第31卷第4期2011年12月
数学理论与应用
MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONS
Vol．31No．4
Dec．2011统计决策与贝叶斯分析的实践与思考
侯臣平吴翊
（国防科技大学理学院数学与系统科学系，长沙，410073）
摘要统计决策与贝叶斯分析是一门多学科相交叉的边缘课程，具有很强的应用性．本文在对北美一流院校相关课程教学特点的描述和对比分析的基础上，结合我校理工科院校的特色，从教学内容、教学方法和实践教学三个方面系统阐述了我校在该课程教学和课程建设中的几点体会．
关键词统计决策与贝叶斯分析理工科特色教学体会
Discussions of Statistical Decision Theory and
Bayesian Analysis
Hou Chenping Wu Yi
（Department of Math and Sys Sci．，Science College，National University of Defense Technology，
Changsha410073，China）
Abstract Statistical decision theory and Bayesian analysis integrates the knowledge from many related areas．Its is widely used in many areas．In this paper，we first introduce the status of related courses in famous North America u-niversities．Then，by considering the real situations in our university，we propose some suggestions from three as-pects，i．e．，teaching content，teaching skill and practical teaching．
Key words Statistical decision theory and Bayesian analysis；Science and engineering characteristics；teaching ex-perience
1引言
统计决策与贝叶斯分析是统计学课程体系中一门重要的研究生基础课．统计学是关于数据资料的收集、整理、分析和推断的方法论科学［1］．在我国现行学科目录里，尽管统计学属于数学的二级学科，但是统计学和纯粹的数学相比，更加注重实用性．在许多国家，例如美国，统计学和数学并列，均为一级学科［2］，充分体现出统计学的重要性．简言之，统计学就是利用数学的理论和方法，对自然界、社会或经济活动进行定量分析的学科．
国防科技大学研究生重点建设课程项目（1151B008）
收稿日期：2011年9月30日
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数学理论与应用
统计决策和贝叶斯分析作为统计系列教学的核心课程，是一门多学科融合的高年级硕士研究生和低年级博士研究生的公共选修课．它的研究对象来自于人类社会实践的各个环节，与计算机科学、信息科学、管理科学紧密相关．从研究范畴上讲，统计决策与贝叶斯分析分别隶属于两块不同的统计学研究内容：决策论和贝叶斯分析理论，但是，此课程在讲解的时候，通过引入贝叶斯分析的数学工具，将统计决策问题转化为贝叶斯分析能够处理的研究对象，因此将两者结合在一起讲解更加有利于相关知识的学习．从研究学派上讲，统计决策理论属于经典统计学派所关注的研究内容，而贝叶斯分析则是贝叶斯学派的主要研究内容，因此，统计决策与贝叶斯分析课程的开设有助于学生建立批判性的思维方式，应当对于不同学派的研究采取兼容并包的态度．因此，无论是从研究内容上讲，还是从培养学生科学思维能力的角度出发，此课程都具有其他课程不可替代的作用．
尽管统计决策与贝叶斯分析课程非常重要，但是国内关于该课程的研究较少，主要原因如下：（1）与国外公众对于统计学所扮演角色的认识不同，国内公众普遍认为统计学是“计数求和”、“填写报表”，而在西方人们认为“统计是概率科学的艺术，是信息技术的重要部分”［3］．这种偏见的存在使得国内统计学专业设置狭隘，统计决策与贝叶斯分析课程教学相对比较落后．（2）由于统计决策与贝叶斯分析中更加强调主观先验，在一定的历史时期，人们将主观先验等价为主观主义，大大限制了此课程教学在国内的发展．此外，国内高校普遍将统计决策与贝叶斯分析课程视为传统的数学课程，按照传统数学课程的模式施教，重理论、轻实践、重方法，轻应用，从而使得该课程的教学脱离实际应用背景，不能满足学生处理实际问题的需要，难以实现高等教育培养可持续发展人的目标．
本文在分析国外相关课程教学方式方法的基础上，结合笔者实际教学实践，阐述了一些适合理工科院校统计决策与贝叶斯分析课程教学的体会．
2国内外相关课程对比分析
根据数理统计和统计学科的综合排名，我们重点介绍研究了以下几个大学的同类课程教学内容，并对其特点进行了总结和分析，主要介绍贝叶斯统计和决策论两大类课程．2．1贝叶斯分析
1．加州大学伯克利分校．教材主要包括“Bayesian Statistics”，授课内容包括条件概率，单参数模型和多参数模型，分层模型，预测模型和灵敏度分析，线性模型和广义线性模型，混合法，时间序列，空间模型，概论分布的模拟，试验设计，模型应用案例研究，贝叶斯理论、渐进性、决策论、随机性．同时，该校还开设贝叶斯数据分析课程，其授课特点为：先介绍贝叶斯模型，然
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后介绍更复杂的分层模型和混合模型，模型充分性的监控方法等．
2．密歇根大学．开设贝叶斯推断课程，教材主要包括“Bayesian Inference”，讲授的内容包括贝叶斯统计基础和贝叶斯推断与决策理论，例如：Stein悖论的贝叶斯观点，列联表的贝叶斯分析，非参数问题的贝叶斯分析，类别抽样问题．同时开设贝叶斯分析课程，主要包括：公理基础，效用，主观概率，决策函数，随机化行为，风险函数、容许度，完整性，贝叶斯法则，极大极小法则，充分性，估计问题等．
3．华盛顿大学．开设课程为贝叶斯统计方法，主要内容为基于参数空间概率分布思想的统计方法，一致性和效用．主观概率．似然法则．共轭分布族．贝叶斯推断的结构．后验分布的极限理论、序贯试验、可交换性等．同时开设社会科学贝叶斯统计：概率作为不确定性的测度的统计方法．包括：概率的主观定义，贝叶斯理论，先验和后验分布，统计模型的数据分析技术．2．2决策论
1．加州大学伯克利分校，开设统计学习与统计决策高级专题，近期专题包括：图示模型和近似推断算法．MCMC法，均值域和概率传播方法．模型选择与随机实现，贝叶斯统计、信息理论与结构风险最小化方法，马氏决策过程和部分可观测的马氏决策过程，增量学习．同时开设统计学习理论课程，主要研究：分组、回归、聚类、维数约简、密度估计，混合模型、分层模型、因子模型、藏匿的马氏状态空间模型，一般概率推断的马尔可夫性和递归算法，包括决策树、核方法、神经网络和小波在内的非参数方法等．
2．加州大学洛杉矶分校．开设决策论课程，主要内容有：贝叶斯法则，课容许法则，极小极大法则，不变检验和估计，最优无偏检验，局部最优检验．
3．哈佛大学．开设统计与风险分析课程，主要讲授内容包括：不确定条件下的理性统计决策，决策树、期望效用，风险厌恶，风险厌恶递减，多重风险，风险分担，保险，统计模型与评估．通过对上述北美一流大学统计课程内容的分析，其主要特点可以归纳为：（1）课程涵盖的内容非常广泛，包括统计决策与贝叶斯分析课程自身的理论内容，也包括与其相关的实际应用问题．例如：华盛顿大学就讲授社会科学贝叶斯统计的内容，加州大学伯克利分校甚至专门开设了统计学与信息科学交叉领域近年来研究热点问题：统计学习理论课程．这样会使得统计决策与贝叶斯课程更加贴近具体实践．（2）课程均采用问题驱动性教学，强调学习内容的实用性．例如：密歇根大学相关课程中就讲授了列联表的贝叶斯分析内容，主要侧重于去解决实际中数据分析问题．加州大学伯克利分校开设课程中就讲授了核方法等模式识别领域的重要研究内容．（3）不同学校开设的相关课程内容各具特色．尽管不同大学的课程都涉及到了统计决策与贝叶斯分析的基本理论教学内容，但是其课程的开设各具特色．例如：加州大学伯克利分
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校在计算机和信息科学研究处于世界领先水平，该校开设的统计学习理论课程正好满足了该校大部分学生对于统计学相关知识的需求．华盛顿大学则更加侧重于社会科学贝叶斯统计课程的教学，这与该校在社会科学研究领域具有很强的科研实力是分不开的．（4）课程内容的考核强调上机实践．由于课程内容具有很强的实践性，决定了课程就必须以实践的方式进行考核．通常情况下，一般讲授3个学时，然后安排学生上机2个学时，对于加强学生对知识的深入理解，提高学生的动手能力和解决实际问题的能力具有很重要的实际意义．
3我校该课程教学的几点体会
下面从课程内容体系与结构，教学方式与目的，实践性教学环节三个方面阐述我校该课教学实践中的几点体会．
3．1课程内容体系与结构设置上突出“基础与现代，理论与实践相结合”的特点
由于该课程的教学对象不仅仅是数学专业的研究生，而是面向全校研究生的公共课，在课程教学内容和体系结构设置上体现出了“基础与现代，理论与实践相结合”的特点．首先，在教学内容上改变了传统的贝叶斯理论的引入方式，针对我校理工科院校，工科为优势学科的特点，从信息的观点引入统计模型并加以研究，用统计结构处理贝叶斯理论，符合我校信息类学生的学习需求．与国内主流教学内容的比较如下表1所示．
表1课程内容比较示意
原有教学内容现在教学内容
1导论（基本概念），决策理论，其他基础1三种信息，统计模型，贝叶斯统计结构
2效用与损失2贝叶斯推断
3先验信息与主观概率3先验分布
4贝叶斯分布，后验分布、贝叶斯推断、决策4决策论在贝叶斯分析中的应用
5贝叶斯计算
从上表内容可以看出，现在的教学内容首先告诉学生如何使用统计决策与贝叶斯理论处理现实问题，进而从理论上给出解释，最后为了工程实践的需要，专门添加了一章关于贝叶斯计算的例子，更加贴近工程实际，深受学生欢迎．
3．2教学方式上采用案例引入教学，多种教学方式和手段并用
根据研究生课程教本科生课程更加开放的特点，在教学方式上借鉴国外相关课程教学的成功经验，主要是采用案例引入理论的教学方法．这样更加贴近学生工科背景，更加能够满足学生学习此门课程就是为了能够在其具体实践中得到应用的初衷．例如，在引进贝叶斯统计结
统计决策与贝叶斯分析的实践与思考构时，我们采用如下学生能够形象理解的例子．
例1（图像表示）一幅像素点为m ?n 的图像x 可视为一个mn 维向量，其分量表示相应像
素点的灰度值，取值于整数集G =｛0，1，…，r ｝，由于r 通常较大，如r =256，也常近似认为G =
［0，r ］．如果x 是在一定技术条件下对某场景的成像，在实际上它与
“真实”（即理想状况的）图像θ有一定差距，设它们有如下关系：
x =H θ+ε
其中H 为已知的mn 阶方阵，ε N （0，σ2I mn ）为观测噪声，这里I mn 表示mn 阶单位阵，于
是f （x |θ） N （H θ，σ2I mn ），又设该类场景图像有先验分布密度函数．
π（θ）=c exp ｛－s （θ）2β2
｝I ［0，r ］mn （θ）其中s （θ）为某已知函数，c 为相应常数，则相应后验分布密度函数．
π（θ|x ）∝exp ｛－［x －H θ22σ2+s （θ）2β2
］｝I ［0，r ］mn （θ），此时，贝叶斯统计结构（Θ，G ，Π）中，Θ=［
0，r ］mn ，Π=｛π（θ|x ）：x ∈［
0，r ］mn ｝贝叶斯统计结构中，参数也可以是一随机过程某时刻的值，参数空间Θ中的分布族Π0可以是某种条件分布．
在教学方式上，采用灵活多样的教学方式．主要采用的教学方式有：（1）教师讲授：主要讲解包括导论、贝叶斯推断和先验分布的有关章节；主要目的是传授统计决策与贝叶斯分析的基
本观点和内容；（2）课堂讨论：在讲授过程中设置课堂讨论问题，
包括课堂讲授内容的深化研究、课程扩展内容已经与统计决策与贝叶斯分析相关的开放式问题；（3）课程报告：学生根据自身研究的特点，通过课堂教学内容的系统学习，准备40分钟的课程报告．主要评价标准为统计决策与贝叶斯分析理论在解决实际问题时的所起到的作用以及对贝叶斯分析思想的认识程
度；（4）口试：主要通过授课教师，
辅导教师和学生进行交流，着重考察学生是否对于课堂布置问题进行了深入的思考．同时通过学生向老师提问的方式，促使老师和学生共同探讨学生所关
心的科研问题．（5）网络教学平台交流．通过网络教学平台，
学生和老师进行及时沟通．使得老师的授课内容更加具有针对性．
3．3突出教学实践环节
实践环节作为理论教学联系具体实践问题的纽带，发挥着其他教学形式不可替代的作用．在实践教学环节中，主要根据实际案例与贝叶斯统计结构理论的紧耦合关系，增强学生对理论的理解和创新应用能力．并将考试方式改革为“论文+课堂报告+口试”的方式．从多角
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度评价学生的理论理解深度和实践动手能力．注意紧密结合科研，从历年学生的课程论文中提炼问题，作为补充案例．具体的一些措施包括：（1）更新部分内容：及时向学生介绍课程相关内容的最新前沿，听取不同专业背景的学生的意见，更新了部分讲授内容．结合工科研究生大量要用的方法，注意紧密结合科研实践，并从历年学生的课程论文中提炼问题，作为补充案例，深受学生欢迎．增加了一章贝叶斯计算，结合实践教学，提高学生的理论应用能力．（2）适当减少课堂授课时间，增加口试及讨论环节．由于统计课公式较多，在课堂上增加理论口试与讨论环节，加深学生对相关概念和定理的理解．（3）增加数学建模和统计软件应用的实践环节．增加了数据编程计算和统计软件应用的实践环节．
4结论
通过对北美一流高校统计决策与贝叶斯分析相关课程内容的研究和对比分析，结合我校理工科院校的实际背景，系统阐述了我校在该课程教学中的几点体会．
参考文献
［1］谢邦昌．统计的角色［J］．中国统计，2003，（3）．
［2］李宝瑜．统计学一级学科建设中的若干问题［J］．统计研究，2004．（8）．
［3］袁卫．我国统计高等教育的回顾和前瞻［J］．统计研究，2001．（1）．