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浙江省温州市2015届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷 Word版含解析

浙江省温州市2015届高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知命题P:?x0∈R,x02+2x0+2≤0,则¬p是( )

A.?x0∈R,x02+2x0+2>0 B.?x∈R,x2+2x+2≤0

C.?x∈R,x2+2x+2>0 D.?x∈R,x2+2x+2≥0

2.已知a,b是实数,则“a>|b|”是“a2>b2”的( )

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题中错误的是( ) A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

C.若α∥γ,β∥γ,则α∥βD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

4.为了得到函数y=sin(2x+)的图象,只需把函数y=sin2x图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度

5.已知向量,,,满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1,记||的最大值为M,最小值为m,

则M+m=( )

A.2B.2 C.D.1

6.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,若双曲线C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且cos∠F1PF2=,则双曲线C的离心率为( ) A.B.C.2 D.3

7.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,D为AA1的中点.M、N分别是BB1、CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N.当M,N运动时,下列结论中不正确的是( )

A.平面DMN⊥平面BCC1B1

B.三棱锥A1﹣DMN的体积为定值

C.△DMN可能为直角三角形

D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,]

8.若对任意x∈[1,2],不等式4x+a?2﹣x+1﹣a2<0(a∈R)恒成立,则a的取值范围是( ) A.a>或a<﹣2 B.a>或a<﹣4 C.a>或a<﹣2 D.a>或a<﹣4

二、填空题:本大题共7小题,前4题每题6分,后3题每题4分,共36分.

9.设全集U=R,集合A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B=__________,

A∪B=__________,A∩(?U B)=__________.

10.已知等差数列{a n},S n是数列{a n}的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列{a n}的首项a1=__________,通项a n=__________.

11.如图是某几何体的三视图(单位:cm),则该几何体的表面积是__________cm2,体积为__________cm3.

12.已知sinα﹣cosα=,0≤α≤π,则sin2α=__________,sin(2α﹣)=__________.

13.已知实数x,y满足,则|x﹣2y﹣1|的取值范围是__________.

14.已知正数x,y满足xy+x+2y=6,则xy的最大值为__________.

15.在平面内,|AB|=4,P,Q满足k AP?k BP=﹣,k AQ?k BQ=﹣1,且对任意λ∈R,|λ﹣|的最小值为2,则|PQ|的取值范围是__________.

三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,内角A、B、C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c(acosB﹣b)=a2

﹣b2.

(Ⅰ)求角A;

(Ⅱ)若a=,求b+c的取值范围.

17.(16分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,∠ADB=90°,AB=2AD.

(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面PBD;

(Ⅱ)若PD=AD=1,=2,求二面角P﹣AD﹣E的余弦值.

18.如图,在△ABC中,B(﹣1,0),C(1,0),CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G,且|CD|+|BE|=6.

(Ⅰ)求点G的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)直线l:y=x﹣1与轨迹Γ相交于M、N两点,P为轨迹Γ的动点,求△PMN面积的最大值.

19.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的一个不动点.设函数f(x)=ax2+bx+1(a>0).

(Ⅰ)当a=2,b=﹣2时,求f(x)的不动点;

(Ⅱ)若f(x)有两个相异的不动点x1,x2,

(ⅰ)当x1<1<x2时,设f(x)的对称轴为直线x=m,求证:m>;

(ⅱ)若|x1|<2且|x1﹣x2|=2,求实数b的取值范围.

20.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足3S n=a n﹣1.

(Ⅰ)求{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设b n=,数列{b n}前n项的和为T n,证明:T n<.

浙江省温州市2015届高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知命题P:?x0∈R,x02+2x0+2≤0,则¬p是( )

A.?x0∈R,x02+2x0+2>0 B.?x∈R,x2+2x+2≤0

C.?x∈R,x2+2x+2>0 D.?x∈R,x2+2x+2≥0

考点:命题的否定.

专题:简易逻辑.

分析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

解答:解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题P:?x0∈R,x02+2x0+2≤0,则¬p是:?x∈R,x2+2x+2>0.

故选:C.

点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

2.已知a,b是实数,则“a>|b|”是“a2>b2”的( )

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:简易逻辑.

分析:先判断p?q与q?p的真假,再根据充要条件的定义给出结论;也可判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系解答:解:“a>|b|”能推出“a2>b2”,但是当a=﹣2,b=1时,由a2>b2”推不出“a>|b|”

“a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件,

故选:B.

点评:此题主要考查不等式与不等关系之间的联系,考查充要条件的有关定义.

3.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题中错误的是( ) A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

C.若α∥γ,β∥γ,则α∥βD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

考点:空间中直线与平面之间的位置关系.

专题:空间位置关系与距离.

分析:根据空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理对选项分别分析选择.

解答:解:对于A,若m⊥α,m⊥β,根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可以得到α∥β;故a正确;

对于B,若m⊥α,n⊥α,根据线面垂直的性质定理容易得到m∥n,故B正确;

对于C,若α∥γ,β∥γ,根据面面平行的性质定理和判定定理容易得到α∥β;故D正确;对于D,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交;如墙角的三个面的关系;故D是错误的.

故选D.

点评:本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用;牢固掌握运用定理是关键.

4.为了得到函数y=sin(2x+)的图象,只需把函数y=sin2x图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题:计算题;三角函数的图像与性质.

分析:函数y=sin(2x+)=sin[2(x+)],故只需故把函数y=sin2x的图象向左平移

各单位得到.

解答:解:函数y=sin(2x+)=sin[2(x+)],故把函数y=sin2x的图象向左平移

各单位,

即可得到函数y=sin(2x+)的图象,

故选:A.

点评:本题考查函数y=Asin(ωx+?)图象的平移变换规律,把已知函数的解析式化为y=sin[2

(x+)]是解题的关键.

5.已知向量,,,满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1,记||的最大值为M,最小值为m,

则M+m=( )

A.2B.2 C.D.1

考点:平面向量数量积的运算.

专题:空间向量及应用.

分析:根据||=||=|﹣|=|+﹣|=1的几何意义可知,设,,则△ABC是等边三角形,得到,得到C在以D为圆心的单位圆上,得到||的最大值,最小值.解答:解:由题意,设,,因为||=||=|﹣|=|+﹣|=1,则△ABC是等边三角形,

设,,则E在以D为圆心的单位圆上,如图

所以||的最大值为M=,最小值为m=,则M+m=2;

故选:A.

点评:本题考查了平面向量的几何意义的运用;关键是由已知的等式得到向量的位置关系.

6.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,若双曲线C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且cos∠F1PF2=,则双曲线C的离心率为( ) A.B.C.2 D.3

考点:双曲线的简单性质.

专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:运用双曲线的定义和等腰三角形的定义,由离心率公式,计算即可得到

解答:解:由双曲线的定义可得,||PF1|﹣|PF2||=2a,

由△PF1F2为等腰三角形,则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,

即有|PF2|=2c﹣2a或|PF1|=2c﹣2a,

即有cos∠F1PF2==

∴e==2.

故选:C.

点评:本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.

7.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,D为AA1的中点.M、N分别是BB1、CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N.当M,N运动时,下列结论中不正确的是( )

A.平面DMN⊥平面BCC1B1

B.三棱锥A1﹣DMN的体积为定值

C.△DMN可能为直角三角形

D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,]

考点:棱柱的结构特征.

专题:空间位置关系与距离;简易逻辑.

分析:由BM=C1N,得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO⊥平面BCC1B1,可得平面DMN⊥平面BCC1B1;

由△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值;

利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形;

平面DMN与平面ABC平行时所成角为0,当M与B重合,N与C1重合时,平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大.

解答:解:如图,

当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=C1N,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,而DO⊥平面BCC1B1,∴平面DMN⊥平面BCC1B1,A正确;

当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,∴棱锥N﹣A1DM的体积不变,即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值,B正确;

若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,∴△DMN不可能为直角三角形,C错误;

当M、N分别为BB1,CC1中点时,平面DMN与平面ABC所成的角为0,当M与B重合,N与C1重合时,平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大,为∠C1BC,等于.

∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,],D正确.

故选:C.

点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了棱柱的结构特征,考查了空间想象能力和思维能力,是中档题.

8.若对任意x∈[1,2],不等式4x+a?2﹣x+1﹣a2<0(a∈R)恒成立,则a的取值范围是( ) A.a>或a<﹣2 B.a>或a<﹣4 C.a>或a<﹣2 D.a>或a<﹣4

考点:函数恒成立问题.

专题:函数的性质及应用.

分析:分别取a=3,x=2或者a=﹣3,x=2排除即可.

解答:解:当a=3时,4x+3?2﹣x+1﹣9<0,

若x=2,则42+3?2﹣2+1﹣9>0,故A,D不符合,

当a=﹣3时,4x﹣3?2﹣x+1﹣9<0,

若x=2,则42﹣3?2﹣2+1﹣9>0,故C不符合,

故选:B.

点评:考查学生理解掌握不等式恒成立的条件,直接算很难,采取举反例,属于中档题.

二、填空题:本大题共7小题,前4题每题6分,后3题每题4分,共36分.

9.设全集U=R,集合A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B={﹣1},A∪B={﹣1,1,5},A∩(?U B)={5}.

考点:交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算.

专题:集合.

分析:确定出A与B,找出A与B交集、并集及A与B的补集即可.

解答:解:∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1,5},B={x|x2=1}={﹣1,1},

∴?U B=B={x|x≠±1},

∴A∩B={﹣1},A∪B={﹣1,1,5},A∩(?U B)={5}.

故答案为:{﹣1},{﹣1,1,5},{5}.

点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

10.已知等差数列{a n},S n是数列{a n}的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列{a n}的首项a1=1,通项a n=3n﹣2.

考点:等差数列的前n项和.

专题:等差数列与等比数列.

分析:设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,则答案可求.

解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,

由a4=10,S6=S3+39,得

,解得.

∴a n=1+3(n﹣1)=3n﹣2.

故答案为:1,3n﹣2.

点评:本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题.

11.如图是某几何体的三视图(单位:cm),则该几何体的表面积是14+2cm2,体积为4cm3.

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题;空间位置关系与距离.

分析:判断得出该几何体是三棱锥,利用题中数据,即可求解几何体的表面积、体积.

解答:解:根据三视图得出:该几何体是三棱锥,AB=2,BC=3,DB=5,CD=4,

AB⊥面BCD,BC⊥CD,

∴几何体的表面积是+++=14+2

其体积:×S△CBD×AB==4,

故答案为:14+2;4.

点评:本题考查了三棱锥的三视图的运用,仔细阅读数据判断恢复直观图,关键是确定几何体的形状,属于中档题.

12.已知sinα﹣cosα=,0≤α≤π,则sin2α=,sin(2α﹣)=.

考点:二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数.

专题:计算题;三角函数的求值.

分析:由sinα﹣cosα=,两边平方,再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式,两角和与差的正弦函数公式即可得出.

解答:解:∵sinα﹣cosα=,0≤α≤π,

∴两边平方可得:1﹣sin2α=,可得:sin2α=.cos2α=﹣=﹣,

∴sin(2α﹣)=(sin2α﹣cos2α)=×(+)=,

故答案为:,.

点评:本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式,两角和与差的正弦函数公式的应用,属于基础题.

13.已知实数x,y满足,则|x﹣2y﹣1|的取值范围是[0,5].

考点:简单线性规划.

专题:不等式的解法及应用.

分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可.

解答:解:设z=x﹣2y﹣1,则y=+,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):

平移直线y=+,

由图象可知当直线y=+过点A时,

直线y=+的截距最小,此时z最大,

由,解得,

即A(1,0),

代入目标函数z=x﹣2y﹣1,

得z=1﹣1=0

∴目标函数z=x﹣2y﹣1的最大值是0.

经过B时,直线y=+的截距最大,此时z最小,

由得,即B(2,3),

此时z=2﹣6﹣1=﹣5,

即﹣5≤z≤0,

则0≤|z|≤5,

即|x﹣2y﹣1|的取值范围是[0,5],

故答案为:[0,5]

点评:本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.

14.已知正数x,y满足xy+x+2y=6,则xy的最大值为2.

考点:基本不等式.

专题:不等式的解法及应用.

分析:正数x,y满足xy+x+2y=6,可得x=>0,解得0<y<3.可得xy=,

化简整理利用基本不等式的性质即可得出.

解答:解:∵正数x,y满足xy+x+2y=6,

∴x=>0,解得0<y<3.

∴xy==≤+10=2,当且仅当y=1

(x=2)时取等号.

∴xy的最大值为2.

故答案为:2.

点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了变形能力、推理能力,属于基础题.

15.在平面内,|AB|=4,P,Q满足k AP?k BP=﹣,k AQ?k BQ=﹣1,且对任意λ∈R,|λ﹣|的最小值为2,则|PQ|的取值范围是[2﹣,2+].

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:设A(﹣2,0),B(2,0),P(m,n),Q(s,t),由斜率公式可得P,Q的轨迹方

程,对任意λ∈R,|λ﹣|的最小值为2,运用向量的坐标运算,结合二次函数的最值求法,可得m=﹣1,n=±,即P为定点,由于Q在圆s2+t2=4上,

连接OP,延长交圆于Q,Q',则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|,最大值为2+|OP|,进而得到所求范围.

解答:解:设A(﹣2,0),B(2,0),P(m,n),

则k AP?k BP=﹣,可得?=﹣,

化简可得m2+9n2=4,(m≠±2),

设Q(s,t),由k AQ?k BQ=﹣1,可得s2+t2=4,(s≠±2),

对任意λ∈R,|λ﹣|的最小值为2,

=(m+2,n),=(4,0),

即有|λ﹣|2=[(m+2)2+n2]λ2+16﹣8λ(m+2),

配方可得最小值为16﹣=4,

化简可得3n2=(2+m)2,

又m2+9n2=4,解得m=﹣1,n=±,

即有P(1,±),

由于Q在圆s2+t2=4上,

连接OP,延长交圆于Q,Q',

则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|=2﹣=2﹣;

最大值为2+|OP|=2+.

则有|PQ|的取值范围是[2﹣,2+].

故答案为:[2﹣,2+].

点评:本题考查向量的数量积的坐标表示,考查曲线的方程和运用,同时考查二次函数的最值的求法,圆的性质的运用,属于难题和易错题.

三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,内角A、B、C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c(acosB﹣b)=a2

﹣b2.

(Ⅰ)求角A;

(Ⅱ)若a=,求b+c的取值范围.

考点:余弦定理;正弦定理.

专题:解三角形.

分析:(Ⅰ)利用余弦定理表示出cosB,代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosA 的值,即可确定出A的度数;

(Ⅱ)由a与sinA的值,利用正弦定理表示出b与c,代入b+c中,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的值域确定出范围即可.

解答:解:(Ⅰ)∵cosB=,c(acosB﹣b)=a2﹣b2,

∴a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2,即a2=b2+c2﹣bc,

∵a2=b2+c2﹣2bccosA,

∴cosA=,

则A=;

(Ⅱ)由正弦定理得====2,

∴b=2sinB,c=2sinC,

∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB

=3sinB+cosB=2sin(B+),

∵B∈(0,),

∴B+∈(,),

∴sin(B+)∈[,1],

则b+c∈[,2].

点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理是解本题的关键.

17.(16分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,∠ADB=90°,AB=2AD.

(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面PBD;

(Ⅱ)若PD=AD=1,=2,求二面角P﹣AD﹣E的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.

专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角.

分析:(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD;

(Ⅱ)以D为原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求出二面角的平面角.

解答:(Ⅰ)证明:∵PD⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,

∴PD⊥BD…

∵∠ADB=90°,∴AD⊥BD…

∵AD∩PD=D

∴BD⊥平面PAD…

∵BD?平面PBD,

∴平面PAD⊥平面PBD…

(Ⅱ)解:以D为原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立直角坐标系

D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),B(0,,0),

设P(0,x,y),∵,∴…

∵BD⊥平面PAD,∴平面PAD的一个法向量…

设平面ADE的一个法向量,

,,∴

解得…

设α为所求的角,cosα==…

点评:本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解,利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法

18.如图,在△ABC中,B(﹣1,0),C(1,0),CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G,且|CD|+|BE|=6.

(Ⅰ)求点G的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)直线l:y=x﹣1与轨迹Γ相交于M、N两点,P为轨迹Γ的动点,求△PMN面积的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题.

专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析:(Ⅰ)设BE与CD交于G点,则G为△ABC的重心,,根据椭圆定理为椭圆方程.

(Ⅱ)设直线y=x+b,当直线与椭圆相切时,切点即为P,此时三角形面积最大

,因为相切,故△=0.列式求得面积最大值,并求

得该值.

解答:解:(Ⅰ)设BE与CD交于G点,则G为△ABC的重心,…

由于|CD|+|BE|=6,则BG+CG=4,根据椭圆的定义,故G是以B,C为焦点,长轴长为4的椭圆(除x轴上点外),…

即G满足的轨迹方程为…

(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由得到7x2﹣8x﹣8=0,得到

设直线y=x+b,当直线与椭圆相切时,切点即为P,此时三角形面积最大

,因为相切,故△=0

64b2﹣28(4b2﹣12)=0,b2=7,

(舍)…

h=||=…

备注:也可以用两平行线距离公式d=

点评:本题主要考查了轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题.

19.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的一个不动点.设函数f(x)=ax2+bx+1(a>0).

(Ⅰ)当a=2,b=﹣2时,求f(x)的不动点;

(Ⅱ)若f(x)有两个相异的不动点x1,x2,

(ⅰ)当x1<1<x2时,设f(x)的对称轴为直线x=m,求证:m>;

(ⅱ)若|x1|<2且|x1﹣x2|=2,求实数b的取值范围.

考点:二次函数的性质.

专题:函数的性质及应用.

分析:(Ⅰ)当a=2,b=﹣2时,f(x)=2x2﹣2x+1,构造方程f(x)=x,解得答案;(Ⅱ)若f(x)有两个相异的不动点x1,x2,则x1,x2是方程f (x)=x的两相异根,

(ⅰ)当x1<1<x2时,m=﹣,结合韦达定理,可得m>;

(ⅱ)若|x1|<2且|x1﹣x2|=2,由韦达定理构造关于b的不等式,解得实数b的取值范围.解答:解:(Ⅰ)依题意:f(x)=2x2﹣2x+1=x,即2x2﹣3x+1=0,

解得或1,即f(x)的不动点为和1;…

(Ⅱ)(ⅰ)由f (x)表达式得m=﹣,

∵g(x)=f (x)﹣x=a x2+(b﹣1)x+1,a>0,

由x1,x2是方程f (x)=x的两相异根,且x1<1<x2,

∴g(1)<0?a+b<0?﹣>1?﹣>,即m>.…

(ⅱ)△=(b﹣1)2﹣4a>0?(b﹣1)2>4a,

x1+x2=,x1x2=,

∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=()2﹣=22,…

∴(b﹣1)2=4a+4a2(*)

又|x1﹣x2|=2,

∴x1、x2到g(x)对称轴x=的距离都为1,

要使g(x)=0 有一根属于(﹣2,2),

则g(x)对称轴x=∈(﹣3,3),…

∴﹣3<<3?a>|b﹣1|,

把代入(*)得:(b﹣1)2>|b﹣1|+(b﹣1)2,

解得:b<或b>,

∴b 的取值范围是:(﹣∞,)∪(,+∞).…

点评:本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,韦达定理,是二次方程与二次函数,二次不等式的综合应用,难度较大.

20.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足3S n=a n﹣1.

(Ⅰ)求{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设b n=,数列{b n}前n项的和为T n,证明:T n<.

考点:数列的求和;数列递推式.

专题:等差数列与等比数列.

分析:(Ⅰ)通过3S n=a n﹣1,可得首项a1=﹣,3S n﹣3S n﹣1=a n﹣a n﹣1,即a n=,计算即可;

(Ⅱ)通过,利用放缩法、等比数列的求和公式计算即可.

解答:解:(Ⅰ)由3S n=a n﹣1,得a1=S1=﹣,

当n≥2时,3S n﹣1=a n﹣1﹣1,

两式相减得3S n﹣3S n﹣1=a n﹣a n﹣1,即a n=,

∴数列{a n}是首项a1=﹣,公式q=﹣的等比数列,

∴;

(Ⅱ)∵,,

∴T n=b1+b2+…b n

点评:本题考查求数列的通项、判定和的范围,注意解题方法的积累,属于中档题.

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