪浅，尤其是对于数据处理方法的学习、思维的形成都有极其重要的作用，对于后期的专业研究也有深远的影响。 本学期已经接近尾声，计算方法课程也已经结束，在此向老师表示敬意和感谢! 汽车理论超级总结(考研笔记) 汽车的驱动力与行驶阻力 一、汽车驱的驱动力：发动机的外特性，传动系的机械效率，车轮半径，汽车的驱动力图。课次2： 二、汽车的行驶阻力：滚动阻力及滚动阻力系数，空气阻力及空气阻力系数，上坡阻力，加速阻力。课次3： 三、汽车的行驶方程式1-3 汽车行驶的驱动与附着条件，附着力与附着利用率课次4：1-4 汽车的驱动力行驶阻力平衡：驱动力行驶阻力平衡图分析汽车的动力性指标。1-5 汽车的动力因数与动力特性图：利用动力特性图分析汽车的动力性指标。课次5：1-6 汽车的功率平衡：利用功率平衡图分析汽车的动力性指标。课后习题：汽车动力性习题试验1：汽车动力性路上试验课次6：第二章汽车的燃油经济性2-1 汽车燃油经济性的评价指标2-2 汽车的燃油经济性计算：汽车发动机的负荷特性与万有特性，汽车稳定行驶时燃油经济性的计算课次7：2-2 汽车的燃油经济性计算：汽车的加速、减速与停车怠速的耗油量计算。 2-3 影响汽车燃没油经济性的因素：影响汽车燃油经济性的使用因素，影响汽车燃油经济性的结构因素，提高汽车燃油经济性的途径。试验2：汽车燃油经济性实验课次8：第三章汽车发动机功率与传动系传动比的选择3-1 发动机功率的选择3-2 传动系最小传动比的确定课次9：3-3 传动系最大传动比的确定3-4 传动系档数与各档传动比的确定课后习题：汽车燃油经济性及传动系统参数选择习题课次10：第四章汽车的制动性4-1 制动性的评价指标4-2 制动时车轮的受力：地面制动力、制动器制动力与附着力的关系，滑动率与附着系数的关系。课次11：4-3 汽车的制动效能：汽车的制动减速度，制动距离，汽车制动效能的恒定性4-4 制动时汽车的方向稳定性：制动跑偏，制动侧滑。课次12：4-5 前后制动器制动力的比例关系： 一、地面对前、后车轮的法向反作用力，前、后制动器制动力的理想分配曲线， 二、具有固定比值的前、后制动器制动力实际分配线，同步附着系数及其选择，制动过程分析课次13： 三、在附着系数不同的道路上的制动过程分析、利用附着系数与附着效率。4-6 制动力调节：制动力调节原理，制动系限压阀、比例阀，防抱制动系统。课次14：第七章汽车的通过性7-1 汽车通过性概述7-2 汽车间隙失效、通过性的几何参数7-3 汽车越过台阶、壕沟的能力课后习题：汽车制动性和通过性习题课次15：第五章汽车的操纵稳定性5-1概述：操纵稳定性概念，车辆坐标系，刚体运动微分方程。5-2轮胎的侧偏特性：轮胎坐标系，轮胎侧偏现象与侧偏特性，课次16：5-2轮胎的侧偏特性：影响侧偏特性的诸因素，有外倾角时轮胎的滚动。5-3线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应：汽车操纵系统的简化模型对前轮角输入的响应：二自由度汽车的运动微分方程式课次17：5-3线性 卓立教育-小学数学简便计算方法总结 一、拆分法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，会将某些数字拆分开 来再进行重新组合，这样的方法叫拆分法。 例题1：101＋75=（100＋1）＋75=100＋75＋1=176 例题2：125×32=125×8×4=1000×4=4000 例题3：999×999＋1999 =999×999＋（1000＋999）【将1999拆分】 =999×999＋999＋1000 去括号，并使用交换律交换位置 =999×999＋999×1＋1000 为使用乘法分配律，故将原式变形，给拆分出来的999乘以1 =999（999＋1）＋1000 使用乘法分配律，提取999 =999000＋1000 =1000000 例题4：33333×66666＋99999×77778 此题数字中最为特殊的是77778，我们发现这个数字加上22222正好等于100000，所以最好能从其他数字中拆分出来22222。经过观察，我们发现只有66666可以拆出，所以将66666拆分成22222×3。 原式=33333×3×22222＋99999×77778 =99999×22222＋99999×77778 =99999（22222＋77778） =00 例题5：13000÷125=13×1000÷125=13×8=104 例题6：÷ = 1988×10001÷2000×10001 =1998÷2000，即 二、归零法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，要在计算式中加上一 个数再减去同一个数的方法叫归零法。（即等于加了个“0”，所以叫归零法） 例题1：＋＋＋＋＋＋ =＋＋＋＋＋＋＋ 在上式中，我们加了一个又减去了一个，等于没加没减。这样一来，除最后一项之外，每一项与前一项相加就会等于前一项。则： =1 三、凑整法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，要通过“凑”的方式 让计算式中出现整百、整千、整万等数字。 例题：99999＋9999＋999＋99＋9 =（99999＋1）＋（9999＋1）＋（999＋1）＋（99＋1）＋（9＋1）（加了5个1，所以减去5）数值分析(计算方法)总结
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