数列专题复习
1.（全国二18）．等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
2．（陕西文20）已知实数列是}{n a 等比数列,其中5547,14,,1a a a +=且成等差数列. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: ,n S ＜128,3,2,1(=n …).
3.（山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．
4.（全国2文17）等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．
5.（重庆理21）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= （1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，
求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+
6.（全国二20）．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．
7.(全国一19)．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设1
2n
n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
8.（北京理15，文科16）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成
公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．
9.（山东卷19)。将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
…记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足
n
N n n S S b b 2
2-=1（n ≥2）.(Ⅰ)证明数列｛n S 1
｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91
4
81-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.
10.（四川卷20）． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n ba b S -=-
（Ⅰ）证明：当2b =时，{}
12n n a n --?是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式
11.（天津卷20）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*
n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
12.（陕西卷22）．已知数列{}n a 的首项135a =
，1321
n
n n a a a +=+，12n = ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n
a x x x ??
-- ?++??
≥，12n = ，，；（Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．
13.（辽宁文20）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11
113114413144
n n n n n n a a b b a b ----?
=++????=++??（2n ≥）
（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．
14.（陕西理21）已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+k a a k k (2
1
1N *),其中a 1=1.
(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足1
1++-=
b k k a n
k b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1.求b 1+b 2+…+b n .
15.（湖南文20）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且222
1
3n n n S na S
-=+，0n a ≠，234n = ，，，．
（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．
16.（广东卷21）．设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，
12n n n x px qx --=-（34n =，
，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，1
4
q =
，求{}n x 的前n 项和n S ．
17.（全国1文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列n n a b ??
????
的前n 项和n S ．
18.（天津文20）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
19.（江西卷19）．数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ；（2）求证
121113
4
n S S S +++< .
20.（山东理17）设数列{}n a 满足211233333
n n n
a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n
n
b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
21.（福建文21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．
22.（湖南卷18）. 数列{}2
21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ+===++= 满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21
122,.n n n n n
a b S b b b a -=
=+++ 证明：
当162.n n S n ≥-<时，
23.（江西文21）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥；（2）求和：212321232n n
n
T a a a a =-+--
．
24.（天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S ；Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立．
25.（浙江理21）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++= 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（Ⅲ）记s i n 1()32s i n n f n n ??=+ ???
，(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++
…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．
26.（全国一22）．设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b
k a b
-≥
．证明：1k a b +>．
27.（全国2.21）设数列{}n a 的首项1
13(01)2342
n n a a a n --∈==，，
，，，，…． （
1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．
28.（广东理21）已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，
1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……） （1）求,αβ的值； （2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；
（3）记ln n n n a b a a
β-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。
29．（湖北文20）已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，
22a =，0n a >，n b =*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列．（I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234212111111
n n
a a a a a a -++++++
．
30.（福建理21
）等差数列{}
n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()n
n S b n n
*=
∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
31.（湖北卷21）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=
+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b <
32．（四川文22）已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N
+
），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1；（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg
2
2
n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.
等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ． ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.
(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12????1 2n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2 a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式； (2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和. (2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝? ????a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. 【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2n ，…的前n 项和S n 的值等于 ( ) A.n 2 ＋1－1 2n B.2n 2 －n ＋1－1 2n C.n 2 ＋1－1 2 n －1 D.n 2 －n ＋1－1 2n (2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π 2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0 高频考点二 裂项相消法求和 例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，若d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d 数列导学案
数列求和 教学目标： 熟练运用求和公式对等差、等比数列求和,能运用分组的方法将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求和。 一、导入： 我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。其中一项重要的内容就是数列的求和，它是数列知识的综合体现。求和题在高考试题中很常见，它主要考查我们有关数列的基础知识，分析问题和解决问题的能力。这节课我们将进一步研究数列的求和问题。 二、知识回顾： 1、等差数列和等比数列的前n 项和公式分别是什么？ （1）等差数列的前n 项和公式：___________________; （2）等比数列的前n 项和公式：①___________________; ②___________________ 三、探究 公式法 例1：(1)等比数列｛n a ｝各项都是正数，且187465=+a a a a ，则=+++1032313log ......log log a a a A 、12 B 、10 C 、8 D 、2 (2) 等差数列｛n a ｝中，3a =6，6a =3，则8S = 以上运用了公式法直接求和。运用公式时要注意以下问题：1、公式熟悉。2、明确首项和项数。3、等比数列中要特别注意使用条件。 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）
练习：求数列??????,22,,26,24, 2232n n 前n 项的和. 分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：{}n n a b ±的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. [例3] 求数列的前n 项和：231,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n 基本求和公式总结： （1）=++++n ......321_______ ____________; （2）=-++++)12(......531n __________ ___ （3）=+++++)12(......531n （4）=++++n 2 (842) （5）=++++n 2 (421) （6）=++++n a a a a (32)
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
数列求和 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n 项和公式 (2)分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和． 【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n
－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二 错位相减法求和 例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
数列求和专题 学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 【课前预习区】 1等差数列的前n 项和为_____________________________________________________ 2等比数列的前n 项和为_____________________________________________________ 题型一 公式法求和 1求=-++++12531n _________________________________________ 2求=++++n 2421 ____________________________________________ 3若,0≠a 则=++++n a a a a 32_________________________________ 【课堂交流区】 1.公式法求和小结： 题型二 分组求和 例1 若n a n n +=2，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结： 变式练习： 1.若,0≠a 且1≠a 则___________543215 432=-+-+-+-+-a a a a a 2.求和__________ )432()434()432(2 1 =?-++?-+?-n n 题型三 错位相减法
例2 求和：n n n S 333323132?++?+?+?= 方法小结： 变式1. 若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 例3 n n n a 3)12(-=若，求数列}{n a 的前n 项和n S . 变式2 若n n n a 2)12(-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 【课堂小结】 【课后巩固区】
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．
45数列求和 姓名 一、学习内容： 必修四68～72 二、课标要求： 能在具体的问题情景中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应 的问题（数列求和）． 三、基础知识： 数列求和的常见方法有： 1、 公式法：⑴ 等差数列的求和公式____________n S =，等比数列的求和公式 ____________n S = 2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和 （常见：等差+等比型或多个特殊数列混合在一起） 即：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和。 3、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项 之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：a n +a 1=a n-1+a 2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和． 4、错位相减法：适用于： “等差?等比”型 的数列求和． 特征：适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。 方法：给12n n S a a a =++ +各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式 和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和S n . 5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法 拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。把一个数列分成几个可直接求和的数列． 常见的拆项公式：
学习目标 学习过程 高考链接： 1.（2013年第三题）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （ ） 2.（2013年第十六题）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 3. （2012年第五题）已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 4.（2012年第十六题）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 5.（2011年第十七题） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且2 12326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前n 项和. 6.（2010年第十七题） 典型例题： 例1 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2 ++???+ ++的值 . 变式训练：（1（2）2 21f(x)+= x ，则_________)6()5(......)4()5(=+++-+-f f f f \ 总结：适用于____________________________________的数列求和 例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2， a 3(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{ b n }满足：b n ＝a n ＋ln （ 12 a n ），求数列{ b n }的前n 项和S n . 总结：适用于____________________________________的数列求和 例3 已知当x ＝5时，二次函数bx ax x f +=2 )(取得最小值，等差数列{}n a 的前n 项和n S ＝f(n)，2a ＝－7.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n a 2 b n = ，
§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？
问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？
等比数列经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0， 由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0， 因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。 举一反三： 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三： 【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)
=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】
1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。