专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用
2019 年
1.（2019 全国Ⅲ文 20）已知函数 f (x ) = 2x 3
- ax 2
+ 2 .
（1）讨论 f (x ) 的单调性；
（2）当0 2.（2019 北京文 20）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 + x ． 4 （Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 x ∈[-2, 4] 时，求证： x - 6 ≤ f (x ) ≤ x ； （Ⅲ）设 F (x ) =| f (x ) - (x + a ) | (a ∈ R ) ，记 F (x ) 在区间[-2, 4] 上的最大值为 M （a ）， 当 M （a ）最小时，求 a 的值． 3.（2019 江苏 19）设函数 f (x ) = (x - a )(x - b )(x - c ), a , b , c ∈ R 、 f ' (x ) 为 f （x ）的导函数． （1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值； （2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x ) 的零点均在集合{ - 3,1, 3} 中，求 f （x ）的极小值； （3）若a = 0, 0 < b … 1, c = 1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤ 4 ． 27 4.（2019 全国Ⅰ文 20）已知函数 f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为 f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求 a 的取值范围． 5.（2019 全国Ⅰ文 20）已知函数 f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为 f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求 a 的取值范围． 6.（2019 全国Ⅱ文 21）已知函数 f (x ) = (x -1) ln x - x -1.证明： （1） f (x ) 存在唯一的极值点； （2） f (x )=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. x 1 1 7.（2019 天津文 20）设函数 f (x ) = ln x - a (x -1)e x ，其中a ∈ R . （Ⅰ）若a ≤ 0 ，讨论 f (x ) 的单调性； （Ⅱ）若0 < a < ， e （i ）证明 f (x ) 恰有两个零点 （ii ）设 x 为 f (x ) 的极值点， x 1 为 f (x ) 的零点，且 x 1 > x 0 ，证明3x 0 - x 1 > 2 . 8.（2019 浙江 22）已知实数 a ≠ 0 ，设函数 f (x )=a ln x + （1）当a =- 3 时，求函数 f (x ) 的单调区间； 4 x +1, x > 0. （2）对任意 x ∈[ , +∞) 均有 f (x ) ≤ , e 2 2a 注：e=2.71828…为自然对数的底数. 求a 的取值范围. 2010-2018 年 一、选择题 1．（2017 新课标Ⅰ）已知函数 f (x ) = ln x + ln(2 - x ) ，则 A ． f (x ) 在(0, 2) 单调递增 B ． f (x ) 在(0, 2) 单调递减 C ． y = f (x ) 的图像关于直线 x = 1 对称 D ． y = f (x ) 的图像关于点(1, 0) 对称 2．（2017 浙江）函数 y = f (x ) 的导函数 y = f '(x ) 的图像如图所示，则函数 y = f (x ) 的图 像可能是 y O x y O y O m x x A ． B ． x x C ． D ． 3．（2016 年全国 I 卷）若函数 f (x ) = x - 1 sin 2x + a sin x 在(-∞, +∞) 单调递增，则a 的 3 取值范围是 A ．[-1,1] B ．[- 1 C ．[- 1 1 D ．[-1, - 1 ] 1, ] , ] 3 3 3 3 4．（2016 年四川）已知a 为函数 f ( x ) = x 3 - 12x 的极小值点，则a = A ． - 4 B ． - 2 C ．4 D ．2 5．（2014 新课标 2）若函数 f (x ) = kx - ln x 在区间（1，+ ∞ ）单调递增，则k 的取值范围 是 A ． (-∞, -2] B ． (-∞, -1] C ． [2, +∞) D ． [1, +∞) 6．（2014 新课标 2）设函数 f (x ) = 3 sin π x ．若存在 f (x ) 的极值点 x 0 满足 x 2 + ? f (x )?2 < m 2 ，则m 的取值范围是 0 ? 0 ? A ． (-∞, -6)? (6, +∞) C ． (-∞, -2)? (2, +∞) B ． (-∞, -4)? (4, +∞) D ． (-∞, -1)? (1, +∞) 7．（2014 辽宁）当 x ∈[-2,1] 时，不等式ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范 围是 y O y O y O y O y x O 2 1 2 1 A ．[-5, -3] B ．[-6, - 9 ] 8 C ．[-6, -2] D ．[-4, -3] 8．（2014 湖南）若0 < x 1 < x 2 < 1 ，则 A ． e x 2 - e x 1 > ln x - ln x B ． e x 2 - e x 1 < ln x - ln x 2 1 2 1 C ． x e x 1 > x e x 2 D ． x e x 1 < x e x 2 9．（2014 江西）在同一直角坐标系中，函数 y = ax 2 - x + a 与 y = a 2 x 3 - 2ax 2 + x + a 2 (a ∈ R ) 的图像不．可．能． 的是 y x x x O A B C D 10．（2013 新课标 2）已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ，下列结论中错误的是 A ． ? x 0 ∈ R , f (x 0 ) = 0 B ．函数 y = f (x ) 的图像是中心对称图形 C ．若 x 0 是 f (x ) 的极小值点，则 f (x ) 在区间(-∞, x 0 )单调递减 D ．若 x 0 是 f (x ) 的极值点，则 f '(x 0 ) = 0 11．（2013 四川）设函数 f (x ) =e x + x - a （ a ∈ R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0,1] 使 f ( f (b )) = b 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1, e ] B ．[1,1 + e ] C ．[e ,1 + e ] D ．[0,1] 12．（2013 福建）设函数 f (x ) 的定义域为 R ， x 0 (x 0 ≠ 0) 是 f (x ) 的极大值点，以下结论一 定正确的是 A ． ?x ∈ R , f (x ) ≤ f (x 0 ) B ． - x 0 是 f (-x ) 的极小值点 C ． - x 0 是- f (x ) 的极小值点 D ． - x 0 是- f (- x ) 的极小值点 13．（2012 辽宁）函数 y = 1 x 2 - ln x 的单调递减区间为 2 A．(－1,1] B．(0,1] C．[1,+ ∞) D．(0,+ ∞) 14．（2012 陕西）设函数f(x)=xe x，则 A．x = 1 为f (x) 的极大值点B．x = 1 为f (x) 的极小值点 C．x =-1 为f (x) 的极大值点D．x =-1 为f (x) 的极小值点 15．（2011 福建）若a > 0 ，b > 0 ，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x = 1 处有极值，则ab 的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 16．（2011 浙江）设函数f (x)=ax2 +bx +c (a,b, c∈R )，若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y =f (x)的图象是 A B C D 17．（2011 湖南）设直线x=t与函数f (x) =x2 ，g(x) = ln x的图像分别交于点M , N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A．1 B． 1 2 C． 5 2 D． 2 2 二、填空题 18．（2016 年天津）已知函数f (x) = (2x+1)e x, f '(x) 为f(x)的导函数，则f '(0) 的值为. 19．（2015 四川）已知函数f(x)=2x，g(x)=x2+ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数 x , x ，设m ＝f (x1 ) -f (x2 ) ，n ＝ g(x 1 ) -g(x 2 ) ．现有如下命题： 1 2 x -x x -x 1 2 1 2 ①对于任意不相等的实数x 1 , x 2 ，都有m > 0 ； ②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1 , x 2 ，都有n > 0 ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1 , x 2 ，使得m =n ； x ④对于任意的a ，存在不相等的实数 x 1 , x 2 ，使得m = -n ． 其中真命题有 (写出所有真命题的序号)． 20．（2011 广东）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 +1在 x = 处取得极小 值．三、解答题 21．（2018 全国卷Ⅰ）已知函数 f (x ) = ae x - ln x -1 ． (1)设 x = 2 是 f (x ) 的极值点．求a ，并求 f (x ) 的单调区间； (2)证明：当a ≥ 1 时， f (x ) ≥ 0 ． e 22．（2018 浙江）已知函数 f (x ) = - ln x ． (1)若 f (x ) 在 x = x 1 ， x 2 ( x 1 ≠ x 2 )处导数相等，证明： f (x 1 ) + f (x 2 ) > 8 - 8 ln 2 ； (2)若 a ≤ 3 - 4 ln 2 ，证明：对于任意 k > 0 ，直线 y = kx + a 与曲线 y = f (x ) 有唯一 公共点． 23．（2018 全国卷Ⅱ）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - a (x 2 + x +1) ． 3 (1)若 a = 3 ，求 f (x ) 的单调区间； (2)证明： f (x ) 只有一个零点． 24．（2018 北京）设函数 f (x ) = [ax 2 - (3a +1)x + 3a + 2]e x ． (1)若曲线 y = f (x ) 在点(2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求a ； (2)若 f (x ) 在 x = 1 处取得极小值，求a 的取值范围． ax 2 + x -1 25．（2018 全国卷Ⅲ）已知函数 f (x ) = ． e x (1)求曲线 y = f (x ) 在点(0, -1) 处的切线方程； (2)证明：当a ≥1 时， f (x ) + e ≥ 0 ． 26．（2018 江苏）记 f '(x ), g '(x ) 分别为函数 f (x ), g (x ) 的导函数．若存在 x 0 ∈ R ，满足 f (x 0 ) = g (x 0 ) 且 f '(x 0 ) = g '(x 0 ) ，则称 x 0 为函数 f (x ) 与 g (x ) 的一个“ S 点”． (1)证明：函数 f (x ) = x 与 g (x ) = x 2 + 2x - 2 不存在“ S 点”； + = > > 0 0 (2)若函数 f (x ) = ax 2 -1 与 g (x ) = ln x 存在“ S 点”，求实数 a 的值； (3)已知函数 f (x ) = -x 2 b e x a ， g (x ) ．对任意a 0 ，判断是否存在b 0 ，使函 x 数 f (x ) 与 g (x ) 在区间(0, +∞) 内存在“ S 点”，并说明理由． 27．（2018 天津）设函数 f (x )=(x - t 1 )(x - t 2 )(x - t 3 ) ，其中t 1, t 2 , t 3 ∈ R ，且t 1 , t 2 , t 3 是公差 为 d 的等差数列． (1)若t 2 = 0, d = 1, 求曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程； (2)若 d = 3 ，求 f (x ) 的极值； (3)若曲线 y = f (x ) 与直线 y = -(x - t 2 ) - 6 3 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围． 28．（2017 新课标Ⅰ）已知函数 f (x ) = e x (e x - a ) - a 2 x ． (1)讨论 f (x ) 的单调性； (2)若 f (x ) ≥ 0 ，求a 的取值范围． 29．（2017 新课标Ⅱ）设函数 f (x ) = (1- x 2 )e x ． (1)讨论 f (x ) 的单调性； (2)当 x ≥ 0 时， f (x ) ≤ ax +1，求a 的取值范围． 30．（2017 新课标Ⅲ）已知函数 f (x ) = ln x + ax 2 + (2a +1)x ． (1)讨论 f (x ) 的单调性； (2)当 a < 0 时，证明 f (x ) ≤ - 3 4a - 2 ． 31．（2017 天津）设a , b ∈ R ， | a |≤1 ．已知函数 f (x ) = x 3 - 6x 2 - 3a (a - 4)x + b ， g (x ) = e x f (x ) ． （Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）已知函数 y = g (x ) 和 y = e x 的图象在公共点(x , y ) 处有相同的切线， （i ）求证： f (x ) 在 x = x 0 处的导数等于 0； 0 0 （ii）若关于x 的不等式g (x) ≤e x在区间[x - 1, x + 1] 上恒成立，求b 的取值范围． 32．（2017 浙江）已知函数f(x)=(x- （Ⅰ）求f (x) 的导函数； e-x (x ≥ 1 ) ． 2 （Ⅱ）求f (x) 在区间[ 1 , +∞) 上的取值范围． 2 33．（2017 江苏）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值，且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2 > 3a ； 34．（2016 年全国I 卷）已知函数f(x)=(x-2)e2+a(x-1)2. (I)讨论f (x) 的单调性； (II)若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围. 35．（2016 年全国II 卷）已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (Ⅰ)当a = 4 时，求曲线y = f (x) 在(1, f (1))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ∈(1, +∞)时，f (x)＞0 ，求a 的取值范围. 36．（2016 年全国III 卷）设函数f (x) = ln x -x +1． （Ⅰ）讨论f (x) 的单调性； （Ⅱ）证明当x ∈ (1, +∞) 时，1 < x -1 ln x （III）设c > 1 ，证明当x ∈ (0,1) 时，1+ (c -1)x >c x ． 37．（2015 新课标2）已知函数f(x)=ln x+a(1-x)． （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当f (x) 有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求a 的取值范围．38．（2015 新课标1）设函数f (x)= e2 x -a ln x ． （Ⅰ）讨论 f (x ) 的导函数 f '(x ) 零点的个数； （Ⅱ）证明：当a > 0 时 f (x )≥ 2a + a ln 2 ． a 39．（2014 新课标 2）已知函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 + ax + 2 ，曲线 y = 切线与 x 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求a ； f (x ) 在点（0，2）处的 （Ⅱ）证明：当k < 1 时，曲线 y = f (x ) 与直线 y = kx - 2 只有一个交点． 40．(2014 ft 东）设函数 f (x )= e x 2 - k ( 2 x + ln x ) （ k 为常数， e = 2.71828L 是自然对数 的底数） （Ⅰ）当k ≤ 0 时，求函数 f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 f (x ) 在(0, 2) 内存在两个极值点，求k 的取值范围． 41．（2014 新课标 1）设函数 f (x ) = a ln x + 1- a x 2 - bx (a ≠ 1) ， 2 曲线 y = f (x )在点(1，f (1)) 处的切线斜率为 0 （Ⅰ）求b ； （Ⅱ）若存在 x ≥ 1, 使得 f (x ) < a ，求a 的取值范围． a -1 x -1 42．（2014 ft 东）设函数 f (x ) = a ln x + x +1 ，其中a 为常数． （Ⅰ）若a = 0 ，求曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 f (x ) 的单调性． 43．(2014 广东) 已知函数 f (x ) = 1 x 3 + x 2 + ax +1(a ∈ R ) 3 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）当a < 0 时，试讨论是否存在 x 0 ∈ (0, 1) U( 1 ,1) 2 2 ，使得 f (x 0 ) = f ( 1) ． 2 44．(2014 江苏)已知函数 f (x ) = e x + e -x ，其中 e 是自然对数的底数． （Ⅰ）证明： f (x ) 是 R 上的偶函数； （Ⅱ）若关于 x 的不等式mf (x ) ≤ e -x + m - 1 在(0,+∞) 上恒成立，求实数m 的取值范围； x （Ⅲ）已知正数a 满足：存在 x 0 ∈[1,+∞) ，使得 f (x 0 ) < a (-x 3 + 3x 0 ) 成立．试比较e a -1 与 a e -1 的大小，并证明你的结论． 45．（2013 新课标 1）已知函数 f (x ) = e x (ax + b ) - x 2 - 4x ，曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处切线方程为 y = 4x + 4 ． （Ⅰ）求a , b 的值； （Ⅱ）讨论 f (x ) 的单调性，并求 f (x ) 的极大值． 46．（2013 新课标 2）已知函数 f (x ) = x 2e - x ． （Ⅰ）求 f (x ) 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 y = f (x ) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在 x 轴上截距的取值范围． 47．（2013 福建）已知函数 f (x ) = x -1+ （ a ∈ R ， e 为自然对数的底数）． e x （Ⅰ）若曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数 f (x ) 的极值； （Ⅲ）当 a =1的值时，若直线l : y = kx -1与曲线 y = f (x ) 没有公共点，求 k 的最大 值． 48．(2013 天津)已知函数 f (x ) = x 2 ln x ． （Ⅰ）求函数 f (x ) 的单调区间； （Ⅱ） 证明：对任意的t > 0 ，存在唯一的 s ，使t = f (s ) ． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的 s 关于t 的函数为 s = g (t ) ， 证明：当t > e 2 时，有 2 < ln g (t ) < 1 ． 5 ln t 2 49．（2013 江苏）设函数 f (x ) = ln x - ax ， g (x ) = e x - ax ，其中a 为实数． （Ⅰ）若 f (x ) 在(1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在(1,+∞) 上有最小值，求a 的取 值范围； a （Ⅱ）若g (x )在(-1,+∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．50．（2012 新课标）设函数f(x)= e x －ax－2 （Ⅰ）求f (x) 的单调区间 （Ⅱ）若a = 1 ，k 为整数，且当x > 0 时，(x -k) f '(x) +x +1 > 0 ，求k 的最大值 51．（2012 安徽）设函数f (x) =ae x + 1 ae x +b(a > 0) （Ⅰ）求f (x) 在[0, +∞) 内的最小值； （Ⅱ）设曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 的切线方程为y =3 x ；求a, b 的值。2 52．（2012 ft东）已知函数f(x)=ln x+k（k为常数，e=2.71828Λ是自然对数的底数）， e x 曲线y = f (x)在点(1, f (1))处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求f (x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x) = (x2 +x) f '(x) ，其中f '(x) 是f (x) 的导 数．证明：对任意的x > 0 ，g(x)< 1+e-2． 53．（2011 新课标）已知函数f (x) =a ln x + b ，曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程x +1 x 为x + 2 y - 3 = 0 ． （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）证明：当x > 0 ，且x ≠ 1 时，f (x) > ln x ．x -1 54．（2011 浙江）设函数f(x)=a2ln x-x2+ax，a > 0 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使e -1≤ 注：e 为自然对数的底数． f (x) ≤e2对x ∈ [1, e]恒成立． 55．（2011 福建）已知a ，b为常数，且a ≠ 0 ，函数f(x)=-ax+b+ax ln x，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间； （Ⅲ）当a = 1 时，是否同时存在实数m 和 M ( m < M )，使得对每一个t ∈[m , M ] ，直 线 y = t 与曲线 y = f (x )（ x ∈[ 1 ，e ]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m e 和最大的实数 M ；若不存在，说明理由． 56．（2010 新课标）设函数 f (x ) = x ( e x -1) - ax 2 （Ⅰ）若a = 1 ，求 f (x ) 的单调区间； 2 （Ⅱ）若当 x ≥0 时 f (x ) ≥0，求a 的取值范围． 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ?曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 §3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求 出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b); (4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ） 导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b 第三讲导数的应用（解答） 一．内容提要 1、三个微分中值定理：罗尔定理(用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）;拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示)。 2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。 3、极值、最值:极值的定义,求法（先求驻点及不可导点,再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式,根的唯性）;最值的求法与应用题. 4、曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同给法）。 5、泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法)及应用（证不等式；求 极限等）。 6、函数作图与曲线的渐近线的求法。 水平渐近线：则是水平渐近线。 铅垂渐近线：，则是铅垂渐近线。 斜渐近线：,则是斜渐近线。 考试要求： *理解罗尔（Rolle)定理．拉格朗日（Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用． *会用洛必达法则求极限． *．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用． *．会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时,的图形是凹的；当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线． *．会描述简单函数的图形． 二．常考知识点 1、洛必达法则求极限． 2、利用导数确定函数的性质(单调性、极值、凹凸性、拐点等）,函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。 3、求曲线的渐近线(水平、铅垂、斜渐近线)。 4、利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。 1.导数应用之函数单调性 题组1： 1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间. 2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间. 3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间. 4.求函数1 ()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++的单调区间. 题组2： 1.讨论函数43 22411()(0)43 f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数3 2 ()3912f x x ax x =+--的单调区间. 3.求函数321()(2)4132 m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-的单调性. 题组3： 1.设函数3 2 ()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()33 --， 是减函数,求a 的取值围． 2.(1)已知函数2 ()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,数a 的取值围. (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,数a 的取值围. 3.已知函数3 2 ()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a="b=" -3时，f （x ）=(x+3x-3x-3)e ，故 = (3) 分 当x<-3或0 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 第1讲 导数的综合应用 [最新考纲] 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2．会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3．导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． 辨 析 感 悟 1．函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈???? ?? 15，＋∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．(√) 2．关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×) (5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单 位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润 的年产量为9万件．(√) [感悟·提升] 1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)． 2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)． 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解. 考点一导数与生活中的优化问题 【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝1 5r(300－4r 2)， 从而V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r 3)． 导数第2节 导数的应用（1）单调性 1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4 ()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性； 2.(优质专题广东文21）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间； 3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2 2 2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； 4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()() 21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； 5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4 3 x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性； 7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性. 8.（优质专题山东文20（1））设()()2 ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R . （1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； 9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性. 10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()() 2 e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性； 第4讲 导数的综合应用 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点? ???? 12，f ? ????12处的切线与y 轴垂直. (1)求b ； (2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. (1)解 f ′(x )＝3x 2＋b . 依题意得f ′? ?? ?? 12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明 由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝1 2. f ′(x )与f (x )的情况为： 因为f (1)＝f ? ???? －12＝c ＋14， 所以当c <－1 4时，f (x )只有大于1的零点. 因为f (－1)＝f ? ???? 12＝c －14， 所以当c >1 4时，f (x )只有小于－1的零点. 由题设可知－14≤c ≤1 4. 当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－1 2和1. 当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12. 当－14 第3讲导数的应用(二) A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·北京东城模拟)函数f(x)的定义域为开区间 (a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()． A．1个B．2个C．3个D．4个 答案 A 2．(2013·苏州一中月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()．A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞ 6. 答案 B 3．(2013·抚顺质检)函数y＝ln2x x的极小值为 ()． A.4 e2B．0 C.2 e D．1 解析函数的定义域为(0，＋∞)， y′＝2ln x－ln2x x2＝ －ln x(ln x－2) x2. 函数y′与y随x变化情况如下： 则当x ＝1时函数y ＝ln x x 取到极小值0. 答案 B 4．(2013·南京模拟)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是 ( )． A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (－2)与f (2) D ．f (2)与f (－2) 解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， ∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 答案 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________． 解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ， ??? 3×22 ＋6a ×2＋3b ＝0，3×12 ＋6a ＋3b ＝－3???? a ＝－1， b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 4 6．已知函数f (x )＝? ?? －x 2＋6x ＋e 2 －5e －2，x ≤e ， x －2ln x ，x >e (其中e 为自然对数的底数， 且e ≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝? ??? ? －2x ＋6，x ≤e ，1－2 x ，x >e ，当x ≤e 时，f ′(x )＝6－2x ＝2(3－x )>0， 第3讲导数的综合应用 1.(2018·全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=e x-ax 2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. (1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0, 即f(x)≥1. (2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ⅱ)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h(2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值. ①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点. ②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. ③若h(2)<0,即a>, 因为h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)上有一个零点; 由(1)知,当x>0时,e x>x2, 所以h(4a)=1-=1->1- =1->0, 故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=. 2.(2017·全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+ (1)当aHb 时，讨论函数f (X)的单调性; 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 导数第2节 导数的应用(1)单调性 1.(优质专题天津文 20( 1))已知函数f(x) =4X -X 4 ,X 迂R ,求f(x)的单调性; 4.(优质专题全国2文21(1))设函数f (x ) = (1 —x 2 )eX . (1)讨论f ( X )的单调性; 2.(2013 广东文 21)设函数 f(x) = x 3-kx 2+x (k 迂 R ). (1)当k =1，求函数f (x)的单调区间; 3 2 4 5.(优质专题重庆文19 (1))已知函数f ( x )= ax 3 +x 2 ( a W R )在x = -—处取得极值. 3 若g (X ) = f ( X )eX ，讨论g (X )的单 调性. 3.(优质专题四川文21 (1))已知函数f(x)=-2xlnx + x 2 -2ax+a 2 ，其中a>0. 6. ( 2013湖北文21) 设a^O ，b^O ，已知函数 ax+ b 设g (X )为f (X )的导函数，讨论g (X )的单调性; 心x+1 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 7.(优质专题江苏19( 1))已知函数f (x)= x' + ax2 +b(a,b壬R).试讨论f(x)的单调性. 9.(优质专题新课标2卷文21(1))已知函数f ( X)=lnx+a 1- X).讨论f ( X)的单调性. 8.(优质专题山东文20( 1))设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a迂R . 10.(优质专题全国1文21*( 1))已知函数f( x)= e x(e x-a)—a2x. (1)令g(x )= f '(X )，求g(x )的单调区间; (1)讨论f(X)的单调性; 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 第3讲导数的应用(二) 【高考会这样考】 1．利用导数求函数的极值． 2．利用导数求函数闭区间上的最值． 3．利用导数解决某些实际问题． 【复习指导】 本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用. 基础梳理 1．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点． (3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 双基自测 1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤? ????a ＋b 22＝? ????622 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案 D 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(导数及导数应用专题练习题
高三数学专题复习：导数及其应用
第三章 导数及其应用
导数的综合应用 公开课教案
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2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》
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导数的应用(单调性)专题
第4讲 导数的综合应用
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2019届高考数学专题二函数与导数第3讲导数的综合应用教案理
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