一.统计规律
伽耳顿板实验
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
h
x
§2-4 分子速率统计分布
对于多粒子体系，其任一时刻的位置具有偶然性，但大量粒子从整体上会出现一些统计规律。
二.速率分布函数
o
v
υ
Nd N ?v v
v d +----速率分布函数
υ
υυ
Nd dN f =
)(物理意义：速率在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率（概率密度）。
三.麦克斯韦速率分布规律
对于不同气体有不同的分布函数。1859麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。
kT
m e kT m f 22
2
/3224)(v v v -
?
?
?
??=ππT ：气体热力学温度；m ：一个气体分子的质量；
k ：玻尔兹曼常量.
o
)
(v f v
麦克斯韦速率分布曲线
v d )
(v f o
)
(v f v
2v 1v 讨论
1.0
)(,0==υυf 0
)(,=∞→υυf N
N d f ?=?υυυυ1
2)(【问题】曲线下围的总面积为多少？
1)(0
=?∞υυd f 归一化条件
N dN d f v
v v =
)(2.曲线下宽度为的面积
υd
--与分布函数f (v )的极大值相对应的速率
四.三种速率
M
RT
m kT p 41.120≈=
υ1.最概然速率p υ极值条件0)
(==p
d df υυυ
υ)
(υf )
(p f υp
υυ
如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则分布在v p 所在的
区间内的分子比率最大。
2.平均速率υ---大量分子速率的统计平均值
平均速率为：
ΔN →0M
RT m kT
60.180
≈=
πυN N N N n n v v v v ?++?+?= 2211∑
=?=n i i
i N N 1
v ?=N N
N
d 0
v v ?
∞=
)(v
v v d f 平均速率是研究大量分子运动的平均效应，不考虑矢量性。反映了一定温度下粒子平均移动的快慢程度。
3.方均根速率2
υ
--大量分子速率的平方平均值的平方根
M
RT
M RT m kT
73.1330
2
≈==
υυ
υυυd f ?∞=0
2
2
)(方均根速率反映了气体分子平均平动动能的大小。
M
RT
p
41
.1≈υM
RT 60
.1≈υM
RT
73
.12
≈υ
p υυ2
υ2
υ
υυ>>p υ
第四章 气体动理论 单个分子的运动具有无序性 布朗运动 大量分子的运动具有规律性 伽尔顿板 热平衡定律(热力学第零定律) 实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡 则 A 与B 热平衡 意义：互为热平衡的物体必然存在一个相同的 特征--- 它们的温度相同 定义温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。 一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 理想气体状态方程: 形式1: mol M PV =RT =νRT M 形式2: 2 2 2111T V p T V p ＝形式3: nkT P = n ----分子数密度(单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻耳兹曼常数 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体状态方程。 §4-2 气体动理论的压强公式 V N V N n ==d d 1）分子按位置的分布是均匀的 2）分子各方向运动概率均等、速度各种平均值相等 k j i iz iy ix i v v v v ++=分子运动速度 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。 2213 212()323 p nmv p n mv n ω === v----摩尔数 R--普适气体恒量 描述气体状态三个物理量： P,V T 压 强 公 式
12 2 ω=mv 理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具 有统计意义； 压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分子数密度n 即增加碰壁的个数 2)增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度 思考题：对于一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大（玻意耳定律）；当体积不变时，压强随温度的升高而增大（查理定律）。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观（分子运动）来看，它们有什么区 别？ 对一定量的气体，在温度不变时，体积减小使单位体积内的分子数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分子数增多，器壁所受的平均冲力增大，因而压强增大。而当体积不变时，单位体积内的分子数也不变，由于温度升高，使分子热运动加剧，热运动速度增大，一方面单位时间内，每个分子与器壁的平均碰撞次数增多； 另一方面，每一次碰撞时，施于器壁的冲力加大，结果压强增大。 §4-3 理想气体的温度公式 nkT p =23 p =n ω 1322 2 ω=mv =kT 1. 反映了宏观量 T 与微观量w 之间 的关系 ① T ∝ w 与气体性质无关；② 温度具有统计意义，是大量分子集 体行为 ，少数分子的温度无意义。2. 温度的实质：分子热运动剧烈程度的宏观表现。3. 温度平衡过程就是能量平衡过程。 二.气体分子运动的方均根速率 kT v m 2 32 1 2 = ?2 m ol 3kT 3R T v = =m M 在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均根速率与其质量的平方根成正比 当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第三定律)，因而分子的运动是永不停息 的。 μRT m kT v v x = ==22 31 分子平均平动动能 温度的微观本质：理想气体的温度是分子平均平动动能的量度 摩尔质量
4-1 20个质点的速率分布如下 解：⑴07 1 65.31 v N v N v i i i == ∑= ⑵01 2 2 99.31v N v N v i N i i == ∑= ⑶03v v p = 4-2 容积为10L 的容器中由1mol CO 2气体，其方均根速率为1440Km/h ，求CO 2气体的压强。 解：分子总数为A N ,摩尔质量为M ，则分子数密度为 A N V ,分子质量为A M N ，因此由 气体压强公式得222 111333A A N M M p nmv v v V N V = == 代入数字求得5 2.3510p =?Pa 4-3 体积为3 10-m 3 ，压强为5 1.01310?Pa 的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？ 解：分子的平均平动动能为 21322 mv kT = 容器中分子数N nV =，又由压强公式P nkT =，可得容器中所有分子的平均平动动能 总和为 2133 152222 N mv nV kT PV ===J 4-4 求压强为5 1.01310?Pa 、质量为3 210-?Kg 、容积为3 1.5410-?m 3 的氧气的分子平均平动动能。 解：由23p nw = 可得31 2p w n = 而A mol A mol M N M MN n V M V == 所以 213 6.22102mol A M V p w MN -= =?J 4-6 一篮球充气后，其中有氮气8.5g ，温度为17℃，在空气中以65km/h 做高速飞行。求：
(1) 一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平均平动动能、平均转动动能和平均总动能； (2) 球内氮气的内能； (3) 球内氮气的轨道动能。 4—6解：⑴J kT k 211000.623-?== ε 转ε= J kT 211000.42 2 -?= J kT 201000.12 5-?==总ε. ⑵J kT i M M E mol 31083.12 ?=?= . ⑶J mv E k 39.12 12 == . 4-7 质量为50.0g ，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L 的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，试问平衡后氦气的温度和压强将增大多少？（王彬第二版206页8题） 解：322223 23 11141020013.310222 6.0210 A E mv v N μ--?===??=??J 23 23 2213.310 6.4233 1.3810E T k --???===??K 32 53 50108.2110 6.420.66 1.0131041010 MR p T V μ---????=?=?=????Pa 4—8解：⑴ kT 21 在平衡态下分子运动的能量平均分配给每一个自由度的能量为kT 2 1. ⑵在平衡态下，分子平均动能为kT 2 3 . ⑶在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i 2 . ⑷自由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT i M M mol 2 ? ⑸1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能为 RT i 2. ⑹1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能为2 3 RT,或者说热力学系统内1摩尔分子的平 均平动动能之和为2 3 RT. 4-9 假定太阳是由氢原子组成的理想气体恒星，且密度是均匀的，压强为 141.3510p =?Pa ，已知氢原子质量271.6710m -=?kg ，太阳质量301.9910M =?kg ，太阳 半径为8 6.9610R =?m ，试估算太阳内部的温度。
第四章 气体动理论 一、基本要求 1．理解平衡态的概念。 2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。 3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。 4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。 5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。 6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。 二、基本内容 1. 平衡态 在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。 2. 理想气体状态方程 在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式 pV vRT = 或 n k T p = 式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=??，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=?? 3. 理想气体压强的微观公式 212 33 t p nm n ε==v 4. 温度及其微观统计意义 温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上
32 t kT ε= 5. 能量均分定理 在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2 kT 。以 i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为 2 t i kT ε= 6. 速率分布函数 ()dN f Nd = v v 麦克斯韦速率分布函数 23 2/22()4()2m kT m f e kT ππ-=v v v 7. 三种速率 最概然速率 p = ≈v 平均速率 = =≈v 方均根速率 = =≈8. 玻尔兹曼分布律 平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）： kT m gh e n n /0-= 9. 范德瓦尔斯方程 采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体 RT b V V a p m m =-+ ))((2 10. 气体分子的平均自由程 λ= =
第四章 气体动理论 2-4-1选择题： 1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。以下说法正确的是： （A ）它们的温度、压强均不相同。 （B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。 （C ）它们的温度、压强都相同。 (D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。 2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比 4:2:1::222=C B A v v v ， 则其压强之比C B A p p p ::为： (A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 1 3、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2 x v =m kT 3 (B) 2x v = m kT 331 (C) 2 x v = m kT 3 (D) 2x v = m kT 4、关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 （A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3) （C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则： (A) 两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的方均根速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 (A) ??? ??++kT kT N N 2523)(21 (B) ??? ??++kT kT N N 2523)(2121
第四章 气体动理论 单个分子的运动具有无序性 布朗运动 大量分子的运动具有规律性 伽尔顿板 热平衡定律(热力学第零定律) 实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与 C 热平衡 则 A 与B 热平衡 意义：互为热平衡的物体必然存在一个相同的 特征--- 它们的温度相同 定义温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。 一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 理想气体状态方程: 形式形式 n ----分子数密度(单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻耳兹曼常数 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体状态方程。 §4-2 气体动理论的压强公式 1）分子按位置的分布是均匀的 2）分子各方向运动概率均等、速度各种平均值相等 k j i iz iy ix i v v v v ++=分子运动速度 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。 描述气体状态三个物理量： P,V T
12 2 ω=mv 有统计意义； 压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分子数密度n 即增加碰壁的个数 2)增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度 思考题：对于一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大（玻意耳定律）；当体积不变时，压强随温度的升高而增大（查理定律）。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观（分子运动）来看，它们有什么区 别？ 对一定量的气体，在温度不变时，体积减小使单位体积内的分子数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分子数增多，器壁所受的平均冲力增大，因而压强增大。而当体积不变时，单位体积内的分子数也不变，由于温度升高，使分子热运动加剧，热运动速度增大，一方面单位时间内，每个分子与器壁的平均碰撞次数增多； 另一方面，每一次碰撞时，施于器壁的冲力加大，结果压强增大。 §4-3 理想气体的温度公式 nkT p =23 p =n ω 1. 反映了宏观量 T 与微观量w 之间 的关系 ① T ∝ w 与气体性质无关；② 温度具有统计意义，是大量分子集 体行为 ，少数分子的温度无意义。2. 温度的实质：分子热运动剧烈程度的宏观表现。3. 温度平衡过程就是能量平衡过程。 二.气体分子运动的方均根速率 kT v m 2 32 1 2 =在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均根速率与其质量的平方根成正比 当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第三定律)，因而分子的运动是永不停息 的。 m k T v v x ===2231温度的微观本质：理想气体的温度是分子平均平动动能的量度
气体动理论 一、填空题 1. (本题3分)某气体在温度为T = 273 K时，压强为p=1.0×10-2atm，密度ρ= 1.24×10-2 kg/m3，则该气体分子的方均根速率为____________。(1 atm = 1.013×105 Pa) 答案：495m/s 2. (本题5分)某容器内分子密度为1026m-3，每个分子的质量为3×10-27kg，设其中1/6分子数以速率v=200m/s垂直向容器的一壁运动，而其余5/6分子或者离开此壁、或者平行此壁方向运动，且分子与容器壁的碰撞为完全弹性的。则 (1)每个分子作用于器壁的冲量ΔP=_____________； (2)每秒碰在器壁单位面积上的分子数n0=___________； (3)作用在器壁上的压强p=_____________； 答案：1.2×10-24kgm/s ×1028m-2s-1 4×103Pa 3. (本题4分)储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升0.7K，则容器作定向运动的速度v=____________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了_____________J。
(普适气体常量R=8.31J·mol-1·K-1，波尔兹曼常k=1.38×10-23J·K-1，氢气分子可视为刚性分子。) 答案：：121 2.4×10-23 4. (本题3分)体积和压强都相同的氦气和氢气(均视为刚性分子理想气体)，在某一温度T下混合，所有氢分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比为________。 答案：62.5% 5. (本题4分)根据能量按自由度均分原理，设气体分子为刚性分子，分子自由度为i，则当温度为T时， (1)一个分子的平均动能为_______。 (2)一个摩尔氧气分子的转动动能总和为________。 答案：ikT RT 6. (本题5分)图示的两条曲线分别表示氦、氢两种气体在相同温度T时分子按速率的分布，其中
第4章 气体动理论基础 4-1为什么说系统分子数太少时，不能谈论压强与温度？ 答：对少数几个分子而言不能构成热力学系统，分子间确实频繁碰撞，分子速率不满足统计规律，无论是从压强和温度的定义上来讲，还是从压强与温度公式的推导来看，都不满足谈论压强和温度的条件。 4-2已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为pa 105 ，求此气体内单位体积里的分子数。 解：由 nkT P =，有 2523 510415.2300 1038.1101?=???==-kT P n ]m [3 - 4-3一个温度为17℃、容积3 3m 102.11-?的真空系统已抽到其真空度为pa 1033.13 -?。 为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来。烘烤后容器内压强为pa 33.1,问器壁原来吸附了多少个分子? 解：(1)当17=t ℃K 290=: 1723 3 1032.3290 1038.11033.1?=???==--kT P n ]m [3- 143 17 1072.31052.111032.3?=???==-nV N (1)当300=t ℃K 573=: 2010682.1' ' '?== kT P n ]m [3- 18 10884.1''?==V n N 181088.1'?=-=?N N N 4-4 比较平衡态下分子的平均平动动能、平均动能、平均能量哪个最大？哪个最小？ 答：平均动能=平均平动动能+平均转动动能>平均平动动能 平均能量=平均动能+平均势能>平均动能 4-5 指出下列各式的物理意义：(1)kT 23; (2) kT i 2;(3) RT 23;(4) RT i 2 。 答：(1) kT 2 3 ：分子平均平动动能；
习题精解 4-1 设想每秒有23 10个氧气分子，以1 500m s -?的速度沿着与器壁法线成45°角的方向撞在面积为4 2210m -?的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强。 解 如图4.1所示，每个分子的动量变化为 2cos 45x p p ?=?= 全部分子给予器壁的冲量为 x F t N p ??=? 压强为 ()23274 4 1032 1.6610500 1.88102101 x N p F p Pa S S t --????====???? 4-2 质量为3 210kg -?氢气贮于体积为 3 210m -?的容器中，当容器内气体的压强为 44.010Pa ?时，氢气分子的平均平动动能是多少？总平动动能是多少？ 解 理想气体的平均平动动能为 3 2 kT ε= 根据理想气体的状态方程 M pV RT μ = 得 pV T R M μ = 代入3 2 kT ε= 式得 ()433 22233 0333 4.010210 2.010 1.9910222 6.02210210 pV pV k J R M N M μμε----????===??=??? 总平动动能为 ()323222 03 2.010 6.02210 1.9910 1.2010210 E N J M μ ε--?==????=??平动 4-3 体积为21.010m ?的容器中含有231.0310? 氢分子，如果其中的压强为5 1.01310Pa ?。 求气体的温度和分子的方均根速率。
解 氢气的摩尔数为23 1.0310N ?，根据理想气体的状态方程得 ()235 302323 6.02210 1.01310 1.010 71.271.0310 1.03108.31 N pV T K R -????==?=?? 氢分子的方均根速率为 ()219.4310m s -= = =?? 4-4 在300K 时，1mol 氢气分子的总平动动能、总转动动能和气体的热力学能各是多少？ 解 对1mol 气体分子有 ()()()33333 8.31300 3.74102222 8.31300 2.491022 6.2310E RT J E RT J E E E J = =??=?==??=?=+=?平转总平转 4-5 （1）当氧气压强为5 2.02610Pa ?，体积为3 3 310m -?时，所有氧气分子的热力学能是多少？（2）当温度为300K 时，3410kg -?的氧气的热力学能时多少？ 解 （1）质量为M 的理想气体的热力学能 2 M i E RT μ= 根据理想气体的状态方程 M pV RT μ = 故 22 M i i E RT pV μ== 对于氧气分子，5i =，所以 ()5335 2.02610310 1.521022 i E pV J -= =????=? （2）当温度为300K 时，3 410-?kg 的氧气的热力学能 ()245 8.313007.8102322 M i E RT J μ= =???=? 4-6 储有氧气的容器以速度1 100v m s -=?运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，问容器中氧气的温度将会上升多少？
第四章 气体动理论 单个分子的运动具有无序性 布朗运动 大量分子的运动具有规律性 伽尔顿板 热平衡定律(热力学第零定律) 实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡 则 A 与B 热平衡 意义：互为热平衡的物体必然存在一个相同的 特征--- 它们的温度相同 定义温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。 一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 理想气体状态方程: 形式1: 形式2: 3: n ----分子数密度(单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻耳兹曼常数 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体状态方程。 §4-2 气体动理论的压强公式 1）分子按位置的分布是均匀的 2）分子各方向运动概率均等、速度各种平均值相等 k j i iz iy ix i ???? v v v v ++=分子运动速度 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看， 一个持续的平均作用力。 描述气体状态三个物理量： P,V T
122 ω=mv 理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具 有统计意义； 压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分子数密度n 即增加碰壁的个数 2)增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度 思考题：对于一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大（玻意耳定律）；当体积不变时，压强随温度的升高而增大（查理定律）。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观（分子运动）来看，它们有什么区 别？ 对一定量的气体，在温度不变时，体积减小使单位体积内的分子数增多，则 单位时间内与器壁碰撞的分子数增多，器壁所受的平均冲力增大，因而压强增大。而当体积不变时，单位体积内的分子数也不变，由于温度升高，使分子热运动加剧，热运动速度增大，一方面单位时间内，每个分子与器壁的平均碰撞次数增多； 另一方面，每一次碰撞时，施于器壁的冲力加大，结果压强增大。 §4-3 理想气体的温度公式
习题 8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014 Pa 。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量m = 1.67×10-27 kg ，太阳半径R = 6.96×108 m ，太阳质量M = 1.99×1030 kg ） 解：m R M Vm M m n 3π)3/4(== = ρ K 1015.1)3/4(73?===Mk m R nk p T π 8-2 目前已可获得1.013×10-10 Pa 的高真空，在此压强下温度为27℃的1cm 3体积内有多少个气体分子？ 解：3 462310/cm 1045.210300 1038.110013.1?=????===---V kT p nV N 8-3 容积V ＝1 m 3的容器内混有N 1＝1.0×1023个氢气分子和N 2＝4.0×1023个氧气分子，混合气体的温度为 400 K ，求： （1） 气体分子的平动动能总和；（2）混合气体的压强。 解：（1） J 1014.41054001038.12 3)(233232321?=?????=+=-∑N N kT t ε （2）Pa kT n p i 32323 1076.210540010 38.1?=????== -∑ 8-4 储有1mol 氧气、容积为1 m 3的容器以v =10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？（将氧气分子视为刚性分子） 解：1mol 氧气的质量kg 10323 -?=M ，5=i 由题意得 T R Mv ?=?ν2 5 %80212K 102.62-?=??T T R V p RT pV ?=???=νν
第10章 气体动理论题目无答案 一、选择题 1. 一理想气体样品, 总质量为M , 体积为V , 压强为p , 绝对温度为T , 密度为ρ, 总分子数为N , k 为玻尔兹曼常数, R 为气体普适常数, 则其摩尔质量可表示为 [ ] (A) MRT pV (B) pV MkT (C) p kT ρ (D) p RT ρ 2. 如T10-1-2图所示，一个瓶内装有气体, 但有小孔与外界相通, 原来 瓶内温度为300K ．现在把瓶内的气体加热到400K (不计容积膨胀), 此时瓶内气体的质量为原来质量的______倍． [ ] (A) 27／127 (B) 2／3 (C) 3／4 (D) 1／10 3. 相等质量的氢气和氧气被密封在一粗细均匀的细玻璃管内, 并由一水银滴隔开, 当玻璃管平放时, 氢气柱和氧气柱的长度之比为 [ ] (A) 16:1 (B) 1:1 (C) 1:16 (D) 32:1 4. 一容器中装有一定质量的某种气体, 下列所述中是平衡态的为 [ ] (A) 气体各部分压强相等 (B) 气体各部分温度相等 (C) 气体各部分密度相等 (D) 气体各部分温度和密度都相等 5. 一容器中装有一定质量的某种气体, 下面叙述中正确的是 [ ] (A) 容器中各处压强相等, 则各处温度也一定相等 (B) 容器中各处压强相等, 则各处密度也一定相等 (C) 容器中各处压强相等, 且各处密度相等, 则各处温度也一定相等 (D) 容器中各处压强相等, 则各处的分子平均平动动能一定相等 6. 理想气体能达到平衡态的原因是 [ ] (A) 各处温度相同 (B) 各处压强相同 (C) 分子永恒运动并不断相互碰撞 (D) 各处分子的碰撞次数相同 7. 理想气体的压强公式k 3 2 εn p = 可理解为 [ ] (A) 是一个力学规律 (B) 是一个统计规律 (C) 仅是计算压强的公式 (D) 仅由实验得出 8. 一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p 1和p 2，则两者的大小关系是： [ ] (A) p 1> p 2 (B) p 1< p 2 (C) p 1＝p 2 (D)不确定的 T10-1-2图 T 10-1-3图
一．选择题 1.(基础训练２)［C］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同,但体积不同,则单位体积内的气体分子数ｎ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K/V)，单位体积内气体的质量ρ的关系为: (A) ｎ不同，（ＥK/V)不同,ρ 不同． (B)n不同，(E K/Ｖ)不同,ρ 相同． (C) n相同，(E K/Ｖ)相同,ρ 不同. (D) n相同，(E K／Ｖ)相同，ρ 相同. 【解】：∵nkT p=,由题意,T，p相同∴n相同； ∵kT n V kT N V E k 2 3 2 3 = =,而ｎ,T均相同∴ V E k相同 由RT M m pV=得 m pM V RT ρ==，∵不同种类气体M不同∴ρ不同 2.(基础训练6)[ C]设v代表气体分子运动的平均速率， p v代表气体分子运动的最概然速率,2/12) (v代表气体分子运动的方均根速率．处于平衡状态下理想气体，三种速率关系为 (A） p v v v= = 2/1 2) ( (B) 2/12) (v v v< = p （Ｃ) 2/12) (v v v< < p (Ｄ)2/12) (v v v> > p 【解】:最概然速率： p v== 算术平均速率： () v vf v dv ∞ == ? 2 () v f v dv ∞ == ?
3.(基础训练7）［B］设图７- 同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令 () 2 O p v和()2H p v分别表示氧气和氢气的最概然速 率,则 (A)图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； () 2 O p v/()2H p v=4． (B)图中ａ表示氧气分子的速率分布曲 线;() 2 O p v/()2H p v＝1/4． (C)图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线;()2O p v／()2H p v=1/４. (D)图中b表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v/()2H p v＝４. 【解】:理想气体分子的最概然速率 p v=同一温度下摩尔质量越 大的 p v越小,又由氧气的摩尔质量3 3210(/) M kg mol - =?,氢气的摩尔质量3 210(/) M kg mol - =?，可得()2O p v/()2H p v＝1／4。故应该选（Ｂ)。 4.(基础训练8）［C]设某种气体的分子速率分布函数为f(v)，则速率分布在ｖ1~v2区间内的分子的平均速率为 (A)?2 1 d) ( v v v v v f．(B）2 1 ()d v v v vf v v ?． （C) ?2 1 d) ( v v v v v f/?2 1 d) ( v v v v f．(D) ?2 1 d) ( v v v v v f/ ()d f v v ∞ ?． 【解】：因为速率分布函数f（v)表示速率分布在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率，所以?2 1 d) ( v v v v v f N表示速率分布在v 1 ~ｖ2区间内的分子的速率总和,而2 1 ()d v v Nf v v ?表示速率分布在ｖ1~v 2 区间内的分子数总和，因此?2 1 d) ( v v v v v f/?2 1 d) ( v v v v f表示速率分布在v 1 ～ｖ２区间内的分子的平均速率。 5.（基础训练9）[B]一定量的理想气体,在温度不变的条件下,当体积增大时,分子的平均碰撞频率Z和平均自由程λ的变化情况
第四章 气体动理论 一.选择题 1. 把一容器用隔板分成相等的两部分,左边装CO 2 ,右边装H 2,两边气体质量相同,温度相同,如果隔板与器壁无摩擦,则隔板应 (A) 向右移动. (B) 向左移动. (C) 不动. (D) 无法判断是否移动. 2.关于平衡态，以下说法正确的是 (A) 描述气体状态的状态参量p 、V 、T 不发生变化的状态称为平衡态； (B) 在不受外界影响的条件下，热力学系统各部分的宏观性质不随时间变化的状态称为平衡态； (C) 气体内分子处于平衡位置的状态称为平衡态； (D) 处于平衡态的热力学系统，分子的热运动停止. 3.关于热量Q ,以下说法正确的是 (A) 同一物体,温度高时比温度低时含的热量多； (B) 温度升高时,一定吸热； (C) 温度不变时,一定与外界无热交换； (D) 温度升高时,有可能放热. 4. 气缸中有一定量的氦气(视为理想气体),经过绝热压缩,体积变为原来的一半,问气体分子的平均速率变为原来的几倍？ (A) 22 / 5 . (B) 21 / 5 . (C) 22 / 3 . (D) 21 / 3 . 5. 刚性三原子分子理想气体的压强为P ，体积为V ，则它的内能为( ) A.2PV B. 25PV C.3PV D.2 7 PV 6. 一瓶刚性双原子分子理想气体处于温度为T 的平衡态，据能量按自由度均分定理，可以断定（ ） A.分子的平均平动动能大于平均转动动能 B.分子的平均平动动能小于平均转动动能 C.分子的平均平动动能等于平均转动动能 D.分子的平均平动动能与平均转动动能的大小视运动情况而定 7. 1 mol 单原子分子理想气体和1 mol 双原子分子理想气体分别处于平衡态，它们的温度相同，则它们的一个分子的平均平动动能( ) A.相同，它们的内能相同 B.不同，它们的内能相同 C.相同，它们的内能不同
第四章气体动理论 4.1 关于理想气体的基本假设是什么? 【答】理想气体是气体分子运动论和热学所研究的，由大量做无规则热运动的分子组成的最简单的系统，它是客观实际存在的许多真实气体的理想化的物理模型。关于理想气体的基本假设如下： (1)气体的密度很小，因而气体分子问的平均距离比，分子本身的几何线度大很多’ (2)气体分子之间的相互作用力随分子间距离的增大，而急剧地减小，当分子问的距离超过分子本身的几何线度很。多时，分子间的相互作用力变得非常小，以至于可以忽略不-计； (3)气体分子是完全弹性的刚性球，因此，气体分子之间的相互碰撞以及气体分子与容器壁的碰撞都是完全的弹-性碰撞； (4)气体分子之间的相互碰撞很少，即在绝大部分时间内，气体分子都是自由运动的。也就是说，气体分子的运动轨道是由许多直线段组成的不规则的折线，各直线线段的长度比分子本身的几何线度大很多； (5)气体分子的运动速度很大，因此单位时间内气体分子之间的相互碰撞次数很多，在标准状态下，一般气体分子的运动速度为500米／秒左右，一个分子在1秒内所经历的碰撞 次数为大约8 10次。 上述五条即是关于理想气体的基本假设，做了这样的基本假设后，气体的许多主要性质被突出了，例如，理想气体服从状态方程： PV=nRT 这就为我们研究气体各状态参量——压强P、体积V和温度T之间的关系提供了方便。做了上述基本假定之后，这样的理想气体虽然并不真实存在，它只是客观存在的真实气体的理想模型，但它与一般状态下的气体，例如，氢气、氨气和氧气等非常接近。实际上，在压强不太高，温度不特别低的情况下，很多种真实气体都可以用理想气体来近似。换句话说，由于对理想气体的基本假设是抓住了问题的本质，忽略了次要因素，因此，理想气体具有很好的普遍性和适用性，成为气体分子运动论和热学的典型的研究对象。 4.2 什么是动力学规律性?什么是统计规律性? 【答】动力学规律性是从经典力学、经典电磁场理论以及其他物理学科的研究中总结出来的。在经典力学的研究中，我们知道，它的基本任务是在已知作用力和初始条件的情况下，解力学的运动微分方程求出运动的轨道。或者说，在一定的外界条件下，根据动力学规律性，可由物体运动的初始状态求出以后任一时刻的运动状态。动力学规律性能够以抽象的形式反映出由力学体系(物体)运动的初始状态决定力学体系以后任一时刻运动状态之间的联系关系。在经典力学和经典电磁场理论的学习中，我们知道，动力学规律性往往是忽略了某些次要因素，抓住了影响力学体系运动状态的主要因素而获得的，它的正确性是由大量的实验事实证明了的。 气体分子运动论和热学的研究对象是由大量的分子组成系统，由于系统中包括的分子数太多，以致于我们不能靠研究一个一个分子服从的动力学规律来寻找系统的初始状态与以后任一时刻系统状态之间的联系关系。而在由大量分子所组成的系统中存在一种特殊类型的规律性，它是单个分子或由少数分子所组成的系统所没有的规律，这种特殊类型的规律就是统计规律性。
第二章 气体动理论 1-2-1选择题： 1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。以下说法正确的是： （A ）它们的温度、压强均不相同。 （B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。 （C ）它们的温度、压强都相同。 (D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。 2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比4:2:1: : 2 2 2 =C B A v v v ， 则其压强之比C B A p p p ::为： (A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 1 3、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2x v = m kT 3 (B) 2 x v = m kT 331 (C) 2 x v = m kT 3 (D) 2 x v = m kT 4、关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 （A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3) （C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则： (A) 两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的方均根速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 (A) ??? ??++kT kT N N 2523)(21 (B) ??? ??++kT kT N N 252 3 )(2121 (C) kT N kT N 252321 + (D) kT N kT N 2 3 2521+
第4章气体动理论作业题（复习题） 一、例题4.2.1、4.3.1、4.4.1。 二、习题4.2、4.3、4.9、4.13、 注意： 1、习题做在作业本上，要抄写题目，步骤完整，书写整齐，解答正确。 2、作业本交到16号楼2层教师休息室。 3、例题、选择、填空题学会即可。 三、选择、填空题（共12题） 1.一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p1和p2，则两者的大小关系是：C (A)p1＞p2 . (B)p1＜p2 . (C)p1= p2 . (D)不确定的. 2.若理想气体的体积为V，压强为p,温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：B (A)pV/m. (B)pV/ (kT). (C)pV /(RT) . (D)pV/(mT) . 3.关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是B (A)(1)、(2)、(4) . (B)(1)、(2)、(3) . (C)(2)、(3)、(4) . (D)(1)、(3)、(4) . 4.在容积为10 2m3的容器中，装有质量100g的气体，若气体分子的方均根速率为200m/s，则气体的压强为 1.3*105P a.方根速率和理想气体方程组 5、温度为27℃时，1mol氢气的内能是6232.5 焦耳 6、同种理想气体温度相同，气体分子的平均速率、最概然速率、方均根速率三种速率中最大的是方均根速率 1.两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：A (A)两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的平均速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 7、一容器内装有N1个单原子理想气体分子和N2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处
气体动理论 章节总结
第四章 气体动理论 1.平衡态 在没有外界影响的条件下，系统的宏观物理性质不随时间变化的状态。 2.热力学第零定律 系统A和系统B分别与系统C处于热平衡，那么当系统A和系统B接触时，它们也必定处于热平衡。3.理想气体的状态方程 RT M m pV =式中，普适气体常量8.31J /(mol K)R ?=玻耳兹曼常量231.3810J /K k -=?NkT pV =或
4.理想气体的压强公式 k n p ε3 2=压强是单位时间单位面积所受大量分子的平均冲量。5.理想气体的温度公式 kT k 2 3=ε 温度是分子的平均平动动能的统计平均值，反映了系统内大量分子无规则运动的剧烈程度。 6.自由度 确定物体位置的独立坐标数目。
单原子分子 3 0 3 双原子分子 3 2 5 多原子分子 3 3 6 t r i 分子自由度平动转动总 刚性气体分子的自由度 7.能量均分定理 温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均能量都相等，而且等于kT 2 1
根据能量均分定理，如果一个气体分子的自由度是 ,则它的平均能量就是i kT i 2 =ε理想气体的内能为 8.理想气体的内能 mol μRT i E 2μ=9.麦克斯韦速率分布律速率分布函数Ndv dN v f =)(物理意义：速率在v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比
麦克斯韦速率分布函数222/32)2(4)(v e kT m v f kT mv -=ππ三种统计速率 最概然速率 M RT M RT m kT v p 41.122≈==平均速率 M RT M RT m kT v 60.188≈==ππ方均根速率M RT M RT m kT v v 73.1332rms ≈===