第20题 函数零点的个数问题
I ．题源探究·黄金母题
【例1】求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数． 【答案】1．
【解析】()f x 的定义域为()0,+∞．()(),,2ln24603ln3660f f =+-<=+->拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
()()()1
20,f x f x x
'=
+>∴在()0,+∞上是单调递增函数，()f x ∴只有一个零点．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修1第88页例1． 【母题评析】本题考查了零点存在性定理、
函数零点个数的判断．
【思路方法】判断函数是否存在零点可用零
点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性． II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷第14题】设()f x 是定义在R 且周
期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,
x x D f x x x D ?∈?=???? 其中集合
1,*n D x x n n -??
==∈????
N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数
是 ． 【答案】8
【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在
此范围内，x Q ∈且x ∈Z 时，设*
,,,2q x p q p p =∈≥N ，
且,p q 互质．若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设
*lg ,,,2n
x m n m m
=∈≥N ，且,m n 互质．
因此10n m
q p
=
，则10()n
m q p =，此时左边为整数，右边非整
数，矛盾，因此lg x Q ?．因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处
()11
lg 1ln10ln10
x x '=
=<，则在1x =附近仅有一个交点，
一次方程解的个数为8．
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记、理解与应用． 【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活
选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，或借助于导数研究函数的单调性，得到函数的零点个数．
【例3】【2016高考新课标I 改编】函数()22x
f x x e =-在
[]2,2-有 个零点．
【答案】D ．
【解析】函数()22x
f x x e
=-|
在[]
2,2-上是偶函数，其图
象关于y 轴对称，故先考虑其在[]0,2上有几个零点．
()()()200,10,(2)80,<<=->∴f f f e f x 在
[]0,2上有零点．设()()4x g x f x x e '==-．
()()()()00,10,20,g g g g x <>>∴在[]0,2上有零
点．又由()0g x '=，可得40x
e -=，设其解为1x ，易知
()11,2x ∈且()()10,g x g x >∴在[]0,2上有唯一零点，设为0x 且()00,1x ∈．从而当00x x <<时，()0g x <，即
()0f x '<；当02x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，故0(0,)x x ∈时，()f x 为单调递减函数；当0(,2)x x ∈时，
()f x 为单调递增函数．
又()()()000,10,()0,f f f x f x <<∴<∴在[]0,2上有唯一零点．由函数图象的对称性可知()f x 在[]0,2上有两个零点． 【例4】【2015年高考江苏卷】已知函数()ln f x x =，
()20,0142,1x g x x x <≤??=?-->??
，则方程()()1f x g x +=实根
的个数为__________． 【答案】4．
【解析】方程等价于()()1f x g x +=±，即
()()1f x g x =-+或()()1f x g x =--共多少个根，
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应
()221,01
11,127,2x y g x x x x x <≤??
=-=-<
，数形结合可得：()f x 与()1y g x =-有两个交点；
()221,0113,125,2x y g x x x x x -<≤??
=--=-<
，同理可得()f x 与
()1y g x =--有两个交点，所以共计4个．
的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零
点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢．
III ．理论基础·解题原理
1．零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数
()()y f x x D =∈的零点．
2．函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =． （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提； （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）
① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个； ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点； ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号．
3．若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x
设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-，则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到． 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 5．函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理；
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内；
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关．
（2）方程的根： 工具：方程的等价变形；
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数；
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数． （3）两函数的交点： 工具：数形结合；
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围； 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小．若涉及的函数为分段函数，则难度加大． 【技能方法】
1．零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ??
>< ???即可判定其零点必在1,12?? ???
中． 2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上． （2）利用零点存在性定理进行判断；
（3）画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．断函数零点个数的常见方法
（1）直接法：解方程()0f x =，方程有几个解，函数()f x 就有几个零点；
（2）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴的交点个数即为函数()f x 的零点个数； （3）将函数()f x 拆成两个常见函数()g x 和()h x 的差，从而
()()()()()00f x g x h x g x h x =?-=?=，则函数()f x 的零点个数即为函数()y g x =与函数()y h x =的图象的交点个数；
（4）二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠的零点问题主要从三个方面考虑：
①判别式?确定零点是否存在；②对称轴的位置控制零点的位置；③端点值的符号确定零点的个数． 【易错指导】
对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数()f x 在[],a b 上连续；（2）满足()()0f a f b ?<． 上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．
另外需要注意的是：（1）若函数()f x 的图象在0x x =与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； （2）函数的零点不是点，它是函()y f x =数与x 轴的交点的横坐标，是方程()0f x =的根． V ．举一反三·触类旁通
【例1】【2018云南昆明一中高三一模】若函数()f x x =，则函数()12
log y f x x =-的零点个数是（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个 【答案】D
【解析】如图：函数()f x 与函数()12
log g x x =有2个交点，所以选D ．
【例2】【2018河南漯河高中高三上学期二模】已知函数是上的偶函数，且
，当
时，
，则函数
的零点个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】B
【例3】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数()()
()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=?
?-> ???
，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】
D
()1
14sin22sin22
222f x f x x x ππ???
?=
-=?-=- ? ?????；当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得：()1
12sin2sin22
222f x f x x x ππ?????
?=
-=?--= ? ??????
???；当54x π=时， 55sin 2144f ππ????
=?
= ? ????
?
，而4
45log log 414π<=，则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ??
???
上有2个交点，很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不
同的值，就有几个不同的零点．
【例4】【2018贵州黔东南州第一次联考】已知函数()29
,0
{ 4
2,0
x x x f x x x +-≤=->，若方程()f x a =有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5
9,2,24??--?-+∞???? B ．()2,-+∞ C ．()59,2,24??-
-?-+∞ ??? D ．()59,2,24??
--?-+∞????
【答案】C
【解析】作出函数()29
,0
{ 4
2,0
x x x f x x x +-≤=->的图象如下：
【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例5】【2018黑龙江海林模拟】设()32
f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知0k <或4k >时，
()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根，给出下列命题：
①()40f x -=和()'0f x =有一个相同的实根； ②()0f x =和()'0f x =有一个相同的实根；
③()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根． 其中正确命题的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A
()32f x x bx cx d =+++，
当04k k 或时， ()0f x k -=只有一个实数根；
当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故()40f x -= 与()0f x '=有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确．
()0f x =与()0f x '= 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确； ()30f x +=有一实根且函数最小的零点，
()10f x -=有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误； ()50f x +=有一实根且小于函数最小零点，
()20f x -=有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；
所以A 选项正确．
【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时， ()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐一验证．
【例6】【2018安徽阜阳临泉一中高三上学期二模】已知
，若关于的方程
恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有
三解．∵关于的方程
，恰好有4个不相等实数根，∴关于的方程
在
和上各有一解，∴
，解得
，故答案为
．
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例7】【2018江苏南通如皋高三第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
【答案】714?? ???
，
【解析】()()g x f x m =-有三个零点，根据题意可得1x >时，函数有一个零点； 1x ≤时，函数有两个零点．当1x >时， ()1ln f x x x =+
， ()221110x f x x x x
'-=-=>恒成立()()1,f x ∈+∞，故1m >；当1x ≤时， ()2
5
228
m f x x mx =-+
+，要使得()()g x f x m =-有两个零点，需满足
714m <≤，综上可得714?? ???，，故答案为714??
???，． 【例8】【2017江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学届高三六校联考】已知函数()ln 1||f x x =-， ()f x m -的四个零点1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且1234
1111
k x x x x =
+++，则()k f k e -的值是__________．
【答案】2
e -
【例9】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将
的图象向右平移两个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式； （2）若方程
在
上有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）借助平移的知识可以直接求出函数解析式 （2）先换元
将问题转化为
有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解．
（1）（2）设
，则
，原方程可化为，于是只须在
上有且仅有一个实根．
法1：设，对称轴，则
①．或
②
由①得，即
，．由②得无解，则．
法2：由
，
，得
，
，设
，则
，
．
记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须．即
．从而
．
【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论．
【例10】【江苏扬州模拟】设()2f x x x a x =-+ (a ∈R) （1） 若2a =，求()f x 在区间[]
0,3上的最大值； （2） 若2a >，写出()f x 的单调区间；
（3） 若存在[]
2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围． 【答案】（1） ()()max 39f x f == （2） ()f x 的单调增区间为2,
2a +?
?
-∞ ???
和(),a +∞，单调减区间2,2a a +??
???
（3） 918t <<
试题解析：
（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=22
4,2{
,
2
x x x x x -+<≥，
∴ ()f x 在R 上为增函数，∴ ()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f == ．
（2）()()()22
2,{
2,x a x x a f x x a x x a
-++<=+-≥，
2a >，022a a a ∴<-<<+，
当x a ≥时， 2
2
a a ->， ∴ ()f x 在(),a +∞为增函数 ， 当x a <时，
22022a a a +--=<，即22a a +<，∴()f x 在2,2a +??-∞ ??
?为增函数，在2,2a a +??
???为减函数，则()f x 的单调增区间为2,
2a +?
?-∞ ?
??和(),a +∞，单调减区间2,2a a +??
???
． （3）由（2）可知，当22a -≤≤时， ()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根，