高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设,,若存在函数,使得对任意均有或,则称为的一个原函数。
的全部原函数称为在区间上的不定积分,记为注:(1)若连续,则必可积;(2)若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。
性质性质1:或;性质2:或;性质3:,为非零常数。
计算方法
第一换元积分法(凑微分法)设的原函数为,可导,则有换元公式:
第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零,有原函数,则分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。
本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程
度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到!课后习题全解习题4-1
1、求下列不定积分:知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1)
思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。
解:★(2)
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:★(3)
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:★(4)
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:★★(5)
思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:★★(6)
思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。
★(7)
思路:分项积分。
解:★(8)
思路:分项积分。
解:★★(9)
思路:?看到,直接积分。
解:★★(10)
思路:裂项分项积分。
解:★(11)
解:★★(12)
思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。
解:★★(13)
思路:应用三角恒等式“”。
解:★★(14)
思路:被积函数,积分没困难。
解:★★(15)
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:★★(16)
思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。
解:★(17)
思路:不难,关键知道“”。
解:★(18)
思路:同上题方法,应用“”,分项积分。
解:★★(19)
思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。
解:★★(20)
思路:注意到被积函数,则积分易得。
解:★
2、设,求。
知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
思路分析:直接利用不定积分的性质1:即可。
解:等式两边对求导数得:★
3、设的导函数为,求的原函数全体。
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
思路分析:连续两次求不定积分即可。
解:由题意可知,所以的原函数全体为:。
★
4、证明函数和都是的原函数知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:只需验证即可。
解:,而★
5、一曲线通过点,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解:设曲线方程为,由题意可知:,;又点在曲线上,适合方程,有,所以曲线的方程为★★
6、一物体由静止开始运动,经秒后的速度是,问:(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2)物体走完米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。
解:设物体的位移方程为:,则由速度和位移的关系可得:,又因为物体是由静止开始运动的,。
(1)
秒后物体离开出发点的距离为:米; (2)令秒。
习题4-2 ★
1、填空是下列等式成立。
知识点:练习简单的凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。
解:
2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!★(1)思路:凑微分。
解:★(2)
思路:凑微分。
解:★(3)
思路:凑微分。
解:★(4)
思路:凑微分。
解:★(5)
思路:凑微分。
解:★★(6)
思路:如果你能看到,凑出易解。
解:★(7)
思路:凑微分。
解:★★(8)
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解:★★(9)
思路:本题关键是能够看到是什么,是什么呢?就是!这有一定难度!解:★★(10)
思路:凑微分。
解:方法一:倍角公式。
方法二:将被积函数凑出的函数和的导数。
方法三:三角公式,然后凑微分。
★★(11)
思路:凑微分:。
解:★(12)
思路:凑微分。
解:★★(13)
思路:由凑微分易解。
解:★★(14)
思路:凑微分。
解:★★(15)
思路:凑微分。
解:★(16)
思路:凑微分。
思路:经过两步凑微分即可。
解:★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。解:★★(19)
思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:★(20)
思路:分项后分别凑微分即可。解:★(21)
思路:分项后分别凑微分即可。解:★★(22)
思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:★(23)
思路:凑微分。。
解:★★(24)
思路:降幂后分项凑微分。
解:★★★(25)
思路:积化和差后分项凑微分。解:★★★(26)
思路:积化和差后分项凑微分。解:★★★(27)
思路:凑微分。
思路:凑微分。
解:★★(29)
思路:凑微分。
解:★★★★(30)
思路:凑微分。
解:★★★★(31)
思路:被积函数中间变量为,故须在微分中凑出,即被积函数中凑出,解:★★★★(32)
思路: 解:★★★★(33)
解:方法一:思路:将被积函数的分子分母同时除以,则凑微分易得。
方法二:思路:分项后凑微分方法三:思路: 将被积函数的分子分母同时乘以,裂项后凑微分。
★★★★(34)
解:方法一: 思路:分项后凑积分。
方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。
令,则。
★★★★(35)
解:方法一: 思路:分项后凑积分。
方法二:思路: 利用第二类换元法的倒代换。
令,则。
3、求下列不定积分。
知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。
思路分析:题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用。
为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。
★★★(1)
思路:令,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。
解:令,则。
(或)(万能公式,又时,)★★★(2)
思路:令,三角换元。
解:令,则。
(时,)★★★(3)
思路:令,三角换元。
解:令,则。
★★★(4)
思路:令,三角换元。
解:令,则。
思路:先令,进行第一次换元;然后令,进行第二次换元。
解:,令得:,令,则,(与课本后答案不同)★★★(6)思路:三角换元,关键配方要正确。
解:,令,则。
★★
4、求一个函数,满足,且。
思路:求出的不定积分,由条件确定出常数的值即可。
解:令,又,可知,★★★
5、设,求证:,并求。
思路:由目标式子可以看出应将被积函数分开成,进而写成:,分项积分即可。
证明:习题4-3
1、求下列不定积分:知识点:基本的分部积分法的练习。
思路分析:严格按照“‘反、对、幂、
三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”
的原则进行分部积分的练习。
★(1)思路:被积函数的形式看作,按照“反、对、幂、
三、指”顺序,幂函数优先纳入到微分号下,凑微分后仍
为。
解:★★(2)思路:同上题。
解:★(3)思路:同上题。
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(5)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★(6)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(7)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(8)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(9)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(10)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:★★(11)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(12)
思路:详见第(10)
小题解答中间,解答略。
★★(13)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(14)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(15)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(16)
思路:将积分表达式写成,将看作一个整体变量积分即可。
解:★★★ (17)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(18)
思路:先将降幂得,然后分项积分;第二个积分严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★(19)
思路:分项后对第一个积分分部积分。
解:★★★(20)
思路:首先换元,后分部积分。
解:令,则★★★(21)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★★★(22)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:方法一:方法二:★★★(23)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:令,则所以原积分。
★★★(24)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:注:该题中的其他计算方法可参照习题4-2,2(33)。★★★(25)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:注:该题也可以化为再利用分部积分法计算。
★★★(26)
思路:将被积表达式写成,然后分部积分即可。
解:
2、用列表法求下列不定积分。
知识点:仍是分部积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出,不用列表法。
★(1)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★(2)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:。
★(3)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★(4)
思路:分项后分部积分即可。
解:★(5)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★(6)
思路:严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解:★
3、已知是的原函数,求。
知识点:考察原函数的定义及分部积分法的练习。
思路分析:积分中出现了,应马上知道积分应使用分部积分,条件告诉你是的原函数,应该知道解:又★★
4、已知,求。
知识点:仍然是分部积分法的练习。
思路分析:积分中出现了),应马上知道积分应使用分部积分。
解:又★★★★
5、设,;证明:。
知识点:仍然是分部积分法的练习。
思路分析:要证明的目标表达式中出现了,和提示我们如何在被积函数的表达式中变出和呢?这里涉及到三角函数中的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里可变为。
证明:★★★★
6、设为单调连续函数,为其反函数,且,求:。
知识点:本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习。
思路分析:要明白这一恒等式,在分部积分过程中适时替换。
解:又又习题4-4
1、求下列不定积分知识点:有理函数积分法的练习。
思路分析:被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析。
★(1)
思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。
解:★★★(2)
思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。
解:而令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解此方程组得:★★★(3)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:,令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解此方程组得:★★★(4)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:,解此方程组得:。
★★★(5)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:,令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解此方程组得:。
★★★(6)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:;令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解此方程组得:★★★(7)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解此方程组得:而★★★(8)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:又由分部积分法可知:★★★(9)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解之得:而★★★(10)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:;解之得:。
★★★(11)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:
解之得:★★★(12)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:,解之得:★★★★★(13)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解之得:注:由导数的性质可证本题的另一种解法:注:由导数的性质可证。
★★★★★(14)
思路:将被积函数裂项后分项积分。
解:又注:本题再推到过程中用到如下性质:(本性质可
由分部积分法导出。)若记,其中为正整数,,则必有:。
2、求下列不定积分知识点:三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。
思路分析:求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化
为有理函数积分去完成。
★★(1)
思路:分子分母同除以变为后凑微分。
解:★★(2)
思路:万能代换!解:令,则注:另一种解法是:★★(3)
思路:万能代换!解:令,则★★(4)
思路:利用变换!(万能代换也可,但较繁!)解:令,则★★(5)
思路:万能代换!解:令,则★★(6)
思路:万能代换!解:令,则而★★★★(7)
思路一:万能代换!解:令,则而,令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解之得:思路二:利用代换!解:令,则令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解之得: 注:比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单!★★★★(8)
思路:将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换和万能代换!解:对积分,令,则令,等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得:解之得:对积分,令★★(9)思路:变无理式为有理式,变量替换。
解:令则★★(10)
思路:变无理式为有理式,变量替换。
解:令★★(11)
思路:变无理式为有理式,变量替换。
解:令★★★(12)
思路:变无理式为有理式,变量替换。
解:令★★★(13)
思路:变无理式为有理式,三角换元。
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?