第五章 定积分及其应用 第一部分 重点、难点及分析
一、 定积分的定义及几何意义：
由定积分的定义，?b
a dx x f )(=i n
i i x f ?∑=→1
0)(lim ξλ
一个函数的定积分是由“和式的极限”来定义的，许多现实问题都归结于求和式极限问题，如：不规则图形的面积、变力作功、变速直线运动的距离，都可通过定积分的计算找到答案。因此定积分的概念来源于实际，是解决实际问题的有力“工具”。
定积分的概念由四个步骤构成：分割、近似代替、求和、取极限。求和i n
i i x f ?∑=→1
0)(lim ξλ得到了近似的结果，而取极限改善了近似程度，
极限值给出了所要测度的量的精确定义。应该说，定积分是一种特殊的“和式极限”，它比数列、函数的极限要复杂一些，在它的定义中，没有简单地写成以n 或λ为自变量。
定积分?b
a dx x f )(的值与积分区间[a ，
b ]和被积函数f 有关，而与积分
变量用哪一个字母来表示无关，也就是说在?b
a
dx x f )(中将x 改写成u
或t 得到的结果是一样的。
在f （x ）> 0时，?b
a dx x f )(的数值，在几何上等于曲线f （x ），x =a ，
x =b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积。
在一般情况下，表示曲线f （x ），直线x =a ，x =b 和x 轴之间各部分面积的代数和。其中，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面
积取负号。
定积分的存在性，要满足两个任意性：一是对区间[a ，b ]的任意划分，可以是等距离的，也可以是非等距离的；另一个是在小区间],[1i i x x -上任意取一点i ξ，可以在区间端点上取，也可以在区间内取。 在“微分学”中知道函数的连续性不能保证可导性，连续性是可导的必要条件，但不是充分条件。而连续函数的定积分一定存在，这是定积分存在的充分条件，而不是必要条件，也就是说对不连续的函数，定积分也可能存在。事实上，在区间[a ，b ]上若有有限个间断点，而有界的函数f （x ）在这个区间上的定积分是存在的。 二、 定积分的性质：
1） 运算性质：?±?=?±b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα
2） 区间性质：
??+?=?b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
? 若f （x ）在[a ，b ]上可积，则在[a ，b ]上的部分区间],[],[11b a b a ? 上也是可积的。 3） 不等式性质：
? 若f (x )，g （x ）在[a , b ]上可积，且f (x )≤g （x ），那么
?≤?b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
? 若f (x )在[a , b ]上可积，M x f m ≤≤)(，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
4)积分中值性质：],[),)(()(b a a b f dx x f b
a
∈-=?ξξ
三、 定积分的计算：
重要的公式：）的原函数
（是x f x F a F b F dx x f b
a )(),()()(-=?
计算定积分也可以象计算不定积分时使用换元法，在用第二换元法时，一是，要注意引进的新变量应是单值、单调、连续的函数，且要有连续的导数。二是进行变量代换要换积分限。如：
单调的函数。
上是不连续的，也不是，在，关键的是引进的，这是一个错误的结果从而，
，如果令]11[101
11
111
11
11,1
1112
1
12
1
12
2
1
12
112
-=
=++-=+
-=+=
+?
?
?
?
?
-----t
x dx x
dt t
dt t
t
dx x
t
x dx x
计算定积分时，常用的几个结论： 1） 当被积函数f （x ）是奇函数时，?-=a
a
dx x f 0)( 。
2） 当被积函数f （x ）是奇函数时，??-=a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(
3）
若f （x ）是以T 为周期的连续函数，
??+=T
T a a
dx x f dx x f 0
)()(
四、 定积分的应用：在几何中的应用：求平面图形的面积、求旋转
体的体积；在物理方面的应用：变力作功。
第二部分 书后习题
1)①
).
()(lim )
()(121][)(1
01
1
a b k x x f a b k n
a b nk n
a b k
x x f k
x f k x f x n
a b x n n i n
a b i x n b a a b k kdx i n
i i n i i n i i i i i i i b
a
-=?-=-?
=-=?===-=
?-=-=
-=∑∑∑?=→==λξ求极限：和式）（，从而）（；而，取的长度；每个小区间，，，，）
（等分，分点为分成，将。
用定义证明： 2）②121)1(222)12(10
10
1
1
10
-=+-=+=+=+???e e x
e
dx dx e dx e x
x
x
④2
)4
(4
arctan 1
11
1
12
π
π
π
=
-
-=
=+--?
x
x
dx
⑥4
1arctan 1
111
1110
10
1
02
10
1
2
2
1
02
2
π
-
=-=+-=+-+=+
?
??
?
x
x
dx x
dx dx x
x
dx x
x
3）②
。
对第一个积分，
?????????=∴=-=--??→?+=--=---a a a
a
a
a
t
x a
a a
a a
dx x f dx x f dx x f dt t f dt t f dx x f dx
x f dx x f dx x f 0
000
0)(2)()()()()()()()(
4）②
72
7
)36
35(101)
136
1
(
101
)
2
1(5
151)511()
511(1
51
)511(161
2
613
1
23
1
2
3
=
-
?-
=--
=-
?=
=
++=
+-----?
?
?
u
u
du x d x dx x ④
3
ln 2)]11(2
13[ln 2])
1(2
1)1[ln(2))1(1
1(211
121
221
1
2
2
2
020
2
2
02
2
02
202,40=-+=-+
+=--+==+-+=+=+?????→?+
?
??
?
?
?
==t t dt t dt t
dt t
t
dt t
t
tdt t
t dx x
x tdt
dx t x ⑥2
12
1)(ln ln ln 10
2
10
ln 1
1
=
=
??→?=???
=t
tdt x xd dx x
x t
x e e
⑧3
13
1sin sin
cos sin
1
3
1
2
2
sin 2
2
2
=
=
???→?=???=t
dt t x xd xdx x t
x π
π
⑩
72
)036(212
1)(arcsin arcsin 1arcsin 2
26
2
60
arcsin 21
2
10
2
πππ
π
=-==
????→?=-???
=t
tdt x xd dx x
x t
x ○
12的结果。
例书注：第一个等号是根据890.)002
(
2)
cos sin (2cos 442
2
2
sin 22
2
p t t t dt t dx x t
x π
π
π
π
=-+=+=???→?-??
=
5)②
1
2ln 21)12(ln )1(2ln 2ln 2
ln 2
ln 2
ln 2ln 0
2
ln 2ln 0
2ln 0
2
ln 0
2ln 0
-=+-==
--=-=-==???e e
e
e
e
dx e xe
xde
dx xe x
x x
x
x
④)1(2
1)sin (cos 2
1cos cos 220
2
2
-=
+=
=??π
π
π
π
e e
x x xde xdx e x x x
6）①
.
2
1)2
121(lim
)
2
1(lim
lim
1
3
2
1
2
1
3
1
3
收敛?
?
?
∞
++∞
→-+∞
→+∞→∞
+∴=
+
-
=-
==x
dx a
x
x
dx x
dx a a a a
a
②
.
2
1)11(lim 2
1)(lim 2
12
1lim
lim 0
02
2
2
2
2
2
2
收敛dx xe
e
e
dx
e
dx xe
dx xe
x
a
a a
x
a a
x
a a
x
a x
????∞
+-+∞
→-+∞
→-+∞
→-+∞→∞
+-∴=
+-
=
=
-=
==
7）①所围面积：
3
13
13
2)
3
13
2(
)(10
32
3
10
2
=
-
=
-
=-=?x x
dx x x S
②所围图形有两个交点：8,22)4(4
22
2=?=-?????
?-==x x x x y x y ；两个交点：（2，－2）、（8，4）
18
24)464(2
1)22216(3
2
2223
2
4)28(42
13
223
222
)]4(2[])2(2[18
24126)24(4)
6
12
1()2
4(82
2
82
2
3
20
23
8
2
2
4
2
3
2
4
22
=+---+
?=
-+-
?
+?
=--+-
-==+-=++-
=-
+=???--x
x x dx x x dx x x S y y
dy y
y S 围面积：可以用两种方法计算所
8）①球的方程是：
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
3
4)
(3
123
1)]([)(R
R R
R
x
R R R dx x R
V x R
x f x A x R y
x
R z
y
x
R
R
R
R
πππππππππ=
+-
=-
--=-=-==?=+=++--?）（）
（）（轴旋转得到的
绕，它可以看成是由圆
②2
2
]2sin 2
1)([2
)2cos 1(2
sin π
πππ
π
ππ
π
π
π
π
π
=-
--=
-?=
=---??x
dx x xdx V
第三部分 附加习题
1）求定积分： ①
2
)01()10(2
122
122222210
2
01
2
10
01
10
01
11
=-+--=?
+??-=?+-=?+?-=?----x
x
xdx xdx xdx xdx dx x
②
)
1(2
1)1ln (ln )1(2
1)
(ln 2
122
1)(ln ln 22
1ln 2ln 2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2+=
-+-=?
?+=
?
+=
?+=?
+e e e x x
dx x xd x
dx x x xdx dx x x
x e e
e e e e e
③ ?2
5
sin cos π
xdx x ,令sixdx dt x t -==,cos 当x= 0时,t = 1, 当2
π
=
x 时,t = 0
=6
16
110
6
1
5
01
5
=
=
?=?-t
dt t dt t
；
时，
，当时，，当，，令34102
112,1
222
4
=====-=
=+++?
t x t x tdt dx t
x t x dx x x 原积分化为：
3
22)]331()9327[(21)33(21)3(21
2
21
3
13
3
12
3
1
2
=
+-+=+=?+=?
+-t t dt t tdt t
t
2)设f （x ）在[0，1]上连续并单减，试证：对任何ξ∈（0，1）有
.)()(1
?≥?dx x f dx x f ξξ
???????--==
--=-1
1
010
)()()1()()()()()(ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξξdx
x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f
因为f （x ）在[0，1]上单减，所以 ??=≥?ξ
ξ
ξξξ0
)()()(f dx f dx x f
)()1()()(1
1
ξξξξ
ξ
f dx f dx x f -=?≤?
故 0)()1()()1()()(1
=---≥?-?ξξξξξξξξ
f f dx x f dx x f
即.)()(10
?≥?dx x f dx x f ξξ
3）设f （x ）∈[0，1]，且,3)(1
=?dx x f 求 ?2
2
2sin )(cos
πxdx x f 。
?2
2
2sin )(cos
πxdx
x f =
3)()()(cos
)(cos
1
1
2
2
2
=?=?-=?-dt t f dt t f x d x f π 。
4）求?-1
22dx x x 。
该积分的被积函数非负，积分上限大于下限，该积分值为积分区间
上曲边梯形的面积，由于22)1(12--=-x x x ，积分值应为圆
1)1(2
2
=+-y
x 的面积的四分之一，于是积分值是
4
π
。
5）设非负二阶可导函数f （x ）在[0，+∞]
内,).2()(:,00)(0
a
af dx x f a x f a
≥?>>''证明，对常数
设 ],0[),2
()()(0
a x x
xf dt t f x F x
∈-?=
)]2()([2)2(22)()2(2)2()()(x
f f x
x f x x f x f x x f x f x F '-'=
=
'-?'???????→?'--='ξξ由拉格郎日中值定理
其中),2
(x x
∈ξ
由
)0()(,
)(,0)(),2
()(,)(0)(=≥∴≥''≥''>''F a F x F x F x
f f x f x f 单增即于是即单增，知ξ 因此).2
()(0
a
af dx x f a ≥?
6)计算：)0(2
1lim
1
>++++∞
→p n
n
p p
p
p n
1
1)(1
lim
2
1lim
110
1
+=
∑?==+++=∞→+∞
→p dx x n
k
n n
n
n
k p
p
n p p
p
p n
7）计算：?-→x a
a x dt t f a
x x )(lim
，f （t ）是连续函数
令?=x
a
dt t f x x F )()(，?-→x a
a
x dt t f a
x x )(lim
=)()
()(lim
a F a
x a F x F a
x '=--→
而?+='x
a
dt t f x xf x F )()()(，)()(a af a F ='
所以，)()(lim
a af dt t f a
x x x
a
a
x =?-→ 。
8）设f （t ）连续，。求)0(,)()(0
g dt t f x x g x
''?=
)
0(2)0()0()0()(lim )0()(lim
)]()([lim 0
)
0()()(lim
)
0()(lim
)0(0
)0(),()()(0
000
f f f f x f f x
dt
t f x f x dt
t f x g x xf dt t f x g x g g g x xf dt t f x g x x
x x
x x
x x x
=+==
+=+?=+?==
-'-+?=-'-'=''='+?='→→→→→
9）设,6
1
2
ln π
=
?
-x
t
e dt 求x 。
先计算：
c
e u
du u udu
u e dt t
u t e u t
t +-=?
+=+?
?
?
???????→?-+=-=1arctan 212121
1
2
2
)
1ln(,12
所以，
3
13
)62(211arctan
,
6
2
1arctan
24
21arctan
21
2
ln =-?
=+=-∴=
-
-=?
--=?
-x
x
x
x
x
t
e e e e e dt π
πππ
π
π
由此可得，x =ln4 。 10）求极限： ①
6
1cos 1sin lim
6
161cos sin lim
3cos ln lim
cos ln lim
0,cos ln lim
2
3
3
-
=?
-
=?
-==??+
+
+
+
+
→→→→→x
x
x
x
x
x
x
x
x
xdx x
xdx x x x x
x x
x 型不定式
这是
② ③
11）若当()x F t
dt t dt x F x x x
求,1
1
)(,01
02
02
?
++?
+=> 。
0111)1(11)(2
2
2
=+
?
-
++=
'x
x
x
x F ，请注意：)]([)(])([)
(x a f x a dt t f x a b
'='?
所以，F (x )是常数。
2
arctan 21
2)1()(10
1
02
π
=
=?
+==t
t
dt F x F 。
12）设???
???
?=≠?=0
0)()(20
x c x x dt t tf x F x
，其中f （x ）是一个在x =0处连续的已知函数，如果)(x F 在x =0处连续，求c 。
由c F f x
x xf x
dt
t tf x F x x
x x ===
=?=→→→)0()0(2
12)(lim
)(lim
)(lim 0
2
即c =
)0(2
1f 。
13)已知)()(1
0x nf dt xt f =? ,求f (x ) .
令)()()(,0
10
x nf x
du u f dt tx f tx u x =??=?=
即)()(0
x nxf du u f x
=?,
对等式两边关于x 求导,)()()(x f nx x nf x f '+=
另写成方程:x
n n x f x f 1
1)()
(?-='
两边求积分:?-=???
?-=
'dx x
n n x f x f d dx x n n dx x f x f 1
1)()]([11)
()( n
n x
c x f c x n
n x f -=?+-=
1)(ln ln 1)](ln[ .
14)设).1
()(,1ln )(1x f x f dt t
t
x f x
+?
+=求
??+=+=-?+??→??+==x x x
t
u x
dt t t t du u u u du u u
u dt t t
x f 11222111
1ln ln )1(111
ln
1ln )1
(
2
1
2
1
1
112
1)
(ln 2
1)
(ln 2
1)(ln ln ln )1(ln )1(ln 1ln )1
()(x t t td dt t
t dt t
t t
t dt t t t
dt t t
x f x f x x
x
x
x
x
=
=
?==
?
=?
++=?++?+=+
第四部分 英语参考资料
Fundamental theorem of calculus A sound approach to integration defined the integral ?b
a dx x f )(
as the limit ,in a certain sense of a sum .That this can be evaluated ,when f is continuous, by finding an antiderivative of f , is the result embodied in the so-called Fundamental Theorem of Calculus. It establishes that integration is the reverse process to differentiation:
Theorem: If f is continuous on [a ,b ] and φis a function such that
)()(x f x ='φ for all x in [a ,b ],then )
()()(a b dx x f b
a φφ-=?
Area under a curve Suppose that the curve y=f (x ) lies above the x -axis, so that 0)(≥x f for all x in [a ,b ]. The area under a curve, that is ,the area of the region bounded by the curve , the x -axis and the lines x=a and x=b ,equals ?b
a dx x f )(.
The definition of integral is made precisely in order to achive this result.If
0)(≤x f for all x in [a ,b ],the intagral above is negative. However, it is still
the case that its absolute value is equal to the area of the region bounded by the curve, the x -axis and the lines x=a and x=b .
Integral Let f be a function defined on the closed interval [a ,b ]. take points n x x x x ,,,210 such that n n x x x x x a <<<<<=-1210 =b ,and in each subinterval ],[1+i i x x take a point c i . From the sum
∑--=+10
1))((n i i i i x x c f ; that is ,
f (c 0)))(())(()(1112101---+-+-n n n x x c f x x c f x x . Such a sum is called a Rieman sum for f over . Geometrically, it gives the sum of the area of n rectangles and is an approximation to the area under the curve y=f (x ) between x=a and x=b.
The integral of f over [a ,b ] is defined to be the limit I (in a sense
that needs more clarification than can be giveb here) of such a Rieman sumas n , the number of points, increases and the size of the subintervals gets smaller. The value of I is denoted by ?b a
dx x f )(or ?b
a
dt
t f )(
Where it is immaterial what letter ,such as x or t ,is used in the integral .The intention is that the value of the integral is equal to what is intuitively understood to be the area under the curve y=f (x ) .Such a limit does not always exist ,but it can be proved that is does if for example ,f is a continuous function on [a ,b ].
If f is continuous on [a ,b ] and F is defined by
?=x
a
dt
t f x F )()( ,then
)
()(x f x F ='
for all x in [a ,b ] ,so that F is an antiderivative of f . Moreover, if an antiderivative φ of f is known the integral can be easily evaluated: the Theorem of Caculus gives its value as φ(b )－φ(a ). Of the two integrals
?b
a
dx
x f )( and ?dx x f )( ,the first, with limits, is called a definite
integral and the second ,which denotes an antiderivative of f ,is an indefinite integral.
Intermediate value theorem The following theorem stating an important property of continuous functions: If the real function f is continuous on the closed interval [a ,b ] and η is a real number between f (a ) and f (b ), then for some c in (a ,b ), f (c )= η.
The theorwm is useful for locating roots of equation. For example , suppose that f (x )=x-cosx . Then f is continuous on [0,1],and f (0)<0 and f (1)>0 ,so it follows from the Intermediate value theorem that the equation f (x )=0 has a root in the interval (0,1).
Density The average density of a body is the ratio of its mass to its volume. In general ,the density of a body may not be constant throughout the body . The density at a point P , denoted by )(P ρ, is equal to the limit as
0→?V of
V
m ??, where V ? is the volume of a small region containing P
and m ? is the mass of the part of the body occupying that small region.
Consider a rod of length l , with density )(x ρ at the point a distance x from one end of the rod. Then the mass m of the rod is given by
?=l
dx x m 0)(ρ .In the same way , the mass of a lamina or a 3-dimensional
rigid body, with density )(r ρ at the point with position venctor r ,is given by ?V
rdV )(ρ, with, as appropriate ,a double or triple integral over the
region V occupied by the body .
e The number that is the base o
f natural logarithms .There are several ways of definin
g it .Probably the most satisfactory is this . First ,define ln as in approac
h 2 to the logarithmic function . Then define exp as the inverse function of ln . Then define e as equal to exp 1 .This amounts to saying that e is the number that makes 111=?e
dt t
.It is necessary to go on to show that
x
e and exp x are equal and so are idetial as function s ,and also that ln and
log e are identical functions.
The number e has important properties derived from some of the properties of ln and exp. For
example ,n n h h n
h e )1
1(lim )1(lim 1
+=+=∞
→→ .Also ,e is the sum of the series
++
++
+
!
1!
21!
111n .
Another approach ,but not a recommended one ,is to make one of these properties the difinition of e . Then exp x would be defined as x e , ln x would
be defined as its inverse function , and the properties of these functions would have to be proved .
The value of e is 2.71828183. The proof that e is irrational is comparatively easy . In 1873 Hermite proved that e is transcendental , and his proof was subsequently simplified by Hilbert .
定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2－2≤x <0， 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B ．2 | C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) ￥ A ．2 3 B ．9－23 答案： 详解：
注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的 面积为??－3 1(3－x 2－2x )d x ＝? ???? 3x －13x 3－x 2??? 1 －3＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3×－3－1 3×－3 3 ]－ －3 2 ＝32 3，选D. 题二 ^ 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．
定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
§6.3定积分 【复习目标】 （1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念；会求简单的定积分。 （2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基 本定理的含义。 【重点难点】 定积分的几何意义；利用定积分性质化简被积函数；求定积分值。 【知识梳理】 （1）概念 设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()( 3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)( 定积分的应用 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=? 第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 教案6：定积分的定义与性质 一、课前检测 1. 2 21(21)x x dx ++=? ； 2. 由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积 为 . 3. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 J. 二、知识梳理 1.定积分的概念：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分 成n 分小区间，每个小区间长度为x ?(x ?= ),在每个小区间上 取一点，依次为12,,,,i n x x x x ，作和n S = .如果x ?无限 趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为S = ，其 中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限， 2.微积分基本定理：对于被积函数()f x ，如果()()F x f x '=，则 ()b a f x dx ?= . 3.定积分的运算性质：⑴()b a kf x dx ?= ； ⑵[()()]b a f x g x dx ±=? ；⑶()b a f x dx =? .()a c b << 4.定积分的几何意义：在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)； ⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b a f x dx ?表示由直线 ,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义. ⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()b a f x dx ?表示由直线 ,(),x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b a f x dx ?表示介于直线 ,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分，即s = . ⑵变力做功公式，一物体在变力()F x (单位：N )的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位：m )，则力F 所作的功为W = . 三、典型例题分析 例1．求定积分 ⑴21 ?(2x 2 －1x )d x ； ⑵32?(x ＋1x )2d x ； （3）30π?(sin x －sin2x )d x ； 变式训练：求定积分：222||x x dx --?； 定积分高考试题精选 1、（2013江西卷（理））若222 2123111 1,,,x S x dx S dx S e dx x ===???则123S S S 的大小关系为 （ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 【答案】B 2、（2013北京卷（理））直线l 过抛物线C: x 2 =4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ） A ． 4 3 B ．2 C ． 83 D ． 162 3 【答案】C 3、（2013湖南卷（理））若 20 9,T x dx T =? 则常数的值为_________. 【答案】3 4、（2013湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25 731v t t t =-+ +（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是（ ） A ．125ln5+ B ．11 825ln 3 + C ．425ln5+ D ．450ln 2+ 【解析】令 ()257301v t t t =-+ =+，则4t =。汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ?? -+=+ ?+? ??，故选C 。 【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 5、【2012湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 A ．2π 5 B ．43 C ．32 D ．π2 【答案】B 【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为 1 2311114 (1)()33 S x dx x x --=-+=-+=?. 6、【2012江西理11】计算定积分 =+? -dx x x 1 1 2)sin (___________。 【答案】 3 2 【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 【解析】 3 2)cos 31()sin (1 131 1 2=-=+--?x x dx x x 。 7、【2012山东理15】设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2 a ，则a =______. 【答案】9 4 =a 【解析】由已知得2 23023032|32a a x x S a a ====?，所以3221 =a ，所以9 4=a 。 8、【2012上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2 1 (B 、)0,1(C ，函数 第五章定积分及其应用 一、内容分析与教学建议 （一）定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问 题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。 本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。 （二）定积分概念、牛顿–莱不尼兹公式 关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。 定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。 （三）换元积分法、分部积分法 换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。 （四）广义积分 广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限， 应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。 （五） 微元法（定积分应用） 定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法 微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。 二、补充例题 例1. 设)(x f 连续，且?+=1 0)(2)(dt t f x x f ，求)(x f . 解： 记?=1 0)(dt t f a ，则a x x f 2)(+= 两端积分得： ??+= +=1 1 22 1 )2()(a dx a x dx x f a a 221+= ， 2 1 -=a 1)(-=∴x x f 例2. 证明不等式????≤?? ???? b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222 证： ()0)()(2≥+x g x f λΘ，故[]?≥+b a dx x g x f 0)()(2λ 即 0)()()(2)(22 2 ≥++??? b a b a b a dx x g dx x g x f dx x f λλ 上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0， 即 0)()(4)()(4222 ≤?-?? ???????b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f 得： ????≤?? ????b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222 . 例3. 设)(x f 在]10[，连续且递减，证明：当10<<λ时， ?? ≤λ λ0 1 )()(dx x f dx x f . 证： ??? +=1 1 )()()(λ λdx x f dx x f dx x f Θ ∴ ????+-=-1 10 )()()1()()(λ λλλλλdx x f dx x f dx x f dx x f 第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即 1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质 高考定积分应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 2．（2010?山东）由曲线2，3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（） A．B．C．D． 4．定积分的值为（） A．B．32 C．3﹣2 D．62 5．如图所示，曲线2和曲线围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（） A．1B．C．D． 6．=（） A．πB．2C．﹣πD．4 7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（） A．2B．4C．5D．8 8．∫01与∫01相比有关系式（） A． ∫01＜∫01B． ∫01＞∫01 C． （∫01）2=∫01D． ∫01∫01 9．若，，则a与b的关系是（） A．a＜b B．a＞b C．D．0 10．的值是（） A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（） A．2 ﹣e B．C． ﹣e2 D． ﹣2﹣e 12．已知f（x）=2﹣，则（） A．3B．4C．3.5 D．4.5 13．设f（x）=3﹣﹣1|，则∫﹣22f（x）（） A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（） A．B．C．πa2D．2πa2 15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2 16．由函数（0≤x≤2π）的图象与直线及1所围成的一个封闭图形的面积是（） 概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来 第五章 定积分及其应用 习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） ? -x x d 1 1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1 1 . 解：若[]? ≥∈x x f x f b a x a b d )(,0)(,,则 时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线 b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a b d )(,0)(则在几何 上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111 1=+-=?-A A x x . （2）由上图（2）所示，2 πd 2 22 2 R A x x R R R ==-? -. （3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π 20=--++=+-+=?A A A A A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112 1 22d 61 1=??? ==?-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S. ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) (4) 解：= s ? +t t d )12(0 5 3. 用定积分的定义计算定积分 ?b a x c d ,其中c 为一定常数. 解：任取分点b x x x x a n =<<<<=Λ210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x - )2,1(n i Λ=，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i Λ=,在每个小区间[]i i x x ,1- 上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式： ∑∑==--=-?=??n i n i i i i i a b c x x c x f 1 1 1)()()(ξ, 记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则 )()(lim )(lim d 0 a b c a b c x f x c n i i i b a -=-=??=∑? = →→λλξ. 4. 利用定积分定义计算 1 20 d x x ? . 解：上在]1,0[)(2 x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n i x ξ;1,,2,1,-== Λ取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑ ===?=?=?n i i i n i i i n i i i x x x x f 12121 )(ξξ=∑∑===n i n i i n n n i 1 2 3 2 1 1 1)( = 3 11(1)(21)6n n n n ?++ =)12)(11(61n n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12 0d x x ?=3 1． 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分 ? -+-11 34)524(x x x d 的值. 解：先求524)(3 4 +-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2 3 =-='x x x f , 得0=x 或8 3=x . 比较 35093(1)11,(0)5, (),(1)781024 f f f f -====的大小，知 min max 5093 ,111024 f f = =， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11 34min --?≤+-≤--?? -f x x x f , 即 14315093 (425)d 22512 x x x -≤-+≤?. 6. 利用定积分的性质说明 ? 1 d x e x 与?1 d 2 x e x ，哪个积分值较大 第十四节 定积分与微积分基本定理(理） 一、选择题1.(2０1３·江西卷)若S 1＝错误!x 2d ｘ,S 2=错误!错误!d x ，S 3=错误!e x d x ，则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A ．S 1 ４.(2012·湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( ) Ａ.错误!Ｂ.错误!Ｃ.错误! D.错误! ５．(２０１3·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(ｔ)=7-3t+＼f(2５,１＋t)（t的单位：s,ｖ的单位:m／s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m）是(） A.１+25lｎ５? B.8＋25ln错误! C.4＋25ln5 ?D．4+50lｎ2 解析令v(t)=0,７－3t＋＼f(25，1＋t)＝０ ∴３ｔ2-4ｔ－3２＝0,∴t=4,则汽车行驶的距离为错误!ｖ(t）dｔ=错误!错误!d t ＝ 错误!错误!错误!=７×4-错误!×４2+２5ln5-0=4+25ｌn5,故选Ｃ. 6．（2014·武汉调研）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,Ｅ是 定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020 定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分 定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353 D.323 答案： 详解： 注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1 (3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2??? 1 －3 ＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3× －3 －13× －3 3 ]－ －3 2 ＝323，选D. 题二 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．定积分高考试题
定积分的应用
§定积分的应用习题与答案
高考数学定积分的定义
定积分高考试题精选
定积分及其应用-8页文档资料
专升本高等数学 第五章定积分及其应用
高考定积分练习题
概述定积分的发展及应用
定积分及其应用习题详解
高考定积分分类汇总及答案
3>S １>S ２.故选Ｂ. A ．3 Ｂ．4 C ．3．5 ?D .4.5 答案 C ３．如图所示,图中曲线方程为y ＝x 2－1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是（ ) A .错误! B .??0２(ｘ2－１)d x Ｃ.错误!|ｘ2-1|d x D ．错误!(ｘ2-１)d ｘ+错误!(ｘ2－１）ｄ ｘ 解析 面积S =错误!(1－ｘ2）d x +错误!(ｘ２－1)ｄx ＝错误!｜x 2－1|ｄx ,故选C.定积分在高考中的常见题型
定积分及其应用练习 带详细答案
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