无锡市第一中学
2011—2012学年度高三第一学期期初试卷
数 学 试 题
一、填空题（每小题5分）
1．函数f （x ）＝x ＋2x
x （－）的定义域是 ． 2．若i i z -=+1)1( （i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =_____________ ．
3．设集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，则“A B R ?=”是“a ＝1”的__________________
条件．（从如下四个中选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条件、
必要不充分条件、既不充分也不必要条件）
4．从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们
身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）．现用分层
抽样的方法从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．
5．从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A 为“抽得红
桃8”，事件B 为“抽得为黑桃”，则事件“A ＋B ”的概率值是_____________（结果用最简分数表示）． 6．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是
____________________．
7．函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）在闭区间[,0]
π-上的图象如图所示，则ω= ．
8．若圆01422
2
=+-++y x y x 关于直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）对称，则ab 的取值范
围是___ ．
9．已知函数()|lg |f x x =．若()()f a f b =且a b ≠，则a b +的取值范围是 ．
10．如图所示，直线2=x 与双曲线14
:
2
2
=-y
x
C 的渐近线交于
1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e ==
，任取双曲线C 上的点P ，
若21e b e a OP +=，则实数a 和b 满足的一个等式是_____________．
11．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： （1）若l ⊥α， m α?，则l m ⊥；（2）若l α⊥，l m //，则m α⊥；
（3）若l α//，m α?，则l m // ；（4）若l α//，m α//，则l m // 则其中命题正确的是_____________．
12．如图，两座相距60m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20m 、50m ，BD 为水平
面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是 ．
13．若0,0≥≥b a ，且当??
?
??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐
标的点),(b a P 所形成的平面区域的面积等于___________．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在
点
()
k k k P x y ，处，其中
11
x =，
11
y =，当2k ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?
????=+--? ? ??????????
?
--?????
=+- ? ??????
?，．
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2012棵
树种植点的坐标应为______________． 二、解答题
15．（本题14分）在A B C ?中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、；
（1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =，向量)cos ,(cos C B z -=，若
)//(y x z +，求tan tan B C +的值；
（2）若sin cos 3cos sin 0A C A C +=，证明:2
222b c a =-
．
16．（本题14分）
如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：平面PDC⊥平面PAD．
17．（本题14分）
某公司为帮助尚有26．8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
18．（本题16分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 是椭圆短轴的一个端点，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，21F MF ?的面积为4，2ABF ?的周长为28 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点Q 的坐标为)0,1(，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该
圆与直线1PF ，2PF 都相切．若存在，求出点P 的坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．
19．（本题16分）
数列{a n }满足：
()1
2
121
999121101010
n n n n na n a a a ---??
??+-+???++=++???+
+ ?
???
??
（n ＝1，2，3，…，
）． （1）求n a 的通项公式；
（2）若1n n b n+a =-
（），试问是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k b b ≤成立？证明你的结论．
20．（本题16分）
已知函数()f x 是定义在[)(],00,e e - 上的奇函数,当(]0,x e ∈时, ()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底数, a R ∈）． （1）求()f x 的解析式; （2）设1-=a ，x
x x g ln )(-
=，求证：当(]0,x e ∈时，2
1)()(+
（3）是否存在负数a ，使得当(]0,x e ∈时，()f x 的最大值是3-？如果存在，求出实 数a 的值；如果不存在，请说明理由． 理科选修 1．已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为) (4 R ∈= ρπθ ，曲线1C ， 2C 相交于A ，B 两点． （1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）求弦AB 的长度． 2．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． （1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量； （2）求逆矩阵1 M -以及椭圆 2 2 14 9 x y + =在1 M -的作用下的新曲线的方程． 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ， 90=∠BAD ， PA ⊥平面ABCD ，1=AB ，2=AD ，4==CD PA ． （1）求证：BD ⊥PC ； （2）求二面角A PC B --的余弦值． 4．如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C ．已知小球从每个叉口 落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的 小球落到A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖． （1）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变量ξ为获得 k )3,2,1(=k 等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望)(ξE ； （2）若有3人次（投入l 球为l 人次）参加促销活动，记随机变 量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．
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