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初中数学考点图形的相似

初中数学考点图形的相似
初中数学考点图形的相似

图形的相似

考点一、比例线段

1、比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是,n

m b a =或写成a :b=m :n 在两条线段的比a :b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。

在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段

若四条a ,b ,c ,d 满足d

c b a =或a :b=c :

d ,那么a ,b ,c ,d 叫做组成比例的项,线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a ,b ,c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即

c b b a =或a :b=b :c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。

2、比例的性质

(1)基本性质

①a :b=c :d ?ad=bc

②a :b=b :c ac b =?2

(2)更比性质(交换比例的内项或外项)

d

b c a =(交换内项) ?=d

c b a a c b

d =(交换外项) a b c d =(同时交换内项和外项) (3)反比性质(交换比的前项、后项):

c

d a b d c b a =?= (4)合比性质:

d

d c b b a d c b a ±=±?= (5)等比性质:

b

a n f d

b m e

c a n f

d b n m f

e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 3、黄金分割

把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=

2

15-AB ≈0.618AB

考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

推论:

(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

考点三、相似三角形

1、相似三角形的概念

对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下:

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系:

(1)反身性:对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC;

(2)对称性:若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC

(3)传递性:若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

(1)三角形相似的判定方法

①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似

②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。

④判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

⑤判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似(2)直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

③垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

(3)相似三角形周长的比等于相似比

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)(2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等,对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。

性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

图形的相似经典测试题及解析

图形的相似经典测试题及解析 一、选择题 1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是() A.(―1,2) B.(―9,18) C.(―9,18)或(9,―18) D.(―1,2)或(1,―2) 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析:方法一:∵△ABO和△A′B′O关于原点位似,∴△ ABO∽△A′B′O且OA' OA = 1 3 . ∴A E AD = 0E 0D = 1 3 .∴A′E= 1 3 AD=2,OE= 1 3 OD=1.∴A′(-1,2).同理可得A′′(1,―2). 方法二:∵点A(―3,6)且相似比为1 3 ,∴点A的对应点A′的坐标是(―3× 1 3 , 6×1 3 ),∴A′(-1,2). ∵点A′′和点A′(-1,2)关于原点O对称,∴A′′(1,―2).故答案选D.

考点:位似变换. 2.如图,四边形ABCD 内接于O e ,AB 为直径,AD CD =,过点D 作DE AB ⊥于点 E ,连接AC 交DE 于点 F .若3sin 5 CAB ∠=,5DF =,则AB 的长为( ) A .10 B .12 C .16 D .20 【答案】D 【解析】 【分析】 连接BD ,如图,先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==,再根据正弦的定义计算出3EF =,则4AE =,8DE =,接着证明ADE DBE ??∽,利用相似比得到16BE =,所以20AB =. 【详解】 解:连接BD ,如图, AB Q 为直径, 90ADB ACB ∴∠=∠=?, AD CD =Q , DAC DCA ∴∠=∠,

最新初中数学图形的相似全集汇编附答案(3)

最新初中数学图形的相似全集汇编附答案(3) 一、选择题 1.如图,在正方形ABCD 中,3AB =,点M 在CD 的边上,且1DM =,AEM ?与 ADM ?关于AM 所在直线对称,将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?,连接EF ,则cos EFC ∠的值是 ( ) A 17 1365B 6 1365 C 7 1525 D . 617 【答案】A 【解析】 【分析】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,首先证明 AEH EMG V :V ,则有 1 3 EH AE MG EM == ,设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+, 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值,进而可求 ,,,EH BN CG EN 的长度,进而可求FN ,再利用勾股定理求出EF 的长度,最后利用 cos FN EFC EF ∠= 即可求解. 【详解】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,则 90AHG MGE ∠=∠=?,

∵四边形ABCD 是正方形, ∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? , ∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形. 由折叠可得,90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====, 90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? , AEH EMG ∴∠=∠, AEH EMG ∴V :V , 1 3 EH AE MG EM ∴ == . 设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+ 在Rt AEH V 中, 222AH EH AE +=Q , 222(1)(3)3x x ∴++= , 解得4 5 x = 或1x =-(舍去), 125EH BN ∴== ,65 CG CD DG EN =-== . 1BF DM ==Q 17 5 FN BF BN ∴=+= . 在Rt EFN △ 中, 由勾股定理得,2213EF EN FN =+=, 17 cos 1365 FN EFC EF ∴∠= =. 故选:A . 【点睛】

备战2013中考数学压题专题7图形的相似

图形的相似 命题分析: 图形的相似、位似始终是中考的必考内容,尤其是相似三角形. 该部分知识在选择、填空与解答题中都有出现.从内容与方法上来说,主要考查相似三角形性质和判定、位似图形、黄金分割等知识,很多综合大题也融入了相似三角形的内容. 主要考查学生的识图能力、分析综合能力等. 锐角三角函数的定义特别是对特殊角的三角函数值的考查以及解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点,试题形式有选择、填空、计算和解答题,其中应用题有测建筑物的高度,与航海有关问题,筑路修堤问题等等与现实联系密切的问题,试题背景不断创新.在解决时要把具体问题转化为数学模型,对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决. 押题成果: 押题1:如图,小正方形的边长均为1 ,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是() 解析:正方形的边长均为1,可用勾股定理计算阴影三角形的边长,用“三边对应成比例的三角形是相似三角形”来判定. 答案:A 方法技巧:熟记相似三角形的判定方法和性质定理,能识别相似三角形的图形变换. 押题2:如图,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是() A.2DE =3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F 解析:原图形与位似变换得到图形相似,由题意可得相似比为2∶3,对应角相等所以正确的选项为B. 答案:B 方法技巧:利用位似图形的性质解题. 押题3:如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上(点D不与A、C重合),若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______. 解析:本题考查三角形相似的判定方法的运用.由于所识别的两三角形隐 含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ ADB=∠ABC,或 A D A B A B A C =即可.. 答案:∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC, A D A B A B A C =. 方法技巧:部分学生不熟悉三角形相似的判定方法,易错用“边边角”进行判定,也有学生不注意两个三角形顶点的对应.突破方法:本题答案只要求填写一个,为确保正确,可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角. 押题4:如图,在平行四边形ABCD中,BC AE⊥于E,CD AF⊥于F,BD与AE、AF分别相交于G、H.(1)求证:△ABE∽△ADF; (2)若AH AG=,求证:四边形ABCD是菱形. 解析:本题结合平行四边形知识考查相似三角形的判定和性质,(1)小题 B.C.D. A B C A D C B G E H F 押题4图 E D C N M H G F B A D C B A 押题3图

图形的相似经典测试题及答案解析

图形的相似经典测试题及答案解析 一、选择题 1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,则下列结论不正确的是()A.AC2=AD?AB B.CD2=AD?BD C.BC2=BD?AB D.CD?AD=AC?BC 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据射影定理来分析、判断,结合三角形的面积公式问题即可解决. 【详解】 解:如图, ∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高, ∴由射影定理得:AC2=AD?AB,BC2=BD?AB, CD2=AD?BD; ∴CD BC AD AC ; ∴CD?AC=AD?BC, ∴A,B,C正确,D不正确. 故选:D. 【点睛】 该题主要考查了射影定理及其应用问题;解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答. 2.如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①EO⊥AC;②S△AOD=4S△OCF;③AC:BD =21:7;④FB2=OF?DF.其中正确的是() A.①②④B.①③④C.②③④D.①③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①正确.只要证明EC=EA=BC,推出∠ACB=90°,再利用三角形中位线定理即可判断. ②错误.想办法证明BF=2OF,推出S△BOC=3S△OCF即可判断.

③正确.设BC=BE=EC=a ,求出AC ,BD 即可判断. ④正确.求出BF ,OF ,DF (用a 表示),通过计算证明即可. 【详解】 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ∥AB ,OD=OB ,OA=OC , ∴∠DCB+∠ABC=180°, ∵∠ABC=60°, ∴∠DCB=120°, ∵EC 平分∠DCB , ∴∠ECB= 1 2 ∠DCB=60°, ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°, ∴△ECB 是等边三角形, ∴EB=BC , ∵AB=2BC , ∴EA=EB=EC , ∴∠ACB=90°, ∵OA=OC ,EA=EB , ∴OE ∥BC , ∴∠AOE=∠ACB=90°, ∴EO ⊥AC ,故①正确, ∵OE ∥BC , ∴△OEF ∽△BCF , ∴ 1 2 OE OF BC FB == , ∴OF= 1 3 OB , ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ,故②错误, 设BC=BE=EC=a ,则AB=2a ,3,223(7 2)a a +, ∴7a , ∴AC :3a 7217,故③正确, ∵OF= 13OB=7 6 a ,

初中八年级数学 4、图形的相似

第1页 共3页 数学测试(4) 一.选择题 1、两地实际距离是500m,画在图上的距离是25cm ,若在此图上量的A 、B 两地相距为4cm ,则A 、B 两地的实际距离是 A 、800m B 、8000m C 、32250m D 、3225m 2、如图,矩形ABCD 中,DE ⊥AC ,E 为垂足,图中 相似三角形共有(全等除外) A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 3、如图,D 为△ABC 的边BC 上的一点,连结AD ,要 使△ABD ∽△CBA ,应具备下列条件中的( ) A 、 BC AB CD AC = B 、BD AB =2 ·BC C 、AD BD CD AB = D 、CD AC =2·BC A 、所有的等腰三角形都相似B 、有一对锐角相等的两个角三角形相似 C 、全等的三角形一定相似; D 、所有的等边三角形都相似 5、Rt ?ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F 。图中共有8个三角形,如果把一定相似的三角形归为一 类,那么图中的三角形可分为( )类。 A .2 B .3 C .4 D .5 6.已知 0432≠==c b a ,则 c b a +的值为( ) A.54 B.45 C.2 D.2 1 7.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2 B. 22 C.26 D.3 3 8.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m 5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.a b 2 C.c ab D.c a 2 9.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 10、在△ABC 与△中,有下列条件:①;⑵ ③∠A =∠;④∠C =∠。如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断 △ABC ∽△的共有( )组。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题 11、如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AC 、BD 相交于点O ,若S △OAB :S △OBC = 1:4,则S △OAD :S △OCB = 。 12、在口ABCD 中,E 为CD 上一点,DE :CE=2:3,连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于F , 则S △DEF :S △EBF :S △ABF = 。 13、如图,DE//BC ,CD 和BE 相交于点O ,S △DOE :S △COB =16:25,则AD :DB= 。 14、把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置,它们重叠部分的面积是 正方形ABCD 的面积的一半,若AC=2,则平移的距离是 。 15、如图,D 为△AB C的边AC上的一点,∠DBC=∠A,BC=2,△BCD与△ABC 的面积比是2:3 ,则CD= 。 16、如图,已知△ABC中,DE//FG//BC,(1)若 AD:FD:FB=1:2:3,则S1:S2:S3= ;(2)若S1:S2:S3=1:2:3,则AD:FD:FB= 。 C B A '''C B BC B A AB ''=''C A AC C B BC ''= ''A 'C 'C B A '''第5题 A B C D E F D A B C E 第2题图 A B D C 第 3题 第8题图 第9题图 O D C B A F E D C B A E O D C B A D 1C 1 B 1 A 1D C B A 第12题图 第13题图 第14题图

2019年全国各地中考数学真题汇编:图形的相似(含答案)

数学精品复习资料 中考数学真题汇编:图形的相似 一、选择题 1.已知,下列变形错误的是() A. B. C. D. 【答案】B 2.已知与相似,且相似比为,则与的面积比() A. B. C. D. 【答案】D 3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为,和,另一个三角形 的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为() A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】C 4.在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位似中 心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为() A. (5,1) B. (4,3) C. (3,4) D. (1,5) 【答案】C 5.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若 AE= ,AD= ,则两个三角形重叠部分的面积为() A. B. C. D. 【答案】D

6.在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍, 则点的对应点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 7.如图,点在线段上,在的同侧作等腰和等腰,与、分 别交于点、.对于下列结论:①;②;③ .其中正确的是() ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=AED=90° ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP?CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP?CM 所以③正确 A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ 【答案】A 8.如图,将沿边上的中线平移到的位置,已知的面积为9,阴影部分三 角形的面积为4.若,则等于() A. 2 B. 3 C. D.

相似三角形基本图形及练习题-绝对经典

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A D B D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容,应用广泛,可以证明线段的比例式;也可证明线段相等、平行、垂直等;还可计算线段的长、比值,图形面积及比值。 而识别(或构造)A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1.A 字型及变形 △ABC 中 , AD=2,BD=3,AE=1 (1)如图1,若DE ∥BC , 求CE 的长 (2)如图2,若∠ADE=∠ACB , 求CE 的长 2. X 字型及变形 (1)如图1,AB ∥CD ,求证:AO :DO=BO :CO (2)如图2,若∠A=∠C ,求证:AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 (1)如右图,在△ABC 中, AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ,当∠ACD =∠B 时,说明△CAD 与△ABC 相似。 说明:由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,故被称为“母子三角形” (2)如图, Rt △ABC 中 ,CD ⊥AB, 求证:AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图,若∠ADE=∠B ,∠BAD=∠CAE ,说明△ADE 与△ABC 相似 练习题 GED :S △ 1、如图1,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点G ,则BC DE = ;S △ GBC = ; 2、如图2,在△ABC 中, ∠B=∠AED ,AB=5,AD=3,CE=6,则AE= ; 3、如图3,△ABC 中,M 是AB 的中点,N 在BC 上,BC=2AB ,∠BMN=∠C ,则△ ∽△ , 相似比为 ,NC BN = ; 4、如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ADE :S △BCE =4:9,则S △ABD :S △ABC = ; 5、如图5,在△ABC 中,BC=12cm ,点D 、F 是AB 的三等分点,点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+BC= ; 二、选择题 6、如图,在△ABC 中,高BD 、CE 交于点O ,下列结论错误的是( ) A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, AD BD =CE AE =3, 且∠AED=∠B ,则△AED 与△ABC 的面积比是( ) A 、1:2 B 、1:3 C 、1:4 D 、4:9 8、已知,如图, 在△ABC 中,DE ∥BC ,AD=5,BD=3,求S △ADE :S △ABC 的值。 9、如图,已知在△ABC 中,CD=CE ,∠A=∠ECB ,试说明CD 2 =AD ·BE 。 一、运用新知,解决问题 1、已知两个三角形相似,请完成下列表格 2、如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点 F.若AD =3,AB =5,求: (1)AG AF ; (2)△ADE 与△ABC 的周长之比; (3)△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练,巩固新知 1.若两个相似三角形的相似比是2∶3,则它们的对应高线的比是 ,对应中线的比是 ,对应角平分线的比是 ,周长比是 ,面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4,则它们的边长比是 ,周长是 。 3.某城市规划图的比例尺为1∶4000,图中一个氯化区的周长为15cm ,面积为12cm 2 ,则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少? 相似比 2 周长比 面积比 10000 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E F A B C D E

人教版初中数学图形的相似全集汇编

人教版初中数学图形的相似全集汇编 一、选择题 1.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与111A B C ?相似的是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可. 【详解】 解:因为111A B C ?中有一个角是135°,选项中,有135°角的三角形只有B ,且满足两边成比例夹角相等, 故选:B . 【点睛】 本题考查相似三角形的性质,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型. 2.如图,AB 为O e 的直径,C 为O e 上一点,弦AD 平分BAC ∠,交弦BC 于点E ,4CD =,2DE =,则AE 的长为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ,根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ,证明△DCE ∽△DAC ,根据相似三角形的性质求出AD ,结合图形计算,得到答案. 【详解】 解:∵AD 平分∠BAC ,

∴∠CAD=∠BAD , 由圆周角定理得,∠DCB=∠BAD , ∴∠CAD=∠DCB ,又∠D=∠D , ∴△DCE ∽△DAC , ∴DE DC DC DA =,即244AD =, 解得,AD=8, ∴AE=AD -DE=8-2=6, 故选:C . 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 3.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =60°,AC =2,D 是AB 边上一个动点(不与点A 、B 重合),E 是BC 边上一点,且∠CDE =30°.设AD =x ,BE =y ,则下列图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ,继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式,结合选项即可得出答案. 【详解】

2019年中考数学真题分类训练——专题14:图形的相似

2019年中考数学真题分类训练——专题 14:图形的相似 一、选择题 1.(2019邵阳)如图,以点 O 为位似中心,把△ ABC 放大为原图形的 2倍得到△A ′B ′C ′,以下说法中 错误的是 A .△ABC ∽△A ′ B ′ C ′ B .点 C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C .∶′=1∶2 AOAA D .AB ∥A ′B ′ 【答案】C 2.(2019温州)如图,在矩形 ABCD 中,E 为AB 中点,以BE 为边作正方形BEFG ,边EF 交CD 于点H ,在 边BE 上取点M 使BM=BC ,作MN ∥BG 交CD 于点L ,交FG 于点N ,欧几里得在《几何原本》中利用该图解释 了(+)(﹣ )=2 ﹣ 2 ,现以点 F 为圆心, FE 为半径作圆弧交线 段 于点 ,连结 ,记△ 的面 abab a b DH P EP EPH 积为S1,图中阴影部分的面积为 S2.若点A ,L ,G 在同一直线上,则 S1 的值为 S 2 A . 2 B . 2 2 3

2 C. 4 【答案】C 3.(2019淄博)如图,在△ 则△ABD的面积为 A.2a C.3a 【答案】C 4.(2019杭州)如图,在△ 重合),连接 AM交DE于点 A.AD AN AN AE C.DN N E BM MC 【答案】C 2 D. 6 ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a, B.5a 2 D.7a 2 ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C N,则 BD MN B. MN CE DN NE D. MC BM 5.(2019玉林)如图, AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有

图形的相似及经典模型

图形的相似 复习目标: (1)认识物体和图形的相似,了解相似图形的概念; (2)了解线段的比、成比例的线段概念; (3)能够判定两个三角形相似,并能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题;复习重难点: (1)平行线分线段成比例的概念与应用; (2)相似三角形的判定与应用。 知识点一成比例线段 1?在比例尺为1:1000000的地图上,量得A与B两个城市的距离为17.5cm,则实际两个城市的距离为____________________ km。 2.下列说法中正确的有()。 ①两条线段的比是两条线段长度之比,比值是一个正数; ②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比; ③两条线段的比与所采用的长度单位无关; ④两条线段的比有顺序,旦与-不同,它们互为倒数。 b a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果x y 2那么- 。 y 3’y a c 1,则 a c 4.已知 b d 3 b d …a c e 」 5若一kb d f 0 ,且a c e 3 b d f,那么k= b d f b c a cab 6.- k ,则k= 。 a b c 7.已知a,d,b,c依次成比例线段,其中a=3cm,b=4cm,c=6cm,则d= ________ 8.若a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c= _________ 。 9. ________________________________________________ 已知线段a,b,c,其中c是a 和b的比例中项,贝U c= ___________________________________ 10.已知a—,求证ab cd是a2 c2和b2 d2的比例中项。 b d

初中数学 图形的相似

图形的相似 考点一、比例线段 (3分) 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是,或写成a :b=m :n 在两条线段的比a :b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 若四条a ,b ,c ,d 满足或a :b=c :d ,那么a ,b ,c ,d 叫做组成比例的项,线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a ,b ,c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即 c b b a =或a :b=b : c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。 2、比例的性质 (1)基本性质 ①a :b=c :d ?ad=bc ②a :b=b :c ac b =?2 (2)更比性质(交换比例的内项或外项) d b c a =(交换内项) ?=d c b a a c b d =(交换外项) a b c d =(同时交换内项和外项) (3)反比性质(交换比的前项、后项): c d a b d c b a =?= (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±?= (5)等比性质: b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 15-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 (3~5分) 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 n m b a =d c b a =

中考数学图形的相似专题卷(附答案)

中考数学图形的相似专题卷(附答案) 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,BC DE //,AD=6,DB=3,AE=4,则EC 的长为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2.若2a=3b ,则=( ) A . B . C . D . 3.如图,菱形纸片ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,折叠纸片使点A 与点O 重合,折痕为EF ,若AB=5,BD=8,则△OEF 的面积为( ) A .12 B .6 C .3 D .23 4.下列多边形一定相似的为( ) A .两个三角形 B .两个四边形 C .两个正方形 D .两个平行四边形 5.现给出四个命题:①等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②相似三角形的面积比等于它们的相似比;③菱形的面积等于两条对角线的积;④一组数据2,5,4,3,3的中位数是4,众数是3,其中不正确的命题的个数是( ) A .1个 B. 2个 C. 3个 D .4个 6.如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别是PB 、PC (靠近点P )的三等分点,△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3,若AD=2,AB=23,∠A=60°,则S 1+S 2+S 3的值为( ) 7题图 A .310 B .29 C .313 D .4 7.如图,若DC ∥FE ∥AB ,则有( ). A . OD OC OF OE = B .OF OB OE OA = C .OA OD OC OB = D .CD OD EF OE = 8.已知△ABC 的面积是1,1A 、1B 、1C 分别是△ABC 三边上的中点,△111A B C 的面积记为

图形的相似及经典模型

图形的相似 知识点一 成比例线段 1.在比例尺为1:1000000的地图上,量得A 与B 两个城市的距离为17.5cm ,则实际两个城市的距离为 km 。 2.下列说法中正确的有( )。 ①两条线段的比是两条线段长度之比,比值是一个正数; ②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比; ③两条线段的比与所采用的长度单位无关; ④两条线段的比有顺序, a b a b 与不同,它们互为倒数。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果 ==-y ,32x y y x 那么 。 4.已知 =++==d b c a d c b a 则,31 。 5.若 ()()f d b e c a f d b k f e d c b a ++=++≠++===3,0且,那么k= 。 6. k c b a b c a a c b =+=+=+,则k= 。 7.已知a,d,b,c 依次成比例线段,其中a=3cm,b=4cm,c=6cm,则d= 。 8.若a=3,b=2,且b 是a 和c 的比例中项,那么c= 。 9.已知线段a,b,c ,其中c 是a 和b 的比例中项,则c= 。 10.已知 的比例中项。 和是求证2222,d b c a cd ab d c b a +++= 知识点二 平行线分线段成比例 11.(1)如图,AB ∥CD ∥EF ,那么下列结论正确的是( )。 A . = B . = C . = D . =

(2)如图,AB ∥CD ∥EF ,若 ,4,3 2 ==BD CE AC 则DF= 。 (3)如图,AB ∥CD ∥EF ,若AC=4,CE=6,BD=3,则BF= 。 12.(1)如图,已知AB ∥CD ∥EF ,那么下列结论正确的是( ) A . = B . = C . = D . = (2)如图,已知AB ∥CD ∥EF ,若 ==BE BC BF AD ,23 。 13.如图,四条平行直线l 1,l 2,l 3,l 4被直线l 5,l 6所截,AB :BC :CD=1:2:3, 若FG=3,则线段EF 和线段GH 的长度之和是( )。 A .5 B .6 C .7 D .8 14.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若 =,则 AC AE =( ) A . B . C . D . 15.如图所示,△ABC 中若DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式正确的是( ) A . B . C . D . 16.如图是小刘做的一个风筝支架示意图,已知BC ∥PQ ,AB :AP=2:5,AQ=20cm ,则CQ 的长是( ) A .8cm B .12cm C .30cm D .50cm 17.如图,BD 、CE 相交于点A ,下列条件中,能推得DE ∥BC 的条件是( ) A .AE :EC=AD :D B B .AD :AB=DE :BC C .A D :DE=AB :BC D .BD :AB=AC :EC 18.如图,AC ∥BD ,AD 与BC 交于点E ,过点E 作EF ∥BD ,交线段AB 于点F ,则下列各式错误的是( ) A .= B . = C . + =1 D . =

初中数学图形的相似图文答案(1)

初中数学图形的相似图文答案(1) 一、选择题 1.如图,在正方形ABCD 中,3AB =,点M 在CD 的边上,且1DM =,AEM ?与ADM ?关于AM 所在直线对称,将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?,连接EF ,则cos EFC ∠的值是 ( ) A 171365 B 61365 C 71525 D .617 【答案】A 【解析】 【分析】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,首先证明 AEH EMG V :V ,则有13 EH AE MG EM == ,设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+, 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值,进而可求 ,,,EH BN CG EN 的长度,进而可求FN ,再利用勾股定理求出EF 的长度,最后利用cos FN EFC EF ∠= 即可求解. 【详解】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,则 90AHG MGE ∠=∠=?,

∵四边形ABCD 是正方形, ∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? , ∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形. 由折叠可得,90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====, 90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? , AEH EMG ∴∠=∠, AEH EMG ∴V :V , 13 EH AE MG EM ∴== . 设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+ 在Rt AEH V 中, 222AH EH AE +=Q , 222(1)(3)3x x ∴++= , 解得45 x =或1x =-(舍去), 125EH BN ∴==,65 CG CD DG EN =-== . 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+= . 在Rt EFN △ 中, 由勾股定理得,2213EF EN FN =+=, 17cos 1365 FN EFC EF ∴∠= =. 故选:A . 【点睛】

数学之美——黄金分割图形相似汇总

数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂,数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值,而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高,我们对数学这门科学的学习更加透彻,我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例,黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系,即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深,只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升,我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识,本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系,以及与黄金分割有关的一些概念,最后,将进一步阐述黄金分割的实际应用,可见黄金分割用途之广泛,影响之深远。 另外,我真诚的希望通过本节学习,能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵,对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割,指的是把长为L 的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。证明方法为: 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ,)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =,则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程:2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.

黄金分割又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1∶0.618或1.618∶1,即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例,因此被称为黄金分割。 有趣的是,这个数字在自然界和人们生活中到处可见:人们的肚脐是人体总长的黄金分割点,人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618;有些植茎上,两张相邻叶柄的夹角是137度28',这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现,这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱,无论是古埃及的金字塔,还是巴黎的圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,都有与0.618有关的数据。人们还发现,一些名画、雕塑、摄影作品的主题,大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处,能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为“金法”,17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”,也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”,我国也有记载。虽然没有古希腊的早,但它是我国古代数学家独立创造的,后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广。 其实,黄金分割比在未发现之前,在客观世界中就存在的,只是当人们揭示了这一奥秘之后,才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时,就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它,如植物的叶片、花朵,雪花,五角星……许多

初中数学图形的相似难题汇编附答案

初中数学图形的相似难题汇编附答案 一、选择题 1.两个相似多边形的面积比是9∶16,其中小多边形的周长为36 cm,则较大多边形的周长为 ) A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm 【答案】A 【解析】 试题分析:根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比等于相似比的平方计算即可. 解:两个相似多边形的面积比是9:16, 面积比是周长比的平方, 则大多边形与小多边形的相似比是4:3. 相似多边形周长的比等于相似比, 因而设大多边形的周长为x, 则有=, 解得:x=48. 大多边形的周长为48cm. 故选A. 考点:相似多边形的性质. 2.如果两个相似正五边形的边长比为1:10,则它们的面积比为() A.1:2 B.1:5 C.1:100 D.1:10 【答案】C 【解析】 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方,由两个相似正五边形的相似比是1:10,可知它们的面积为1:100. 故选:C. 点睛:此题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方. 3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=8,CD是AB边上的中线,作CD的中垂线与CD交于点E,与BC交于点F.若CF=x,tanA=y,则x与y之间满足()

A .2244x y += B .2244x y -= C .2288x y -= D .2288x y += 【答案】A 【解析】 【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD = 12AB =AD =4,由等腰三角形的性质得出∠A =∠ACD ,得出tan ∠ACD =GE CE =tan A =y ,证明△CEG ∽△FEC ,得出GE CE CE FE =,得出y =2FE ,求出y 2=24FE ,得出24y =FE 2,再由勾股定理得出FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,即可得出答案. 【详解】 解:如图所示: ∵在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线, ∴CD = 12 AB =AD =4, ∴∠A =∠ACD , ∵EF 垂直平分CD , ∴CE =12 CD =2,∠CEF =∠CEG =90°, ∴tan ∠ACD = GE CE =tanA =y , ∵∠ACD+∠FCE =∠CFE+∠FCE =90°, ∴∠ACD =∠FCE , ∴△CEG ∽△FEC , ∴GE CE =CE FE , ∴y =2FE , ∴y 2= 24FE , ∴24y =FE 2, ∵FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4, ∴24y =x 2﹣4, ∴24y +4=x 2,

中考数学专项训练 图形的相似(附参考答案)

中考数学专项训练图形的相似 一、选择题 1.如果两个相似三角形的面积比是1∶4,那么它们的周长比是() A.1∶16 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶2 2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3 4,则△ABC与△DEF 对应中线的比为() A.3 4 B. 4 3 C. 9 16 D. 16 9 3.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线 n交直线a,b,c于点D,E,F,若AB BC= 1 2,则 DE EF的值为() A.1 3 B. 1 2 C. 2 3D.1 第3题图第4题图第5题图第6题图 4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD AB= 1 3,BC=12,则DE的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有() A.0个B.1个C.2个D.3个 6.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()

7.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点 O为位似中心,相似比为1 3,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是() A.(-1,2) B.(-9,18) C.(-9,18)或(9,-18) D.(-1,2)或(1,-2) 8.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△P AD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 第8 题图第9题图第10题图9.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边AB,AD上,AE=DF,BF交DE 于点G,延长BF交CD的延长线于H,若AF DF=2,则 HF BG的值为() A.2 3 B. 7 12 C. 1 2 D. 5 12 10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E是AB上一点,DE⊥CE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是() A.CE=3DE B.CE=2DE C.CE=3DE D.CE=2DE 二、填空题 11.若x∶y=1∶3,2y=3z,则2x+y z-y =________. 12.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你

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