第一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念
1. (2014·南通一模)已知集合A ＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1}，则?R A ＝________． 答案：[－1，3)
解析：?R A ＝[－1，3)． 2. (2014·苏北三市期末)已知集合A ＝{2＋a ，a}，B ＝{－1，1，3}，且A íB ，则实数a 的值是________．
答案：1
解析：由题设a ＝1，2＋a ＝3，从而a ＝1.
3. 已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{m|m ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A}，则集合B ＝________． 答案：{－2，0，2}
解析：因为x∈A，y ∈A ，所以x ＋y ＝－2，0或2，所以集合B ＝{－2，0，2}．
4. 已知A ＝{x|x 2
－2x －3≤0}，若实数a∈A，则a 的取值范围是________． 答案：[－1，3]
解析：由条件知a 2
－2a －3≤0，从而a ∈[－1，3]．
5. 已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x∈R |x 2
－ax ＋1＝0，a ∈A}，则B íA 时，a ＝________． 答案：1或2
解析：验证a ＝1时B ＝?满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．
6. 已知集合A ＝{x|x 2
＋mx ＋1＝0}，若A 只有一个子集，则实数m 的取值范围是____________．
答案：[0，4)
解析：由题意，A ＝ ，∴ Δ＝(m)2
－4＜0，∴ 0≤m ＜4.
7. 若集合{x|ax 2
＋2x ＋1＝0}与集合{x 2
－1＝0}的元素个数相同，则实数a 的取值集合为__________．
答案：{0，1}
解析：∵ 集合{x 2－1＝0}的元素个数为1，∴ 方程ax 2
＋2x ＋1＝0有且只有一个实数
解．∴ a＝0或?
????a≠0，
Δ＝0，即a ＝0或1.
8. 已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A íB ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．
答案：4
解析：A ＝{x|0 9. (2014·江苏检测)已知集合A ＝{x|x 2 －3x －10≤0}，集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，且B íA ，则实数m 的取值范围是____________． 答案：m≤3 解析：由已知，集合A ＝{x|－2≤x≤5}，因为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，且B íA ，所 以当B ＝?时，有m ＋1>2m －1，即m<2时，符合题意；当B≠?时，???? ?m ＋1≤2m－1， －2≤m＋1，2m －1≤5， 解得2≤m ≤3.综上得实数m 的取值范围是m≤3. 10. (2014·宁夏月考改)设集合S n ＝{1，2，3，…，n}，若x 是S n 的子集，把x 中的所有数的乘积称为x 的容量(若x 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若x 的容量为奇(偶)数，则称x 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，求S n 的所有奇子集的容量之和． 解：由奇子集的定义可知：奇子集一定是S n 中为奇数的元素构成的子集．由题意可知，若n ＝4，S n 中为奇数的元素只有1，3，所有奇子集只有3个，分别是{1}，{3}，{1，3}，则它们的容量之和为1＋3＋1×3＝7. 11. (2014·如皋中学期中)已知集合A ＝{x|1－x x －7 ＞0}，B ＝{x|x 2－2x －a 2 －2a ＜0}． (1) 当a ＝4时，求A∩B； (2) 若A íB ，求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝{x|1 当a ＝4时，B ＝{x|x 2 －2x －24＜0}＝{x|－4＜x ＜6}， ∴ A ∩B ＝(1，6)． (2) B ＝{x|(x ＋a)(x －a －2)<0}， ① 当a ＝－1时，B ＝?，∴ A íB 不成立； ② 当a ＋2>－a ，即a>－1时，B ＝(－a ，a ＋2)， ∵ A íB ，∴ ? ????－a≤1， a ＋2≥7，解得a≥5； ③ 当a ＋2<－a ，即a<－1时，B ＝(a ＋2，－a)， ∵ A íB ，∴ ? ??? ?a ＋2≤1，－a≥7，解得a≤－7. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． 第2课时 集合的基本运算 1. (2014·南师附中冲刺)设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|0＜x ＜4，x ∈N }，则A∩B ＝________． 答案：{1} 解析：A 、B 的公共元素是1，∴ A ∩B ＝{1}． 2. 已知集合P ＝{－1，m}，Q ＝??????x ? ??－1 解析：m∈Q，即－1 4 ，而m∈Z ，∴ m ＝0. 3. (2014·苏锡常镇一模)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{m ，4，7}．若A∩B＝{1，4}，则A∪B＝________． 答案：{1，2，3，4，7} 解析：由A∩B＝{1，4}，知m ＝1，从而A∪B＝{1，2，3，4，7}． 4. 已知集合A ＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x 、y∈Z }，则A∩B＝________． 答案：{(0，1)，(－1，2)} 解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 5. 已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案：0或3 解析：∵ A∪B＝A ，∴ B í A.又A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，∴ m ＝3或m ＝m.由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m ＝0或m ＝3. 6. (原创)集合A ＝{x|k π＋π 4 ≤x ≤k π＋π，k ∈Z }，B ＝{x|－2≤x≤2}，则集合A∩B ＝________． 答案：[－2，0]∪???? ??π4，2 解析：由已知集合A ＝…∪[－π＋π4，－π＋π]∪[π4，π]∪[π＋π 4 ，π＋π]∪…， B ＝{x|－2≤x≤2}，利用数轴表示易得A ∩B ＝[－2，0]∪[π 4，2]． 7. 已知集合A ＝{y|y ＝－x 2 ＋2x}，B ＝{x||x －m|<2 015}，若A∩B＝A ，则m 的取值范围是________． 答案：(－2 014，2 015) 解析：集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域，由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2 ＋1≤1，可得0≤y≤1，故A ＝[0，1]．集合B 是不等式|x －m|<2 015的解集，解得m －2 015 如图，由数轴可得?????m －2 015<0， m ＋2 015>1， 解得－2 014 8. 给定集合A ，若对于任意a 、b∈A，有a ＋b∈A，且a －b∈A，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ① 集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ② 集合A ＝{n|n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合； ③ 若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：② 解析：－4＋(－2)＝－6?A ，所以①不正确；设n 1、n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1、k 2 ∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；令A 1＝{x|x ＝2k ，k ∈Z }，A 2＝{x|x ＝3k ，k ∈Z }，则A 1、A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确． 9. (2014·济南模拟)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x|ax ＋1＝0}，若B íA ，则实数a 的所有可能取值组成的集合为______________． 答案：{－1，0，1} 解析：若a ＝0，B ＝?，满足B íA ；若a≠0，B ＝???? ?? －1a ， ∵ B íA ，∴ －1a ＝－1或－1 a ＝1， ∴ a ＝1或a ＝－1.∴ a＝0或a ＝1或a ＝－1组成的集合为{－1，0，1}． 10. (2014·启东检测)已知集合A ＝{x|x 2－2x －3>0}，B ＝{x|x 2 －4x ＋a ＝0，a ∈R }． (1) 存在x∈B，使得A∩B≠?，求a 的取值范围； (2) 若A∩B＝B ，求a 的取值范围． 解：(1) 由题意得B≠?，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. ① 令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2 ＋a －4，对称轴为x ＝2， ∵ A ∩B ≠?，又A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴ f(3)<0，解得a<3. ② 由①②得a 的取值范围为(－∞，3)． (2) ∵ A∩B＝B ，∴ B í A. 当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B 是空集，这时满足A∩B＝B ； 当Δ＝16－4a≥0时，a ≤4. ③ 令f(x)＝x 2 －4x ＋a ，对称轴为x ＝2， ∵ A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠?， ∴ f(－1)<0，解得a<－5. ④ 由③④得a<－5. 综上得a 的取值范围为(－∞，－5)∪(4，＋∞)． 11. 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2 －3a ＞0}． (1) 当a ＝4时，求A∩B； (2) 若A∩(?R B)＝?，求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)．由数轴图得A∩B ＝[－8，－7)． (2) ∵ A∩(?R B)＝?，∴ A í B. 又方程x 2＋3x －a 2 －3a ＝0的两根分别为a ，－a －3， ① 当a ＝－a －3时，即a ＝－32时，B ＝? ????－∞，－32∪? ?? ??－32，＋∞，满足A íB ； ② 当a<－3 2时，a<－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8， 得－4 2，满足A íB ； ③ 当a>－3 2 时，a>－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4， 得－3 2 综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)． 第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1. (2014·南京调研)命题“"x ∈R ，x 2 －2x ＋2＞0”的否定是______________． 答案： x ∈R ，x 2 －2x ＋2≤0 解析：根据全称命题的否定是存在性命题可得答案． 2. (2014·九江一模改)命题“若x 2＞y 2 ，则x>y”的逆否命题是______________． 答案：“若x≤y，则x 2≤y 2 ” 解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2 ，则x>y”的逆否命 题是“若x≤y，则x 2≤y 2 ”． 3. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5 ＝1表示双曲线的充要条件是k∈____________． 答案：(－1，5) 解析：方程x 2k ＋1＋y 2k －5 ＝1表示双曲线的充要条件是(k ＋1)(k －5)＜0，解得－1 4. (2014·南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x ＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝π2”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 答案：必要不充分 解析：必要性，当φ＝π 2 时，f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ，它为奇函数； 而当φ＝π 2 ＋2π时，f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ，也是奇函数，所以充分性 不成立，故应填必要不充分． 5. 已知命题p ：若实数x 、y 满足x 2＋y 2 ＝0，则x 、y 全为零．命题q ：若a>b ，则1a <1b . 给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q.其中真命题是________．(填序号) 答案：②④ 解析：命题p 为真命题．若a ＝2>b ＝－1，而1a ＝12>1 b ＝－1，命题q 为假命题．由真值 表可知， p 或q 、非q 为真命题． 6. (2014·中华中学调研)已知命题p ：$ x ∈R ，使sinx ＝5 2 ；命题q ："x ∈R ，都 有x 2 ＋x ＋1＞0.给出下列命题： ① 命题“p∧q”是真命题； ② 命题“p∧(?q)”是假命题； ③ 命题“(?p)∨q”是真命题； ④ 命题“(?p)∨(?q)”是假命题． 其中正确的是__________．(填序号) 答案：②③ 解析：由已知，p 假q 真，由真值表知，正确命题为②③. 7. (2014·扬州中学月考)设f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2 ＋1)，则对任意实数a 、b ，“a ＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 答案：充要 解析：∵ f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2 ＋1)， ∴ f(－x)＝－x 3＋lg(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋lg ? ?? ??1x ＋x 2 ＋1＝－x 3－lg(x ＋x 2 ＋1)＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函数．又可证f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2 ＋1)是增函数，由a ＋b≥0得a≥－b ，∴ f (a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，∴ f(a)＋f(b)≥0，反之也成立．故“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的充要条件． 8. 若存在实数x ，使得x 2 －4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是________． 答案：(－∞，0)∪? ?? ??34，＋∞ 解析：由题意知只需满足相应方程x 2－4bx ＋3b ＝0的判别式Δ>0，则4b 2 －3b>0，解得 b<0或b>3 4 . 9. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1) 全等三角形一定相似； (2) 末位数字是零的自然数能被5整除． 解：(1) 逆命题：若两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题． (2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题. 10. 设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2 －(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：条件p 为1 2≤x ≤1，条件q 为a≤x≤a＋1. ?p 对应的集合A ＝ ? ?????x|x>1或x<12，?q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1或x ∵ ?p 是?q 的充分不必要条件，∴ B 真属于A ， ∴ a ＋1>1且a≤12或a ＋1≥1且a<1 2 . ∴ 0≤a ≤12.故a 的取值范围为???? ??0，12. 11. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，集合B 为函数y ＝x 2－2x ＋a 的值域，集合C ＝{x|x 2 －ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ≠?；命题q ：A í C. (1) 若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (2) 若命题p∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝[1，2]，B ＝[a －1，＋∞)，若p 为假命题，则A∩B＝?，故a －1>2，即a>3.故a 的取值范围为(3，＋∞)． (2) 若命题p∧q 为真命题，则p 和q 都为真命题．命题p 为真，则a≤3.命题q 为真， 即转化为当x∈[1，2]时，f(x)＝x 2 －ax －4≤0恒成立． (解法1)由? ????f （1）＝1－a －4≤0， f （2）＝4－2a －4≤0，解得a≥0. (解法2)当x∈[1，2]时，a ≥x －4x 恒成立，而x －4x 在[1，2]上单调递增，故a≥? ?? ??x －4x max ＝0. 综上，a 的取值范围为[0，3]．
相关主题
文本预览