4．
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9. 若A ={x ∈N |log 2x <3 }，则下列选项中正确的是( )
A. 8∈A
B. 8?A
C. 3∈A
D. 3
2?A
【答案】BCD
【分析】【解析】∵A ={x ∈N|log 2x <3}={1,2，3，4，5，6，7}，
10. 下列所给的函数中，不是幂函数的是( )
A. y =?x 3
B. y =x ?3
C. y =2x 3
D. y =x 3?1
【答案】ACD 【分析】
本题考查幂函数的定义，属于基础题． 利用幂函数的定义判断即可． 【解答】
解：由幂函数的定义可知，ACD 不是幂函数，B 是幂函数，
11. 下列函数的图象过点M(16,4)，则此函数的解析式为( )
A. y =2x
B. y =log 14
x C. y =x ?12
D. y =log 2x
【答案】CD
【解答】
设对数函数的图象过点M(16,4)， ∴4=log a 16，得a =2， ∴对数函数的解析式为y =log 2x ，
12. 有如下命题，其中真命题的标号为( )
A. 若幂函数y =f(x)的图象过点(2,1
2)，则f(3)>1
2
B. 函数f(x)=a x?1+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)
C. 函数f(x)=x 2
?1?log 12
x 有两个零点 D. 若函数f(x)=x 2?2x +4在区间[0,m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m
的取值范围是[1,2]
【答案】BD 【分析】
本题考查了函数的最值、指数函数及其性质、幂函数和函数的零点与方程根的关系，为中档题．
设幂函数f(x)=x α，代入得出f(x)，可判定A ；令x ?1=0，即x =1时，恒有f(1)=2，可判定B ；函数y =x 2?1与y =log 1
2x 在同一直角坐标系下的图像可判定C ；由二次函数性质的最值，可判定D ． 【解答】
解：A.设幂函数f(x)=x α，代入(2,12)，得到2α=1
2， ∴α=?1，∴f(x)=1
x ， 则f(3)=13<1
2，故A 不成立； B . 由于y =a x 恒过定点(0,1)， 因此令x ?1=0，即x =1时， 恒有f(1)=2，即图象恒过定点(1,2)， 故B 正确；
C .转化f(x)=x 2
?1?log 12
x =0为
，
函数y =x 2?1与y =log 12
x 在同一直角坐标系下的图像如图：
两个函数只有一个交点， 故函数f(x)只有一个零点， 即C 选项不正确．
D .函数f(x)=x 2?2x +4中， 得f(0)=f(2)=4,f(1)=3， 如图所示：
可得若函数在区间[0,m]上的最大值为4，最小值为3， 则实数m 的取值范围是[1,2]， 故D 选项正确．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,14)，则f(1
5)=____．
【答案】25 【分析】
本题主要考查幂函数的性质，利用待定系数法求出f(x)解析式是关键，属于基础题． 利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后代入求值即可． 【解答】
解：设f(x)=x α， ∵f(x)过点(2,1
4)， ∴f(2)=2α=1
4=2?2， ∴α=?2，即f(x)=x ?2=1
x 2， ∴f(1
5)=
1
(15
)2=25.
14. 若a =log π0.8,b =(12
)?1
2,c =2?1
2，则有_________.(用“<”连接) 【答案】a 本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较，本题属基础题．
本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果． 【解答】
解：
b=(1
)?12=212>1，
2
0∴a15.已知集合，则A∩B=__________．
【答案】(2,e)
【分析】
本题主要考查了集合的交集，对数不等式的解法，属于基础题．
【解答】
解：当x2=2x时，x=2，集合A={x|x2>2x}={x|x>2}，
，
则A∩B=(2,e)．
16.如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n值为_________．
【答案】?1
【分析】
本题考查了程序框图，循环结构，考查了逻辑思维能力，属于基础题．
根据程序表达的意思进行逐步循环，直至f(x)=x n在(0,+∞)上为减函数，终止程序，输出n值即可．
【解答】
解：由题意，根据程序框图进行如下循环：
初始值：n=5，
第一次循环：n=n?2=3，f(x)=x3，在(0,+∞)上为增函数；
第二次循环：n=n?2=1，f(x)=x，在(0,+∞)上为增函数；
第三次循环：n=n?2=?1，f(x)=x?1，在(0,+∞)上为减函数，程序终止，输出n=?1．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知幂函数f(x)=x?m2+2m+3，(m∈Z)为偶函数，且在区间(0,+∞)内是单调递增
函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=√f(x)+2x?λ，若g(x)<0对任意x∈[?1,1]恒成立，求实数λ的
取值范围．
【分析】本题主要考查了幂函数的性质可应用，解题的关键是由函数f(x)=x?m2+2m+3，(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数，可得?m2+2m+3>0且?m2+ 2m+3为偶数，而函数的恒成立问题往往转化为求解函数的最值，注意构造函数的应用．(1)由幂函数f(x)=x?m2+2m+3(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数，可得?m2+2m+3>0且?m2+2m+3为偶数，解不等式可得，结合m∈Z可求m的取值；
(2)利用二次函数的性质，即可得．
【解答】解：(1)∵幂函数f(x)=x?m2+2m+3，(m∈Z)在区间(0,+∞)内是单调递增函数．∴?m2+2m+3>0，解得?1∵m∈Z，∴m=0,1,2．
当m=0时，?m2+2m+3=3；
当m=1时，?m2+2m+3=4；
当m=2时，?m2+2m+3=3；
∵幂函数f(x)=x?m2+2m+3，(m∈Z)为偶函数，
∴?m2+2m+3为偶数．
∴m=1，
∴f(x)=x4．
(2)g(x)=√f(x)+2x?λ=x2+2x?λ，
g(x)<0对任意x∈[?1,1]恒成立，
即x2+2x?λ<0，x∈[?1,1]恒成立，
∴λ>x2+2x，x∈[?1,1]恒成立．
∵x2+2x=(x+1)2?1，
∴当x=1时，(x2+2x)max=3，
∴λ>3．
所以实数λ的取值范围为(3,+∞)．
18.已知集合A={x|3x>1}，集合
(Ⅰ)求(C R A)∪B；
(Ⅱ)若集合C={x|2x+a>0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
【分析】本题考查集合的运算及关系，同时考查指数函数和对数函数的性质．
(1)化简集合A、B，根据定义写出C R A和(C R A)∪B；
(2)根据B∪C=C得出B?C，由此求出a的取值范围．
【解答】解：(1)集合A={x|3x>1}={x|x>0}，
，
C R A={x|x≤0}，
∴(C R A)∪B={x|x<2}；
}，
(2)∵B={x|?1?a
2
∵B∪C=C，∴B?C，
≤?1?a≥2
则?a
2
即a的取值范围是a≥2．
19. 己知函数f(x)=|2?x ?2|
(1)在如图给定的直角坐标系中作出函数y =f(x)的图象(不用列表，不用叙述作图过程，但要标明必要的点或线)；
(2)由图像求函数f(x)的单调区间，并写出当x ∈[?1,+∞)时f(x)的值域． 【分析】(1)先画y =2?x 即y =(12)x
的图像，再向下平移2个单位长度，最后保留x 轴
上方部分，并把下方图像对称地翻折到上方即可． (2)由图象便可得出结论． 【解答】解： (1)如下图：
(2)由图得：f(x)的单调减区间为(?∞,?1)，单调增区间为(?1,+∞)， 当x ∈[?1,+∞)时，f(x)的值域为x ∈[0,2)．
20. 已知函数f(x)=lg(ax ?3)的图象经过定点(2,0)．(1)设f(3)=m ，f(5)=n ，求
log 2163(用m ，n 表示)；
(2)是否存在正整数k ，使得不等式2f(x)>lg(kx 2)在区间[3，4]上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，说明理由．
【分析】本题主要考查对数函数的性质、图象的运用以及函数最值，难度一般； (1)由f(x)=lg(ax ?3)的图象经过定点(2,0)可得到a =2，然后将a 的值代入对应的解析式进行转换求解即可；
(2)由2f(x)>lg(kx 2)可以得到(4?k)x 2?12x +9>0，然后对4?k 与0的关系进行分类讨论进行求解即可．
【解答】解：(1)由f(x)=lg(ax ?3)的图象经过定点(2,0)， 则2a ?3=1，a =2，
∴a 的值2，f(x)=lg(2x ?3)，则f(3)=lg3=m ，f(5)=lg7=n ，log 2163=lg63
lg21=lg(9×7)
lg(3×7)=lg9+lg7
lg3+lg7=lg32+lg7lg3+lg7
=
2lg3+lg7lg3+lg7
=
2m+n m+n
；
∴log 2163=
2m+n m+n
；
(2)由2f(x)>lg(kx 2)，则2lg(2x ?3)>lg(kx 2)， 则lg(4x 2?12x +9)>lg(kx 2)，
即(4?k)x 2?12x +9>0，使得不等式2f(x)>lg(kx 2)在区间[3,4]上有解， 等价于(4?k)x 2?12x +9>0在区间[3,4]上有解， 当4?k =0，即k =4，则x <3
4，不满足， 当4?k >0，即k <4时，对称轴
时，
，
要使f(x)=(4?k)x 2?12x +9>0在区间[3,4]上有解，则f(4)>0， 解得：k <25
16，由k 为正整数，则k =1，
当k =3时，f(x)=x 2?12x +9>0，解得：x >12+6√3或x <12?6√3，不满足， 当4?k <0，即k >4，对称轴x =6
4?k <0，要使f(x)=(4?k)x 2?12x +9>0在区间[3,4]上有解，
则f(3)>0，解得：k <1，不满足，
综上可知：存在正整数k ，使得不等式2f(x)>lg(kx 2)在区间[3,4]上有解，且k 最大值为1．
21. 已知集合A ={y |y =(12)2x
,x ≥?1且x ∈R}和集合B ={x |y =1?2x }
(1)求A ∪B ；
(2)若全集U =R ，集合C ={x |log 2(2x ?a )<1}，且C ∩(C U B )=?，求a 的取值范围．
【分析】(1)化简两个集合，求出并集即可； (2)解不等式
得：a 2
，由题意得出关于a 的不等式，求解即可．
【解答】解：(1) y =(12
)2x
，x ≥?1，得00，得x <1
2，即B =(?∞,1
2)， 所以A ∪B =(?∞,4] (2)解不等式
得：a 22+a 2
，即C =(a 2,
2+a
2
)，
又C U B =[12,+∞)，又C ∩(C U B )=?， 所以
a+22
≤1
2，解得：a ≤?1．
22. 已知函数f(x)=log a (1+x),g(x)=log a (1?x)，其中(a >0且a ≠1)，设?(x)=
f(x)?g(x)．(1)求?(x)的定义域； (2)判断?(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若a =log 327+log 1
2
2，求使?(x)>1成立的x 的集合． 【分析】本题本题考察了对数函数的概念性质，解不等式，考察了学生的化简运算能力，属于容易题．
(1)根据对数的定义得出不等式组{1+x >01?x >0
，求解即可得出定义域．
(2)先判断定义域关于原点对称，利用定义?(?x)=log a (1?x)?log a (1+x)=??(x)，判断即可．
(3)了；利用对数的运算得出即log 2(1+x)?log 2(1?x)>1，再根据对数函数的单调性得出1+x
1?x >2，即可求解不等式．
【解答】解：(1)由题意得{1+x >01?x >0，即?1∴?(x)=f(x)?g(x)的定义域为(?1,1)； (2)∵对任意的x ∈(?1,1)，?x ∈(?1,1) ?(?x)=log a (1?x)?log a (1+x)=??(x)， ∴?(x)=log a (1+x)?log a (1?x)是奇函数； (3)由a =log 327+log?12
2，得a =2． 由?(x)>1，可得log 2(1+x)?log 2(1?x)>1， ∴1+x
1?x >2，即1+x
1?x ?2=
3x?11?x
>0，即(x ?1)(3x ?1)<0，
解得1
3
,1)．故使f(x)>1成立的x的集合为(1
3
